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- 2021-06-30 发布
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2017-2018学年湖北省襄阳市高二下学期期末考试数学(文)试题
一、单选题
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】全称命题的否定是特称命题,则命题的否定是,故选C.
2.已知双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合,且其离心率,则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的实半轴长,利用双曲线的离心率得到c与b的值,从而得到双曲线方程.
详解:抛物线y2=8x焦点(2,0),可得双曲线的实半轴的长a=2,
双曲线(a>0,b>0)的离心率e=,可得c=3,则b=,
所以双曲线方程为:.
故选:A.
点睛:本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力,属于基础题.
3.已知函数 ,则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若在 上单调递增,则函数的的导数恒成立,即,所以“ ”是“在 上单调递增”的充分不必要条件,故选A.
4.已知原命题“若,则、中至少有一个不小于1”,原命题与其逆命题的真假情况是( )
A. 原命题为假,逆命题为真 B. 原命题为真,逆命题为假
C. 原命题与逆命题均为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题
【答案】B
【解析】分析:根据题意,写出逆否命题,据不等式的性质判断出逆否命题是真命题,所以原命题是真命题;写出逆命题,通过举反例,说明逆命题是假命题.
详解:逆否命题为:a,b都小于1,则a+b≤2是真命题
所以原命题是真命题
逆命题为:若、中至少有一个不小于1,则a+b>2,例如,当a=2,b=﹣2时,满足条件,当a+b=2+(﹣2)=0,这与a+b>2矛盾,故为假命题
故选:B.
点睛:判断一个命题的真假问题,若原命题不好判断,据原命题与其逆否命题的真假一致,常转化为判断其逆否命题的真假.
5.已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在线段上,且满足,,则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:由=2,•=0,知Q为PN的中点且GQ⊥PN,可得|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,从而可求方程.
详解::由=2,•=0,知Q为PN的中点且GQ⊥PN,
∴GQ为PN的中垂线,∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,
故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长a=3,半焦距c=,
∴短半轴长b=2,
∴点G的轨迹方程是+=1.
故选:D.
点睛:在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用,这三个定义的应用主要体现在两个方面,一个是根据定义判断曲线的类型,为求曲线的方程做铺垫;二是在已知曲线类型的情况下,利用定义可将曲线上的到焦点的距离进行转化,为问题的解决带来新的方向和思路.
6.已知命题,,命题,,若为真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:据“p∧q”的真假与p、q真假的关系是:全真则真,有假则假;得到p,q全真;利用不等式的性质及二次不等式恒成立令判别式小于0,得到m的范围.
详解:∵p∧q为真命题
∴p、q全真
若p真则m<0
若q真则m2﹣4<0解得﹣2<m<2
所以m的范围为(﹣2,0)
故选:D.
点睛:“”,“”“”等形式命题真假的判断步骤:(1)确定命题的构成形式;(2)判断其中命题的真假;(3)确定“”,“”“”等形式命题的真假.
7.下列命题中真命题的个数是( )
①若是假命题,则、都是假命题;
②命题“,”的否定是“,”
③若:,:,则是的充分不必要条件.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】分析:由复合命题的真假判断判断①;写出全程命题的否定判断②;由不等式的性质结合充分必要条件的判定方法判断③.
详解:①若p∧q是假命题,则p,q中至少一个是假命题,故①错误;
②命题“∀x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“”,故②正确;
③若x>1>0,则,反之,若,则x<0或x>1.
又p:x≤1,q:,∴¬p是q的充分不必要条件,故③正确.
∴正确命题的个数是2个.
故选:C.
点睛:本题考查命题的真假判断与应用,考查充分必要条件的判定方法,考查命题的否定,属于中档题.
8.若直线把圆分成面积相等的两部分,则当取得最大值时,坐标原点到直线的距离是( )
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】依题意可知直线过圆心,代入直线方程得,当且仅当时当好成立,此时原点到直线的距离为.
9.已知直线,,点为抛物线上的任一点,则到直线的距离之和的最小值为( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:由抛物线的定义可知P到直线l1,l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l2的距离.
详解:抛物线的焦点为F(﹣2,0),准线为l1:x=2.
∴P到l1的距离等于|PF|,
∴P到直线l1,l2的距离之和的最小值为F(﹣2,0)到直线l2的距离.
故选:C.
点睛:本题主要考查了抛物线定义的应用,属于基础题.
