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- 2021-06-30 发布
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江苏省盐城市 2018/2019 学年度第二学期高二年级期终考
试
数 学 试 题
方差公式:样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn
,其中
1
1 n
i
i
x xn
.
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数 1 1z i , 2 2z ai (其中i 为虚数单位),若 1 2z z 为实数,则实数 a 的值为 ▲ .
2.已知一组数据 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x 的方差为 1
2 ,则数据 1 2 3 4 52 ,2 ,2 ,2 ,2x x x x x 的方差为 ▲ .
3.某学校拟从 2 名男教师和 1 名女教师中随机选派 2 名教师去参加一个教师培
训活动,则 2 名男教师去参加培训的概率是 ▲ .
4.若命题“ [0,3]x ,使得 2 3 0x ax 成立”是假命题,则实数 a 的取值
范围是 ▲ .
5.执行如图所示的流程图,则输出 k 的值为 ▲ .
6.已知实数 ,x y 满足
063
01
0,0
yx
yx
yx
,则 2 3y x 的最大值为 ▲ .
7.若双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
)0,0( ba 的两条渐近线与抛物线 2 4y x 的准
线围成的三角形面积为 2,则双曲线C 的离心率为 ▲ .
8.已知圆: 2 2 2x y r 的面积为 2r ,类似的,椭圆:
2 2
2 2 1x y
a b
)0( ba 的面积为 ▲ .
9.(理科学生做)5 名学生站成一排拍照片,其中甲乙两名学生不相邻的站法有 ▲ 种.(结果用
数值表示)
(文科学生做)已知函数 )20)(2sin(2 xy 的一条对称轴为
6
x ,
则 的值为 ▲ .
k←0
开始
输出 k
结束
S>15
S←0
Y
N
S←S+3k
k←k+1
(第 5 题)
10.(理科学生做)在
61
xx 的二项展开式中,常数项为 ▲ .(结果用数值表示)
(文科学生做)若函数 ( ) 3 ( 0x xf x a a 且 1)a 是偶函数,则函数 ( )f x 的值域为 ▲ .
11.已知函数 2( ) ( 2) lnf x x a x a x ,则“ 0a ”是“函数 ( )f x 有且仅有一个极值点”的
▲ 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)
12.设 ,A B 分别为椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右顶点和上顶点,已知椭圆C 过点 (2,1)P ,当
线段 AB 长最小时椭圆C 的离心率为 ▲ .
13.若 ,x y 为正实数,则
182
2
22
yx
yx 的最大值为 ▲ .
14.已知函数 ])2,1[(9)( 3 xxaxxf 的最大值为 4 ,则实数 a 的值为 ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
15.(理科学生做)(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,已知底面 ABCD 为菱形,
8, 6AC BD ,O 为对角线 AC 与 BD 的交点, PO 底面 ABCD 且 4PO .
(1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值;
(2)求平面 APC 与平面 PCB 所成锐二面角的余弦值.
(文科学生做)(本小题满分 14 分)设命题 p :函数 3 21 1( ) 3 2f x x mx 在 ]0,1[ 是减函数;命
题 q : [0, ]2x ,都有 sin 1x m 成立.
(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;
(2)若 p q 为真命题, p q 为假命题,求实数 m 的取值范围.
16.(理科学生做)(本小题满分 14 分)某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 200 元
的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:一个袋子装有 5 只形状和大小均相同的玻璃球,其
中两只是红色,三只是绿色,顾客从袋子中一次摸出两只球,若两只球都是红色,则奖励 20 元;
若两只球都是绿色,则奖励 10 元;若两只球颜色不同,则不奖励.
(1)求一名顾客在一次摸奖活动中获得 20 元的概率;
P
P
A
P
B
P
C
P
D
P
O
P第 15 题
(2)记 X 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
(文科学生做)(本小题满分 14 分)设函数 )2cos()( xxf .
(1)若函数 )(xf 为奇函数, ),0( ,求 的值;
(2)若 )2,0(,3
1)2(,3
f ,求 )(f 的值.
17.(理科学生做)(本小题满分 14 分)已知数列 na 各项均为正数,满足
2
333
2
)1(21
nann .
(1)求 321 ,, aaa 的值;
(2)猜想数列 na 的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
(文科学生做)(本小题满分 14 分)设 xkxkxxf )12(cos)( 2 , x R .
(1)证明:对任意实数 k ,函数 ( )f x 都不是奇函数;
(2)当 1
2k 时,求函数 ( )f x 的单调递增区间.
