数学理卷·2018届福建省泉州市南安一中高二下学期期末考试（2017-07） 8页

南安一中2016～2017学年度下学期期末考 高二数学（理科）试卷 命题者：‎ 本试卷考试内容为：集合、常用逻辑用语，函数与导数，定积分，极坐标参数方程和不等式选讲．‎ 分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．‎ ‎2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）．‎ ‎4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回．‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎（1）已知集合，，则（　　）‎ A． B．A∩B={x|1＜x＜4}‎ C． D．‎ ‎（2）函数的定义域为（　　）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎（3）命题“对任意x∈R都有x2≥‎1”‎的否定是（　　）‎ A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1‎ C．存在x0∈R，使得x02≥1 D．存在x0∈R，使得x02＜1‎ ‎ （4）设，则“”是“”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎（5）如右图，阴影部分的面积为（　　）‎ A．2 B．2﹣ C． D．‎ ‎（6）设，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（7）若=log20.5，b=20.5，c=0.52，则，b，c三个数的大小关系是（　　）‎ A．＜b＜c B．b＜c＜ C．＜c＜b D．c＜＜b ‎（8）已知函数在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若=﹣1，则满足﹣1≤≤1的的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]‎ ‎（9）某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索．此后，该网站的点击量每月都比上月增长50%，那么4个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的（　　）‎ A．2倍以上，但不超过3倍 B．3倍以上，但不超过4倍 C．4倍以上，但不超过5倍 D．5倍以上，但不超过6倍 ‎ (10) 函数的图象大致形状是（　　）‎ ‎ ‎ A. B. C． D．‎ ‎ (11) 函数的零点所在区间是（　　）‎ A．（，1） B．（1，e﹣1） C．（e﹣1，2） D．（2，e）‎ ‎(12) 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，点在函数（，为自然对数的底数）上，关于轴对称的点在函数的图象上，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎(13) 已知集合，则A∪B=_____________.‎ ‎(14) 若对任意的恒成立，则的取值范围为_______‎ ‎(15) 已知函数，且，则_______.‎ ‎(16) 设是函数的导数，是函数的导数，若方程=0有实数解，则称点（，）为函数的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数（）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数，利用上述探究结果 计算： ．‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请 在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎（17）（本小题满分10分）命题：不等式的解集是R．‎ 命题：函数在定义域内是增函数．‎ ‎(Ⅰ)若为真命题，求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若为假命题，为真命题，求的取值范围． ‎ ‎（18）（本小题满分10分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)直线的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为O、P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长． ‎ ‎（19）（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎(Ⅰ)求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)设，若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围．‎ ‎（20）（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线经过点，求的值；‎ ‎(Ⅱ)若在（1，2）上存在极值点，求的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为3万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层(即)，每年能源消耗费用为4万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎(Ⅰ)求的值及的表达式．‎ ‎(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．‎ ‎（22）（本小题满分14分）已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若，证明：函数在定义域上为单调函数；‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个零点，求实数的取值范围．‎ 南安一中2016～2017学年度下学期期末考 高二数学（理科）试卷参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B D B C B C D D A C A ‎12. 解析：∵函数h（x）的图象与函数g（x）=ex的图象关于直线y=x对称，∴h（x）=lnx，若函数f（x）=ax﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=lnx的图象上存在关于直线y=0对称的点，则函数f（x）=x2﹣ax（≤x≤e，e为自然对数的底数）与函数h（x）=lnx的图象有交点，即x2﹣ax=lnx，（≤x≤e）有解，‎ 即a=x﹣，（≤x≤e）有解，令y=x﹣，（≤x≤e），‎ 则y′=，当≤x＜1时，y′＜0，函数为减函数，‎ 当1＜x≤e时，y′＞0，函数为增函数，故x=1时，函数取最小值1，‎ 当x=时，函数取最大值e+，∴实数a取值范围是[1，e+]，故选：A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎(13) {﹣1，0，1，2} (14) (15) ﹣9 (16) 20．