10.已知双曲线,若其过一、三象限的渐近线的倾斜角,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[,],可得1≤≤,即可求出双曲线的离心率e的取值范围.
详解:双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,
由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[,],
∴tan≤≤tan,
∴1≤≤,
∴1≤≤3,
∴2≤1+≤4,
即2≤e2≤4,
解得≤e≤2,
故选:B.
点睛:求离心率的常用方法有以下两种:
(1)求得的值,直接代入公式求解;
(2)列出关于的齐次方程(或不等式),然后根据,消去后转化成关于的方程(或不等式)求解.
11.设函数是的导函数,,,,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析:易得到fn(x)表达式以8为周期,呈周期性变化,由于2018÷8余2,故f2008(x)= f2(x),进而得到答案
详解:∵f0(x)=ex(cosx+sinx),
∴f0′(x)=ex(cosx+sinx)+ex(﹣sinx+cosx)=2excosx,
∴f1(x)==excosx,
∴f1′(x)=ex(cosx﹣sinx),
∴f2(x)==ex(cosx﹣sinx),
∴f2′(x)=ex(cosx﹣sinx)+ex(﹣sinx﹣cosx)=﹣2exsinx,
∴f3(x)=﹣exsinx,
∴f3′(x)=﹣ex(sinx+cosx),
∴f4(x)=﹣ex(cosx+sinx),
∴f4′(x)=﹣2excosx,
∴f5(x)=﹣excosx,
∴f6(x)=﹣ex(cosx﹣sinx),
∴f7(x)=exsinx,
∴f8(x)=ex(cosx+sinx),
…,
∴= f2(x)=,
故选:B.
点睛:本题通过观察几个函数解析式,归纳出一般规律来考查归纳推理,属于中档题.
归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等;(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
12.若直线与曲线相切,且,则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】分析:求出导函数,确定切点的坐标,在构造函数,即可得到结论.
详解:由题意,函数,则,
令,可得,故切点为,
代入,可得,
构造新函数,则,
即,所以,即,所以 ,故选C.
点睛:本题主要考查了导数的几何意义的应用,以及函数零点的存在定理的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.
二、填空题
13.若曲线在点处的切线的斜率为3,则点的坐标为__________.
【答案】、
【解析】分析:设P(m,n),则n=m3,求出函数的导数,可得切线的斜率,解m的方程可得m,n,即可得到P的坐标.
详解:设P(m,n),则n=m3,
y=x3的导数为y′=3x2,
可得曲线y=x3在点P处的切线斜率为3m2,
由题意可得3m2=3,
解得m=±1,
则m=1,n=1;m=﹣1,n=﹣1.
即P(1,1),(﹣1,﹣1).
故答案为:、
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为:设是曲线上的一点,则以的切点的切线方程为:.若曲线在点的切线平行于轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为.
14.若曲线(为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】分析:令y′≥0在(0,+∞)上恒成立可得a,根据右侧函数的值域即可得出a的范围.
详解:y′=+2ax,x∈(0,+∞),
∵曲线y=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,
∴y′=≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴a≥﹣恒成立,x∈(0,+∞).
令f(x)=﹣,x∈(0,+∞),则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(x)=﹣<0,
∴a≥0.
故答案为:.
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
15.已知双曲线的左、右焦点分别为、,是双曲线上一点,且轴,若的内切圆半径为,则其渐近线方程是__________.
【答案】
【解析】分析:由题意可得A在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,设Rt△AF1F2内切圆半径为r,运用等积法和勾股定理,可得r=c﹣a,结合条件和渐近线方程,计算即可得到所求.
详解:由点A在双曲线上,且AF2⊥x轴,
可得A在双曲线的右支上,
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,
设Rt△AF1F2内切圆半径为r,
运用面积相等可得S=|AF2|•|F1F2|
=r(|AF1|+|AF2|+|F1F2|),
由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2,
解得r=,
,即
∴渐近线方程是,
故答案为:.
点睛:本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透,这样才能快速找准突破点.
充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为、,过的直线与椭圆交于、两点,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】分析:设|F1F2|=2c,|AF1|=m,若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形,则|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m,再由椭圆的定义和周长的求法,可得m,再由勾股定理,可得a,c的方程,求得,开方得答案.
详解:如图,设|F1F2|=2c,|AF1|=m,
若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形,
则|AB|=|AF1|=m,|BF1|=m,
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a,
即有4a=2m+m,即m=2(2﹣)a,
则|AF2|=2a﹣m=(2﹣2)a,
在直角三角形AF1F2中,
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,
即4c2=4(2﹣)2a2+4(﹣1)2a2,
∴c2=(9﹣6)a2,
则e2==9﹣6=,
∴e=.
