上海市嘉定区封浜高中2019-2020高二数学下学期期末考试试题（Word版附答案） 11页

高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 1 页 共 11 页 上海市嘉定区 2019 学年第二学期封浜高级中学高二年 级数学期末质量调研（满分 150 分，时间 120 分钟） 一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．抛物线 2 4y x 的焦点坐标为 . 2．平面直角坐标系中点 )2,1( 到直线 012  yx 的距离为 ． 3．若复数 z 满足 (1 i) 4z   （ i 是虚数单位），则 z 的虚部是 . 4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不 同的组合． 5．侧棱长为3 ,底面面积为8 的正四棱柱的体对角线的长为 . 6．双曲线 2 2 13 3 x y  的两条渐近线的夹角大小为 . 7．底面半径和高均为3 的圆柱的表面积为 ． 8．双曲线 2 2 1yx m   的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m  ． 9．已知空间直角坐标系中，某二面角 -l-  的大小为 ，0 2 π  ，半平面 和  的 一个法向量分别为 1 (1,3,0)n  ， 2 (0,2,4)n  ，则  ．(结果用反三 角函数值表示) 10 ． 二 项 式 31(2 )x x  的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 是 ． 11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 5 厘米，高是 10 厘米，容器内放着 49 个半径为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满 水后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度 为 厘米． 12．已知定点 (0,2)P ，点Q 在抛物线 2 4x y 上运动，若复数 1 2z z、 在复平面内分别 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 2 页 共 11 页 对应点 P Q、 的位置，且 1 2z z z  ，则 z 的最小值为 ． 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ ）． (A) π(0, )2 (B) π(0, ]2 (C) π[0, )2 (D) π[0, ]2 14.“ ”是“直线 与直线 相互垂 直”的 ……………………………………………………………………………（ ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 15．曲线 2 2: 2 1x xy y    的图像………………………………………………( )． (A)关于 x 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线 y x 对称 (C)关于 y 轴对称 (D)关于直线 y x 对称，也关于直线 y x  对称 16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( )． (A) 若 1z 、 2z C ， 1 2 0z z  ，则 1 2z z ． (B) 若 zR ，则 2| |z z z  不成立． (C) 1 2z z C、 ， 1 2 0z z  ，则 1 0z  或 2 0z  ． (D) 1 2z z C、 ， 2 2 1 2 0z z  ，则 1 0z  且 2 0z  ． 三．解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分． 已知复数 2 i   ， im   ， mR . （1）若 2    ，求实数 m 的取值范围； （2）若  是关于 x 的方程 2 10 0 ( )x nx n    R 的一个根，求实数 m 与 n 的值. 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 3 页 共 11 页 18.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分. 如图，长方体 1 1 1 1BABC A CD D 中， 2AB BC  ，直线 1AC 与平面 ABCD 所成的角 的大小为 4 π ． （1）求三棱锥 1A A BD 的体积； （2）求异面直线 1A B 与 1B C 所成角的大小． 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分． 已知 4 1( ) 2 nx x  的二项展开式中，第三项的系数为 7 ． （1）求证：前三项系数成等差数列； （2）求出展开式中所有有理项（即 x 的指数为整数的项）． 20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小 题 6 分. 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ： 的左右顶点 分别是 ( 2,0) (2,0)A B ， ，点 1( 3, )2 在椭圆上．过该 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 4 页 共 11 页 椭圆上任意一点 P 作 PQ x 轴，垂足为Q ，点 C 在QP 的延长线上，且 QP PC ． （1）求椭圆  的方程； （2）求动点C 的轨迹 E 的方程； （3）设直线 AC （C 点不同于 A B、 ）与直线 2x  交于 R ，D 为线段 RB 的中点，证 明：直线 CD 与曲线 E 相切． 21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分． 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点．已知曲线 C 上任意一点 ( , )P x y （其中 0x  ）到定点 (1, 0)F 的距离比它到 y 轴的距离大 1. （1）求曲线C 的轨迹方程； （2）若过点 (1, 0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的 ,A B 两点，求 OA OB  的值； （3）若曲线C 上不同的两点 M 、 N 满足 0,OM MN   求 ON  的取值范围． 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 5 页 共 11 页 2019 学年第二学期高二期末质量调研 数学答案 （满分 150 分，时间 120 分钟） 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有 21 道试题，可以使用规定型号计算器． 