18.(本小题满分 16 分)如图,一条小河岸边有相距 8km 的 ,A B 两个村庄(村庄视为岸边上 ,A B 两
点),在小河另一侧有一集镇 P (集镇视为点 P ), P 到岸边的距离 PQ 为 2km,河宽 QH 为
km05.0 ,通过测量可知, PAB 与 PBA 的正切值之比为 3:1 .当地政府为方便村民出行,拟
在小河上建一座桥 MN ( ,M N 分别为两岸上的点,且 MN 垂直河岸, M 在 Q 的左侧),建桥
要求:两村所有人到集镇所走距离之和最短,已知 ,A B 两村的人口数分别是 1000 人、500 人,
假设一年中每人去集镇的次数均为 m 次.设 PMQ .(小河河岸视为两条平行直线)
(1)记 L 为一年中两村所有人到集镇所走距离之和,试用 表示 L ;
(2)试确定 的余弦值,使得 L最小,从而符合建桥要求.
A B
Q
N
M
H
P
第 18 题
19.(本小题满分 16 分)如图,已知椭圆 124:
22
1 yxC 与椭圆 )20(12: 2
22
2 mm
xyC 的
离心率相同.
(1)求 m 的值;
(2)过椭圆 1C 的左顶点 A 作直线l ,交椭圆 1C 于另一点 B ,交椭圆 2C 于 ,P Q 两点(点 P 在 ,A Q
之间).
①求 OPQ 面积的最大值(O 为坐标原点);
②设 PQ 的中点为 M ,椭圆 1C 的右顶点为C ,直线OM 与直线 BC 的交点为 R ,试探究
点 R 是否在某一条定直线上运动,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.
20.(本小题满分 16 分)已知函数 21( ) ( ) ln , , .2f x x a b x a b R
(1)当 1,0 ba 时,求函数 )(xf 在 ),0( 上的最小值;
(2)若函数 )(xf 在 1x 与 2x 处的切线互相垂直,求b 的取值范围;
(3)设 1b ,若函数 )(xf 有两个极值点 21, xx ,且 21 xx ,求
1
2 )(
x
xf 的取值范围.
R
C
y
x
B
A
P Q
O
M
第 19 题
2018/2019 学年度第二学期高二年级期终考试
数学参考答案
一.填空题
1. 2 2. 2 3.
3
1 4. 32a 5. 4 6. 2 7. 5 8. ab 9.(理) 72 (文)
6
10.(理) 20 (文) ),2[ 11.充分不必要 12.
2
2 13.
12
6 14. 5
二.解答题
15.(理科)
因为底面为菱形, BDAC , ABCDPO 底面 , BOAO, 底面 ABCD,
所以 BOPOAOPO , ,以 OPOBOA ,, 所在直线分别为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系
(如图所示),则 )0,0,4(),0,3,0(),0,0,4(),4,0,0( CBAP ……………………………2 分
(1)设 为直线 BCPA, 所成的角,
), 0,34(),4,0,4( BCPA ,
||||
cos
BCPA
BCPA =
5
52 ,
所以异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为
5
52 ………………………………………6 分
(2)因为 BO 平面 APC ,所以平面 APC 的法向量取 )0,1,0(1 n ,………………8 分
设平面 PCB 的法向量为 ),,(2 zyxn , ), 0,34(),4,3,0( BCPB ,
则由 0,0 22 BCnPBn ,
即
034
043
yx
zy
,取 )3,4,3(2 n ,…………………………………………………12 分
设 为两个平面所成的锐二面角的平面角,则
17
342
||||
cos
21
21
nn
nn ,
所以平面 APC 与平面 PCB 所成锐二面角的余弦值为
17
342 ………………………14 分
(文科)
(1) p 为真:因为函数 3 21 1( ) [ 1,0]3 2f x x mx 在 是减函数,
所以 0)( 2 mxxxf 在 ]0,1[x 上恒成立,………………………………………2 分
所以
0)0(
0)1(
f
f
,所以 1m ……………………………………………………………4 分
(2) q 为真:因为 sin 1x m 对 0, 2x
恒成立,
所以 1 sin 1x m 对 0, 2x
恒成立,
因为 sin 1m x m m ,
所以
1 1 0 11
m mm
即 ,………………………………………………………………8 分
当 p 真 q 假即
10
1
mm
m
或 ,
所以 1m ………………………………………………………………………………10 分
当 q 真 p 假即 0 1m 且 1m ,
所以 0 1m ……………………………………………………………………………12 分
综上 0 1m 或 1m ……………………………………………………………14 分
16.(理科)解:(1)记一名顾客摸球中奖 20 元为事件 A ,
则
2
2
2
5
1( ) 10
CP A C
.………………………………………………………………………2 分
