数学文卷·2018届西藏自治区拉萨中学高二下学期期末考试（第八次月考）（2017-07） 12页

拉萨中学高二年级（2018届）第八次月考文科数学试卷 ‎（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）‎ 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．（1+i）（2+i）=‎ A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i ‎3．已知命题， ，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 不存在 ‎4．曲线在点（0，0）处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．已知为锐角，且，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知数列是递增等比数列，，则公比 A. B‎.4 C.-2 D.2‎ ‎7．已知平面向量与的夹角等于，，则=‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎8．设偶函数的定义域为，当时是增函数，则的大小关系是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. 2+ D. ‎ ‎10．执行右面的程序框图，如果输入的a=-1，则输出的S=‎ ‎ ‎ A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎11．过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），为C的准线，点N在上且MN⊥,则M到直线NF的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知三次函数的图象如图所示，则=（ ）‎ ‎ ‎ A.-1 B‎.2 C.-5 D.-3‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 ‎ ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若实数满足条件，则的最大值是________.‎ ‎14．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：‎ ‎ ‎ 表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为__________．‎ ‎15．给出下列四个命题：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②是空间中的三条直线， 的充要条件是且；‎ ‎③命题“在中，若，则”的逆命题为假命题；‎ ‎④对任意实数，有，且当时， ，则当时， .‎ 其中的真命题是______________.（写出所有真命题的编号）‎ ‎16．已知函数（为正实数）只有一个零点，则的最小值为________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若， ，求.‎ ‎18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且成等比数列 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和.‎ ‎19．共享单车的出现方便了人们的出行，深受市民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生随机抽取了100位同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间（单位：小时）频率分布直方图.‎ ‎ ‎ ‎（1）已知该校大一学生有2400人，求抽取的100名学生中大一学生人数；‎ ‎（2）根据频率分布直方图求该校大学生每周使用共享单车的平均时间。（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）‎ ‎（3）从抽取的100个样本中，用分层抽样的方法抽取使用共享单车时间超过6小时同学5人，再从这5人中任选2人，求这2人使用共享单车时间都不超过8小时的概率.‎ ‎20．如图所示，已知四棱锥中，底面为矩形， 底面， ，， 为的中点.‎ ‎（1）指出平面与的交点所在位置，并给出理由；‎ ‎（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.‎ ‎21．如图，椭圆的离心率为点（）为椭圆上的一点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于、两点，为椭圆 的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值.‎ ‎22．设函数， .‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，使得成立，求的取值范围.‎ 文数参考答案 ‎1．A 2．B 3．A 4．D 5．A 6．D 7．A 8．D 9．D 10．B 11．C 12．C ‎13． 14． 15．①④ 16．‎ ‎17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理变形， 可化为，由于待证的是，所以将换成，然后根据公式展开， ，于是有，所以有；（Ⅱ）根据已知条件，当， 时， ，于是根据余弦定理可以求出的值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由根据正弦定理得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得． ‎ ‎（Ⅱ）由，且， ，得， ‎ 由余弦定理， ，‎ 所以．‎ ‎18．（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;‎ ‎(2)利用裂项相消法求和.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意知： ‎ 解得，故数列； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ‎ 则 ‎ 点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. ‎ ‎19．（1）30人;（2）4.4小时;（3）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先根据根据抽取比例，然后再从2400人中按此比例抽取即可（2）取每个区间的中间值乘以对应的频率求和即为平均值（3）根据分层抽样根据（6,8],(8,10)的频率进行抽取可得使用共享单车时间在（6,8]小时内的有4人，记为A、B、C、D,在（8,10]小时内的有1人，然后写出基本事件找出满足条件的基本事件即可 ‎（1）设抽取的100名学生中大一学生有人，则，，解得，‎ 所以抽取的100名学生中大一学生有30人．‎ ‎（2）所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时．‎ ‎（3）在100个样本中，任意抽取5人，使用共享单车时间在（6,8]小时内的有4人，记为A、B、C、D,在（8,10]小时内的有1人，记为X,从这5人任选2人的选法为：（A、B）、（A、C）、（A、D）、（A、X）、（B、C）、（B、D）、（B、X）、（C、D）、（C、X）、（D、X），共10中，其中这2人使用共享单车时间都不超过8小时的选法为（A、B）、（A、C）、（A、D）、（B、C）、（B、D）、（C、D），共6种，‎ 所以，P=. ‎ ‎20．⑴见解析;⑵.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理及其线面平行的判定定理可得截面; （2）是的中位线， ，可得，又，且，利用梯形面积计算公式及其体积计算公式可得四棱锥的体积．四棱锥的体积，可得四棱锥被截下部分体积．‎ 试题解析⑴为中点.理由如下： ， 平面， 平面 平面又平面，平面平面 又为的中点 为的中点 ‎ ‎⑵底面， ‎ ‎ 又底面为矩形， ‎ ‎ ‎ ‎ 平面，又平面 ‎ 是的中位线，且 ‎，又 点到截面的距离为到直线的距离 四棱锥的体积 ‎ 而四棱锥的体积 四棱锥被截下部分体积 故上、下两部分体积比.‎ ‎21．(Ⅰ)∵e=3√3,∴c=3√‎3a,∴a2=b2+(3√‎3a)2①，‎ 又椭圆过点(3√,2√),∴‎3a2+2b2=1②‎ 由①②解得a2=6,b2=4，‎ 所以椭圆E的标准方程为x26+y24=1；‎ ‎(Ⅱ)证明：设直线l:y=kx+1，‎ 联立⎧⎩⎨⎪⎪x26+y24=1y=kx+1得：(3k2+2)x2+6kx−9=0，‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2)，‎ 则有x1+x2=−6k3k2+2,x1x2=−93k2+2.‎ 易知B(0,−2)，‎ 故kBC⋅kBD=y1+2x1⋅y2+2x2=kx1+3x1⋅kx2+3x2=k2x1x2+3k(x1+x2)+9x1x2‎ ‎=k2+3k(x1+x2)x1x2+9x1x2=k2+3k⋅2k3−(3k2+2)=−2，为定值。‎ ‎22．（1）的极大值为，极小值为0；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导，令得或，进而列表讨论单调性即可得极值；‎ ‎（2），使得，等价于当时， ，进而求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由得，令得或.‎ 当变化时， 与的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 递减 极小值0‎ 递增 极大值 递减 ‎ ‎ 故函数的极大值为，极小值为0.‎ ‎(2) ，使得，等价于当时，‎ ‎，‎ 由得，‎ 当时， ， 递减，当时， ， 递增，‎ 所以当时， .‎ 由(1)知，解得.‎ 故的取值范围是.‎ 点睛：解决本题的关键是确定两个函数的关系，此题中不等式的变量是无关的，所以在找最值时可以淡化一个，只考虑一个就行,对于，要求存在都要满足不等式，故转化成求在的最大值满足不等式即可，而对于是要求存在满足不等式，故转化为满足不等式即可，即得.‎