故答案为:.
点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出a,c,代入公式;
②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
三、解答题
17.已知函数,是否存在常数、,使在上取得最大值3,最小值?若存在,求出、的值,若不存在,请说明理由.
【答案】,或,
【解析】分析:由题意求导,讨论a以确定函数的单调性,从而确定最值,进而求得、的值.
详解:由得:
由得:或
若,则在上是增函数,在上是减函数
∴
这时,
,
∴,解得
若,则在上是减函数,在上是增函数
∴
这时,
,
∴,解得
∴存在常数,或,满足题设条件.
点睛:本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用,综合性强.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
18.已知命题:实数满足,命题:实数满足方程表示的焦点在轴上的椭圆,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】分析:根据条件求出命题p,q的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可.
详解:由得:,即命题
由表示焦点在轴上的椭圆,可得,解得,即命题.
因为是的充分不必要条件,所以或
解得:,∴实数的取值范围是.
点睛:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据条件求出命题p,q的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键.
19.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点,直线与该抛物线相交于、两个不同的点,点是的中点,求(为坐标原点)的面积.
【答案】
【解析】分析:由双曲线方程可得右焦点,即为抛物线的焦点,可得抛物线的方程,利用点差法得到直线的斜率为联立直线方程,可得y的二次方程,解得,利用割补法表示的面积为,带入即可得到结果.
详解:∵ 双曲线的左焦点的坐标为
∴的焦点坐标为,∴,
因此抛物线的方程为
设,,,则,
∴
∵为的中点,所以,故
∴直线的方程为
∵ 直线过点, ∴,
故直线的方程为,其与轴的交点为
由得:,,
∴的面积为.
点睛:本题考查双曲线和抛物线的方程和性质,考查直线方程与抛物线的方程联立,考查了点差法,考查了利用割补思想表示面积,以及化简整理的运算能力,属于中档题.
20.设椭圆经过点,其离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于、两点,且的面积为,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】分析:(1)由经过点P,得,由离心率为得=,再根据a2=b2+c2联立解方程组即可;
(2)联立直线方程与椭圆方程消y,得,易知判别式△>
0,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB的面积,令其为,即可解出m值,验证是否满足△>0.
详解:(1)解:由已知解得,,∴椭圆的方程为.
(2)解:由得:
由得:
设,,则,
∴
又到的距离为,∴
即,解得:.
符合,故.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
21.设函数
(1)求的单调区间;
(2)若为整数,且当时, 恒成立,其中为的导函数,求的最大值.
【答案】(1)f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增(2)2
【解析】试题分析:(1)先求导数,根据a的大小讨论导函数是否变号:若a≤0,导函数恒非负,为单调增区间;若a>0,导函数符号变化,先负后正,对应先减后增
(2)分类变量得 ,再利用导数求最小值:在极小值点取最小值,根据极值定义得 及零点存在定理确定范围 ,化简最小值为,并确定其范围为(2,3) ,因此可得正整数的最大值.
试题解析:(1)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a,
若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;
所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增
(2)由于a=1,
令,,
令,在单调递增,
且在上存在唯一零点,设此零点为,则
当时,,当时,
,
由,又
所以的最大值为2
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是,(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)设,;,若,与曲线分别交于异于原点的,两点,求
的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:
(1)将曲线的参数方程消去参数可得普通方程x2+y2-6x-8y=0,再化为极坐标方程可得。(2)把分别代入极坐标方程可得,再根据可求得的面积。
试题解析:
(1)将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,
即x2+y2-6x-8y=0.
∴ C的极坐标方程为.
(2)把代入,得,
∴.
把代入,得,
∴.
∴ 。
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)若不等式的解集是空集,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用零点分段讨论法去掉绝对值符号得到分段函数,再利用数形结合思想求函数的最值,进而求解;(Ⅱ)将问题转化为进行求解.
试题解析:(Ⅰ) 作出的图象(略),
数形结合知的最小值.
∵不等式的解集是空集,
∴实数的取值范围为.
(Ⅱ)存在,使得成立,等价于,
由(Ⅰ)可知,
所以,解得,故实数的取值范围为.
点睛:要正确区分不等式恒成立问题和存在性成立的区别,如:
恒成立
存在, 成立