(2)记一名顾客摸球中奖 10 元为事件 B ,不中奖为事件C ,
则
2
3
2
5
3( ) 10
CP B C
, 6( ) 1 ( ) ( ) 10P C P A P B ,…………………………………4 分
所以 36( 0) ( ) ( ) 100P X P C P C ,
36( 10) 2 ( ) ( ) 100P X P B P C ,
21( 20) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 100P X P B P B P A P C ,
6( 30) 2 ( ) ( ) 100P X P A P B ,
1( 40) ( ) ( ) 100P X P A P A ,…………………………………12 分
X 0 10 20 30 40
p 36
100
36
100
21
100 100
6 1
100
所以 ( )E X 360 100
3610 100
2120 100
630 100
140 10100
…………………14 分
(文科)解:(1)因为函数 ( )f x 为奇函数,
所以 (0) cos 0f ,
又 (0, ) ,所以
2
,………………………………………………………………2 分
当
2
时, xxxf 2sin)22cos()( 是奇函数,
所以
2
.………………………………………………………………………………4 分
(2)
因为
3
, 1( )2 3f ,所以 1cos( )3 3
,
又 ),(
20 ,
所以 ),(
6
5
33
,
3
22)3(cos1)3sin( 2 ,…………………6 分
所以
9
24)3cos()3sin(2)3(2sin ,
9
7)3
22()3
1()3(sin)3(cos)3(2cos 2222 ……………10 分
所以 ( ) cos(2 ) cos[2( ) ]3 3 3f ……………………………………12 分
所以 7 1 4 2 3 4 6 7( ) cos2( )cos sin 2( )sin3 3 3 3 9 2 9 2 18f .
………………14 分
17(理)解:(1)当 1n 时, 3 21 21 ( )2
a ,又 0na ,所以 1 1a ,
当 2n 时, 3 3 22 31 2 ( )2
a ,解得 2 2a ,
当 3n 时, 3 3 3 23 41 2 3 ( )2
a ,解得 3 3a .………………………………2 分
(2)猜想: na n .……………………………………………………………………4 分
证明:(1)当 1n 时,由(1)可知结论成立;………………………………6 分
(2)假设当 n k 时,结论成立,即 ka k 成立,………………………8 分
则 1n k 时,
由
2
3 3 3 ( 1)1 2 2
ka kk 与
2
3 3 3 1( 2)1 2 ( 1) 2
ka kk ,
所以
2 2 2 2
3 1 1( 2) ( 1) ( 2) ( 1)( 1) 2 2 2 2
k k ka k a k a k k kk
,
所以 2 2 3 2 2 2 2
1 ( 2) 4( 1) ( 1) ( 1) (4 4 )ka k k k k k k k ,
又 0na , 1 1ka k 成立,…………………………………………12 分
根据(1)、(2)猜想成立.………………………………………………14 分
(文)证明:(1)假设函数 ( )f x 为奇函数,则 (0) 0f ,
这与 2(0) 0 cos0 (2 1) 0 1f k k 矛盾,
所以函数 ( )f x 不可能是奇函数.…………………………4 分
解:(2)当 1
2k 时, 21( ) cos2f x x x ,
所以 ( ) sinf x x x , ( ) 1 cos 0f x x ,
所以 ( )f x 在 R 单调递增,………………………10 分
又 (0) 0f ,
所以不等式 0)( xf 的解集为 (0, ) ,
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) .…………………………14 分
18.解:(1)因 PAB 与 PBA 的正切值之比为1:3 ,
所以 : 1:3PH PH
PA PB
,所以 : 3:1PA PB ,即 6, 2PA PB ,……………2 分
因 2PQ ,所以 2
sinPM , 2
tanMQ ,…………………………………4 分
所以 1000( ) 500( )L AN MN MP BN MN MP ,
所以 2 2 2 21000 (6 0.05 ) 500 (2 0.05 )tan sin tan sinL m m ,
化简得 3 17075 1000 ( )sin tanL m m , (0, )2
.……………………………7 分
(2)由(1)知 3 cos7075 1000 ( )sinL m m
,
所以 2
(3 cos ) sin (3 cos )(sin )1000 sinL m
,
化简得 2
1 3cos1000 sinL m
,
由 0L ,得 1cos 3
,……………………………………………………………10 分
令 0