‎ ‎16.解析：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，‎ 令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），‎ ‎∴g（2﹣x）+g（x）=8，‎ 故设m，‎ 则=m，‎ 两式相加得：8×5=‎2m，解得：m=20，故答案为：20．‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请 在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎（17）解：(Ⅰ)∵命题p：不等式x2﹣（a+1）x+1＞0的解集是R ‎ ‎∴△=（a+1）2﹣4＜0，解得﹣3＜a＜1……………………………………3分 ‎∴由为真命题或可知或．…………………………………5分 ‎(Ⅱ)∵命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．‎ ‎∴a+1＞1，解得a＞0………………………………………………………7分 由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p，q一真一假，……………9分 当p真q假时，由{a|﹣3＜a＜1}∩{a|a≤0}={a|﹣3＜a≤0} ‎ 当p假q真时，由{a|a≤﹣3，或a≥1}∩{a|a＞0}={a|a≥1}…………11分 综上可知a的取值范围为：{a|﹣3＜a≤0，或a≥1}……………………12分 ‎（18）解： （I）由cos2 +sin2=1，‎ 把圆C的参数方程化为（x﹣1）2+y2=1，………………2分 ‎∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．……………………………………………4分 ‎（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，‎ 由，解得．……………………………………6分 设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，‎ 由，解得．…………………8分 ‎∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．‎ ‎∴|PQ|=2．…………………………………………………………………10分 ‎（19）解: (Ⅰ)由题意，x﹣2＞4﹣x2，或x﹣2＜x2﹣4，‎ 由x﹣2＞4﹣x2得x＞2或x＜﹣3；‎ 由x﹣2＜x2﹣4得x＞2或x＜﹣1，………………………………………3分 ‎∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣1}；………………………………5分 ‎(Ⅱ)原不等式等价于|x﹣2|+|x+7|＜3m的解集非空，…………………6分 ‎∵|x﹣2|+|x+7|≥|x﹣2﹣x﹣7|=9（当且仅当2≥x≥-7时取等号），…8分 ‎∴‎3m＞9，∴m＞3．…………………………………………………………10分 ‎（20）解：（Ⅰ）∵，……………………………………1分 ‎∴，∵，……………………………………2分 ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，…4分 代入得a+5=﹣‎2a﹣1⇒a=﹣2．……………………………6分 ‎（Ⅱ）∵为（0，+∞）上的减函数，…………8分 又因为f（x）在（1，2）上存在极值，即=0有解 ‎∴．………………………………12分 ‎（21）解：（Ⅰ）由已知得C（0）=4，∴，∴k=20………………2分 ‎∴……………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…………………………7分 令f'（x）=0得x=5或………………………………8分 ‎∵函数f（x）在[0，5）递减，在[5，10]递增……………………9分 ‎∴函数f（x）在x=5取得最小值，最小值为f（5）=35……………11分 答：隔热层厚度为‎5厘米时，总费用最小，最小值为35万元．……12分 ‎（22）解：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，‎ 得．………………1分 所以当a≤0时，，………………3分 函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）单调递减，‎ 又f（1）=a﹣1＜0，………………6分 故函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．‎ 因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．………………8分 由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，‎ 令g（x）=2ax2﹣x﹣1．因为g（0）=﹣1＜0，‎2a＞0，‎ 所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．‎ 当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；‎ 当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．‎ 所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．………10分 要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，‎ 只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．‎ 又因为，所以2lnx0+x0﹣1＞0，‎ 又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，‎ 所以x0＞1，得．‎ 又由，得，‎ 所以0＜a＜1． ………………………………………………………………………12分 以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．‎ 当0＜a＜1时，，‎ 所以．因为，且f（x0）＜0．‎ 所以函数f（x）在上有一个零点．‎ 又因为（因为lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．‎ 所以函数f（x）在上有一个零点．‎ 所以当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．‎ 综上，实数a的取值范围为（0，1）．……………………………………………14分 ‎ ‎