一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．抛物线 2 4y x 的焦点坐标为 . (1,0) 2．平面直角坐标系中点 )2,1( 到直线 012  yx 的距离为 ． 5 3．若复数 z 满足 (1 i) 4z   （ i 是虚数单位），则 z 的虚部是 . 2 4．世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不 同的组合． 2 4 6C  5．侧棱长为3 ,底面面积为8 的正四棱柱的体对角线的长为 . 5 6．双曲线 2 2 13 3 x y  的两条渐近线的夹角大小为 . π 2 7．底面半径和高均为3 的圆柱的表面积为 ．36π 8．双曲线 2 2 1yx m   的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m  ． 4 9．已知空间直角坐标系中，某二面角 -l-  的大小为 ，0 2 π  ，半平面 和  的 一个法向量分别为 1 (1,3,0)n  ， 2 (0,2,4)n  ，则  ．(结果用反三 角函数值表示) 3 2arccos 10 10．二项式 31(2 )x x  的展开式中各项系数的和是 ． 27 11．有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 5 厘米，高是 10 厘米， 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 6 页 共 11 页 容器内放着 49 个半径为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出， 则此时容器内水面的高度为 厘米．6 12．已知定点 (0,2)P ，点Q 在抛物线 2 4x y 上运动，若复数 1 2z z、 在复平面内分别 对应点 P Q、 的位置，且 1 2z z z  ，则 z 的最小值为 ． 2 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 13．空间内，异面直线所成角的取值范围是……………………………………（ B ）． (A) π(0, )2 (B) π(0, ]2 (C) π[0, )2 (D) π[0, ]2 14.“ ”是“直线 与直线 相互垂 直”的 ……………………………………………………………………………（ A ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 15．曲线 2 2: 2 1x xy y    的图像………………………………………………( D )． (A)关于 x 轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线 y x 对称 (C)关于 y 轴对称 (D)关于直线 y x 对称，也关于直线 y x  对称 16．下列命题中，正确的命题是……………………………………………………( C )． (A) 若 1z 、 2z C ， 1 2 0z z  ，则 1 2z z ． (B) 若 zR ，则 2| |z z z  不成立． (C) 1 2z z C、 ， 1 2 0z z  ，则 1 0z  或 2 0z  ． (D) 1 2z z C、 ， 2 2 1 2 0z z  ，则 1 0z  且 2 0z  ． 三．解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分． 已知复数 2 i   ， im   ， mR . （1）若 2    ，求实数 m 的取值范围； 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 7 页 共 11 页 （2）若  是关于 x 的方程 2 10 0 ( )x nx n    R 的一个根，求实数 m 与 n 的值. 解: （1） 5   ………………………………………………………………2 分 于是  22 2 2 2 4i m i m i m            …………………………4 分 又 2    ，所以  22 4 2 5m    ，解得： 6 2m   . …………6 分 所以实数 m 的取值范围为 ( 6 , 2 ) . …………………………………………………7 分 （2）因为 m i （ mR ）是方程 2 10 0 ( )x nx n    R 的一个根， m i （ mR ）也是此方程的一个根，…………………………………………9 分 于是         10 m i m i n m i m i         …………………………………………………11 分 解得 3 6 m n    或 3 6 m n      ，且满足 2( ) 4 13 0,n      ……………………13 分 所以 3 6 m n    或 3 6 m n      ……………………………………………………………14 分 18.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分. 如图，长方体 1 1 1 1BABC A CD D 中， 2AB BC  ，直线 1AC 与平面 ABCD 所成的角 的大小为 4 π ． （1）求三棱锥 1A A BD 的体积； （2）求异面直线 1A B 与 1B C 所成角的大小． 解：（1）联结 AC ， 因为 1AA ABCD 平面 ， 所 以 1ACA 就 是 直 线 1AC 与 平 面 ABCD 所 成 的 角，………………………………2 分 所以 1 4ACA   ，所以 1 2 2AA  ……………………………………………4 分 所以 1 1 1 1 4 23 3A BD ABD ABDA AV V S A A     …………………………………………7 分 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 8 页 共 11 页 （2）联结 1A D ， BD 因为 1 1 / /A B CD ，所以 1 1/ /A D B C 所以 1BA D 就是异面直线 1A B 与 1B C 所成的角或其补角………………………10 分 在△ 1BA D 中， 2 2 2 1 (2 3) (2 3) (2 2) 2cos 32 2 3 2 3 BA D       所以 1 2arccos 3BA D  ……………………………………………………………13 分 所以异面直线 1A B 与 1B C 所成角的大小是 2arccos 3 …………………………………14 分 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分． 已知 4 1( ) 2 nx x  的二项展开式中，第三项的系数为 7 ． （1）求证：前三项系数成等差数列； （2）求出展开式中所有有理项（即 x 的指数为整数的项）． 