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- 2021-06-30 发布
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第七章 不等式
第1节 不等式的性质与不等式的解法
题型78 不等式的性质
1.（2013四川文15）在平面直角坐标系内，到点的
距离之和最小的点的坐标是 .
1．解析 设平面上任一点，因为，当且仅当共线时取等号，同理，当且仅当共线时取等号，连接交于一点，若最小，则点为所求．
又，所以直线的方程为，
即 ①
又，所以直线的方程为，即. ②
由①②得所以所以.
2. (2013陕西文15A）A.（不等式选做题）设，则关于实数的不等式的解集是 .
2.A.解析 因为，则，其几何意义是数轴上表示数,的两点间距离大于，的几何意义为数轴上任意一点到，两点的距离之和，当处于，之间时取最小值，距离恰为，两点间的距离，由题意知其恒大于，故原不等式解集为.答案：.
3. （2014辽宁文10）已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
4.（2014辽宁文12）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
5.（2014江西文13）在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围 .
6.（2014新课标Ⅰ文15）设函数，则使得成立的的取值范围是 .
7.（ 2015安徽文3 ）设：，：，则是成立的（ ）.
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7.解析 因为，即，但是，所以是的必要不充分条件.
故选C
8.（2015湖南文3）设，则“”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.解析 因为由可推出，而由可推出，
所以“”是“”的充要条件.故选C.
9.（2015福建文12）“对任意，”是“”的（ ）.
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.解析 当时，，构造函数，
则，故在上单调递减，
故，则；
当时，不等式等价于，
构造函数，则，
故在上单调递减，故，则.
综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件.
故选B.
10.（2015四川文4）设为正实数，则“”是“”的（ ）.
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
10.解析 由函数在定义域上单调递增，且，
可知“”是“”充要条件.故选A.
11.（2015浙江文3）设，是实数，则“”是“”的（ ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
11.解析 取，，所以；反之取，，所以.故选D.
12.（2016上海文15）设，则“”是“”的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
12.A 解析 由题意或，因此.故选A.
13.（2017北京文14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（1）男学生人数多于女学生人数；
（2）女学生人数多于教师人数；
（3）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．
②该小组人数的最小值为__________．
13.解析 设男生数，女生数，教师数分别为 ，则 ，.
①.
②，，.
题型79 比较数(式)的大小与比较法证明不等式
1. （2013江西文6）下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
1.解析 由可得即解得综合知.
故选A.
2．(2013福建文7）若则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
2.分析 利用基本不等式转化为关于的不等式，求解不等式即可.
解析 因为，，所以，所以，所以，即.故选D.
3. (2013辽宁文24）已知函数，其中.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）已知关于的不等式的解集为，求的值.
3.分析 绝对值不等式，分段讨论求解；将看做已知，求解，
将结果与已知结果对比确定值.
解析 （1）当时，
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得.
所以的解集为．
（2）记,则
由，解得．又已知的解集为，
所以，于是．
4.（2013山东文16）定义“正对数”：，现有四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
4.分析 本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除.
解析 ①当时，因为，所以，所以.
当时，因为，所以，所以.又，所以，所以.故①正确.
②当，时，，而，，从而.
故②不成立.
③a.当，时，，而，所以.
b.当，时，.而，所以.
c.当，时，，所以.
所以.
d.当，，且时，，，所以.
e.当，，且时，，所以.
综上：，故③正确.
④a.当时，，，所以，
.所以.
b.当时，分以下三种情况：
（i）当，时，因为，
所以.
（ii）当，时，因为，
所以.
（iii）当，时，所以，且，.所以
.
综上：，故④正确.
答案：①②④
5.（2014辽宁文3）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6. （2014山东文5）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
7.（2014四川文5）若，，则一定有（ ）.
A. B.
C. D.
8.（2014天津文4）设则（ ）.
A. B. C. D.
9.（2014江苏19）已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）求证：是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立．试比较
与的大小，并证明你的结论．
10.（2014天津文20）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于的自然数，设集合，
集合，
（1） 当时，用列举法表示集合；
（2） 设
其中求证：若则.
11.（2015湖北文9）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加
个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）.
A．对任意的，， B．当 时，；当时，
C．对任意的，， D．当 时，；当时，
11.解析 ，
当时，，；当时，，.故选D.
12.（2015山东文3）设，，，则的大小关系是（ ）.
A. B. C. D.
12.解析 由指数函数图像的性质，可知，则.故选C.
13.（2015陕西文10）设，，若，，
，则下列关系式中正确的是（ ）.
A. B. C. D.
13.解析 由题意可得；
；.
因为，又由是个递增函数，
所以，所以.故选C.
14.（2015天津文7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记
，，，则，， 的大小关系为（ ）.
A. B. C. D.
14.解析 由为偶函数得，则，，
，.
所以.故选B.
15.（2016全国丙文7）已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
15.A 解析 ，，，又函数在上是增函数，所以.故选A.
16.（2016全国乙文8）若，，则（ ）.
A. B. C. D.
16.B 解析 由可知是减函数，又，所以.
故选B.
评注 作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取，，，可快速得到答案.另外，对于A，，，因为，所以.又，所以，但正负性无法确定，所以A无法判断.对于C，D，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误.
17.（2016浙江文5）已知，，且，，若 ，则（ ）.
A. B. C. D.
17. D 解析 对于选项A，B，当，由，得，所以，故选项A，B不正确；对于选项C，D，当 时，由，得 ，所以 ， ，所以 ； 当 时，所以 ，所以 ， ，所以.故选项D正确，选项C不正确.故选D.
18.（2017北京文13）能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________________．
18.解析 由，当时，有成立，故原命题是假命题，必须有，可举例子如下：，.
题型80 一元一次不等式与一元二次不等式的解法
1. (2013重庆文15） 设，不等式对恒成
立，则的取值范围为 .
1.分析 根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接运算求解.
解析 由题意，要使对恒成立，
需，化简得.又，
所以，解得.
答案：.
2.（2014陕西文1）设集合，则（ ）.
A. B. C. D.
3.（2014四川文1）已知集合，集合为整数集，则（ ）.
A. B. C. D.
4.（2014大纲文3）不等式组的解集为（ ）.
A． B． C． D．
5.（2014江西文2）设全集为，集合，则( ).
A. B. C. D.
6.（2014山东文2）设集合，则（ ）.
A. B. C. D.
7.（2016全国甲文1）已知集合，，则（ ）.
A. B. C. D.
7.D解析 ，.故选D.
8.（2016上海卷1）设，则不等式的解集为 .
8.解析 由题意，即，则解集为.故填.
9.（2016江苏卷5）函数的定义域是 .
9. 解析 由题意得，解得，因此定义域为.
题型81 分式不等式的解法——暂无
题型 已知不等式的关系，求目标式的取值范围——暂无
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