1cos 3
,且 0 (0, )2
,
当 0(0, ) 时, 1cos 3
, 0L ;当 0( , )2
时, 1cos 3
, 0L ;
所以函数 ( )L 在 0(0, ) 上单调递减;在 0( , )2
上单调递增;
所以 0 时函数 ( )L 取最小值,即当 1cos 3
时,符合建桥要求,……………14 分
答:(1) 3 17075 1000 ( )sin tanL m m , (0, )2
;
(2)当 1cos 3
时,符合建桥要求.……………………………………………16 分
19.(1) 椭圆 1C 中 1 12, 2a b ,又 2 2 2
1 1 1a b c ,
所以 1 2c ,离心率 1
1
1
2
2
ce a
………………………………………………2 分
又椭圆 2C 中 2 22,a b m ,又 2 2 2
2 2 2a b c ,
所以 2
2 2c m ,
2
2
2
2
2
ce a
=
2
2 2m ,又因为 0 2m ,
所以 1m ………………………………………………………4 分
(2)当直线 AB 与 x 轴重合时, QPO ,, 三点共线,不符合题意
故设直线 AB 的方程为: 2x my 且 0m
设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y
由(1)知椭圆 2C 的方程为:
2
2 12
y x
联立方程消去 x 得 2 22( 2) 2 0y my 即 2 2(1 2 ) 8 6 0m y my
解得
2
1,2 2
4 4 6
1 2
m my m
( 6
2m )
又 1 2
1
2POQ AOQ AOPS S S AO y y
2
2
2 4 6
1 2
m
m
…………………………………………8 分
令 21 2 4m t
2
2
2 2
2 4 6 2 2 8 2 8 1 2 22 8( )1 2 2
m t t
m t t t t
此时 1
8t ………………10 分
(3)由(2)知 1 2 2
8
1 2
my y m
所以 1 2 2
4
1 2x x m
所以 2 2
2 4( , )1 2 1 2
mM m m
所以直线OM 的斜率 2OMk m
直线OM 的方程为 2y mx …………………………………12 分
联立方程
2 2
14 2
2
x y
x my
消去 x 得 2 2( 2) 4 0m y my
得 2
4
2B
my m
所以
2 2
2 2
4 2 422 2B
m mx m m
所以
2
2
2
4
2
2 4 222
BC
m
mmk m
m
…………………………………14 分
则直线 BC 的方程为 ( 2)2
my x
联立直线 AB BC和 的方程
2
( 2)2
y mx
my x
解得 R 点坐标为 2 4( , )3 3
m
所以点 R 在定直线 2
3x 上运动.……………………………………16 分
20. 解:
(1)当 1,0 ba 时, ),0(ln2
1)( 2 xxxxf ,
x
x
xxxf 11)(
2 ,由 0)( xf 得 1x ,
所以函数 )(xf 在区间 )1,0( 单调递减,在区间 ),1( 单调递增,
2
1)1()( min fxf …………………………………………………………………3 分
(2)由函数 )(xf 得
x
baxxf )(
因为函数 )(xf 在 1x 与 2x 处的切线互相垂直,所以 1)2()1( ff
即 1)22)(1( baba ,…………………………………………………………5 分
法一. 展开整理得 032
5
2
1)32
3( 22 bbaba ,
该关于 a 的方程有解,所以 0)32
5
2
1(4)32
3( 22 bbb ,
即 01242 bb ,
所以 2b 或 6b ,…………………………………………………………………………9 分
法二. 由 1)22)(1( baba ,……………………………………………………5 分
即 1)22)(1( baba ,
所以
22
2
21
2
)22()1(
)22)(1(1
bbabababa ,
即 16)2( 2 b ,所以 2b 或 6b ……………………………………………………9 分
(3)当 1b 时,
x
axx
xaxxf 11)(
2 ,
所以 21, xx 是方程 012 axx 的两根,从而 1, 2121 xxaxx ,………………10 分
因为 21 xx 且 0,0 21 xx ,
所以 12 x ,
2
2
1
xxa ,
22
2
2
2
2
2
1
2 ln2
1
1
ln)(2
1
)( xxx
x
xax
x
xf
,…………………………………………12 分
记 )1(ln2
1)( xxxxxg
因为 1ln
2
1)( 22
2
x
x
xg 在 ),1( 单调递增,所以 02
1)1()( gxg ,
从而 xxxxg ln2
1)( 在 ),1( 单调递增,
所以
2
1)1()( gxg ……………………………………………………14 分
又因为 xxxxxxxg lnlnln2
1)( ,
所以
1
2 )(
x
xf 的取值范围为 ),2
1( ……………………………………………………16 分