解：（1） 3 2 2 2 2 2 3 4 1 1( ) ( ) 42 n- n n nT C x C x x   …………………………………2 分 2 21 7 28 84 n nC C n     ，……………………………………………4 分 所以前三项分别为 0 8 0 4 1 8 4 1( ) ( ) 2 T C x x x   ， 13 1 7 1 4 2 8 4 1( ) ( ) 4 2 T C x x x   ， 5 2 6 2 2 3 8 4 1( ) ( ) 7 2 T C x x x   ……………………………………………………7 分 所以前三项系数分别为1,4,7 ，即前三项系数成等差数列……………………8 分 （2） 348 4 1 8 84 1 1( ) ( ) , 0,1,2, ,7,822 r r r r r r rT C x C x r x       ……………10 分 0,4,8r  时，展开式中 x 的指数为整数， 所 以 展 开 式 中 所 有 有 理 项 为 ： 0 8 0 4 1 8 4 1( ) ( ) 2 T C x x x   、 3 4 8 1 78T C x x  、 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 9 页 共 11 页 8 2 8 8 2 1 1 256 256T C x x   ……………………………………………………………14 分 20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小 题 6 分. 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ： 的左右顶点分别是 ( 2,0) (2,0)A B ， ，点 1( 3, )2 在椭圆上．过该椭圆上任意一点 P 作 PQ x 轴，垂足为Q ，点C 在 QP 的延 长线上，且 QP PC ． （1）求椭圆  的方程； （2）求动点C 的轨迹 E 的方程； （3）设直线 AC（C 点不同于 A B、 ）与直线 2x  交 于 R ，D 为线段 RB 的中点，证明：直线CD 与曲线 E 相切． 解：（1）由题意可知 2 4a  且 2 2 3 1 1 14 4 bb     ，………………………………2 分 所以椭圆方程为 14 2 2  yx ……………………………………………………………4 分 （2）设 ( , )C x y ，则由 QP PC 可得 1( , )2P x y ， ………………………………6 分 又 1( , )2P x y 在椭圆 14 2 2  yx 上，可知 2 2 4x y  ，……………………………9 分 所以动点C 的轨迹 E 的方程是 2 2 4x y  ……………………………………………10 分 （3）设 ( , )C m n ， (2, )R t ，由题意可知 A C R、 、 三点共线，所以 AC AR    ， 因为 ( 2, )AC m n  ， (4, )AR t ，则 44 ( 2) 2 nn t m t m      ，即 4(2, )2 nR m  ， …………………………………………………………………………12 分 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 10 页 共 11 页 2(2, )2 nD m  ，从而 2 2 2 2 4CD nn mnmk m m     ，又 2 2 4m n  ， 故 2 24CD mn mn mk m n n      : ( ) 4 0CD ml y n x m mx nyn         …………………………………14 分 则圆心到直线 CD 的距离 2 2 4 2d r m n     …………………………………15 分 所以直线 CD 与曲线 E 相切 …………………………………………………………16 分 21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分． 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点．已知曲线 C 上任意一点 ( , )P x y （其中 0x  ）到定点 (1, 0)F 的距离比它到 y 轴的距离大 1. （1）求曲线C 的轨迹方程； （2）若过点 (1, 0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的 ,A B 两点，求 OA OB  的值； （3）若曲线C 上不同的两点 M 、 N 满足 0,OM MN   求 ON  的取值范围． 解：（1）依题意知，动点 P 到定点 F (1, 0) 的距离等于 P 到直线 1x   的距离，曲线C 是以原点为顶点， F (1, 0) 为焦点的抛物线………2 分 ∵ 12 p  ∴ 2p  ∴ 曲线C 方程是 2 4y x …………………4 分 （2）当l 平行于 y 轴时，其方程为 1x  ，由 2 1 4 x y x    解得 (1,2)A 、 (1, 2)B  此时 =1 4= 3OA OB    …………………………………………………6 分 当l 不平行于 y 轴时，设其斜率为 k ， 则由 2 ( 1) 4 y k x y x     得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 则有 1 2 1x x  ， 2 1 2 2 2 4+ kx x k  ……………………8 分 ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2= = ( 1) ( 1)OA OB x x y y x x k x k x      2 2 2 1 2 1 2(1 ) ( )k x x k x x k     2 2 2 2 2 2 4=1+ 1 4 3kk k kk        ……………………………10 分 高二年级期末质量调研考试数学试卷 第 11 页 共 11 页 （3）设 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )4 4 y yM y N y ∴ 2 2 2 1 2 1 1 2 1( , ), ( , )4 4 y y yOM y MN y y    ………………………………12 分 ∵ 0OM MN   ∴ 0)(16 )( 121 2 1 2 2 2 1  yyyyyy ∵ 0, 121  yyy ，化简得 )16( 1 12 yyy  ………………………………14 分 ∴ 6432256232256 2 1 2 1 2 2  yyy ……………………………………14 分 当且仅当 4,16,256 1 2 12 1 2 1  yyyy 时等号成立………………………………16 分 ∵ 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1| | ( ) ( 8) 64 644 4 yON y y y      ，又 ∴当 2 2 2 min64, 8 | | 8 5 | |y y ON ON    ， ，故 的取值范围是 ),58[  ………18 分