数学卷·2018届河南省南阳市六校联考高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版） 20页

‎2016-2017学年河南省南阳市六校联考高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．若复数（a2﹣4）+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．0 B．2 C．﹣2 D．±2‎ ‎2．有一段“三段论”推理是这样的“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（x0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中：（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确．你认为正确的序号是（　　）‎ A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）‎ ‎3．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是（　　）‎ A．假设a，b，c都是奇数 B．假设a，b，c至少有两个是奇数 C．假设a，b，c至多有一个是奇数 D．假设a，b，c不都是奇数 ‎4．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．2 D．1‎ ‎5．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2‎ ‎4.2‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ m 且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=（　　）‎ A．5.6 B．5.3 C．5.0 D．4.7‎ ‎6．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a11+b11=（　　）‎ A．123 B．76 C．28 D．199‎ ‎7．为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（　　）‎ A．平均数 B．方差 C．回归分析 D．独立性检验 ‎8．数列{an}的前项和为，且，利用归纳推理，猜想{an}的通项公式为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．设a，b，c大于0，则3个数的值（　　）‎ A．至多有一个不大于1 B．都大于1‎ C．至少有一个不大于1 D．都小于1‎ ‎10．下面命题：‎ ‎①如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应；‎ ‎②两个复数互为共轭复数的充要条件是其积为实数；‎ ‎③x=y=1是x+yi=1+i的充分非必要条件；‎ ‎④0比﹣i大．‎ 其中正确的命题的个数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎11．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2=2px两边同时对x求导，得2yy'=2p，则，所以过点P的切线的斜率，试用上述方法求出双曲线在 处的切线方程为（　　）‎ A．2x﹣y=0 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若复数z满足，则的值为　　．‎ ‎14．用反证法证明“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”时，应假设　　．‎ ‎15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　　．‎ ‎16．如图所示的三角形数阵角“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数使它下一行左右相邻两个数的和，如，则第7行第5个数（从左到右）为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i ‎（1）与复数12+17i互为共轭；‎ ‎（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．‎ ‎18．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，‎ 证明：（1）ab+bc+ca≤；‎ ‎（2）++≥1．‎ ‎19．为了了解高血压是否与常喝酒有关，现对30名成年人进行了问卷调查得到如下列联表：‎ 常喝 不常喝 合计 正常血压 ‎　　‎ ‎8‎ ‎　　‎ 高血压 ‎　　‎ ‎2‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到正常血压成年人的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99%的把握认为高血压与常喝酒有关？说明理由；‎ ‎（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：K2=）‎ ‎20．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若，请根据这一发现，‎ ‎（1）求三次函数的对称中心；‎ ‎（2）计算．‎ ‎21．已知数列{an}满足：分别是公差不为零的等差数列{bn}的前三项．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求证：对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能是等比数列．‎ ‎22．某民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．先按照同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．‎ ‎（1）求出f（6）的值；‎ ‎（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省南阳市六校联考高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．若复数（a2﹣4）+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．0 B．2 C．﹣2 D．±2‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】复数是纯虚数，实部为0虚部不为0，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为复数a2﹣4+（a﹣2）i（i为虚数单位）是纯虚数，‎ 所以a2﹣4=0且a﹣2≠0，解得a=﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．有一段“三段论”推理是这样的“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（x0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中：（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确．你认为正确的序号是（　　）‎ A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ ‎【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，‎ 那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，‎ ‎∴大前提错误，推理形式正确；‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．用反证法证明命题：“若正系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0）有有理根，那么a，b，c中至多有两个是奇数”时，下列假设中正确的是（　　）‎ A．假设a，b，c都是奇数 B．假设a，b，c至少有两个是奇数 C．假设a，b，c至多有一个是奇数 D．假设a，b，c不都是奇数 ‎【考点】反证法的应用．‎ ‎【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．‎ 而命题：“a，b，c中至多有两个是奇数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=2x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．2 D．1‎ ‎【考点】相关系数．‎ ‎【分析】根据所有数据的样本点都在一条直线上，这组样本数据完全相关，其相关系数为1，得出结果．‎ ‎【解答】解：在一组样本数据的散点图中，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）‎ 都在一条直线y=2x+1上，‎ 那么这组样本数据完全正相关，且相关系数为1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2‎ ‎4.2‎ ‎4.5‎ ‎4.6‎ m 且回归方程是y=0.65x+2.7，则m=（　　）‎ A．5.6 B．5.3 C．5.0 D．4.7‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m．‎ ‎【解答】解：∵=2， =，‎ ‎∴代入回归方程y=0.65x+2.7，得m=4.7，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则a11+b11=（　　）‎ A．123 B．76 C．28 D．199‎ ‎【考点】进行简单的合情推理；数列的函数特性．‎ ‎【分析】由a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…其规律an+bn（n≥3）是前两个式的和．于是可得a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29，…．‎ ‎【解答】解：由a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…‎ 可以看到：其规律an+bn（n≥3）是前两个式的和．‎ 可得a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29，a8+b8=18+29=47，a9+b9=29+47=76，a10+b10=47+76=123，‎ ‎∴a11+b11=76+123=199．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．为了调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（　　）‎ A．平均数 B．方差 C．回归分析 D．独立性检验 ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据已知构建方程计算出表格中男性近视与女性近视，近视的人数，并填入表格的相应位置．根据列联表，及K2的计算公式，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．‎ ‎【解答】解：分析已知条件，易得如下表格．‎ 男生 女生 合计 近视 ‎80‎ ‎70‎ ‎150‎ 不近视 ‎70‎ ‎70‎ ‎140‎ 合计 ‎150‎ ‎140‎ ‎290‎ 根据列联表可得：K2，再根据与临界值比较，‎ 检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关，‎ 故利用独立性检验的方法最有说服力．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．数列{an}的前项和为，且，利用归纳推理，猜想{an}的通项公式为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】数列{an}中，前n项和为Sn，由a1=，Sn=n2an（n∈N*），可得S1；由S2可得a2的值，从而得S2；同理可得S3；可以猜想此数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：在数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=，Sn=n2an（n∈N*），‎ ‎∴S1=a1==；‎ ‎∴S2=+a2=4a2，‎ ‎∴a2==，‎ ‎∴S3=+a3=9a3，‎ ‎∴a3==；‎ ‎…‎ ‎∴猜想此数列的通项公式an=，‎ 故选：B ‎　‎ ‎9．设a，b，c大于0，则3个数的值（　　）‎ A．至多有一个不大于1 B．都大于1‎ C．至少有一个不大于1 D．都小于1‎ ‎【考点】反证法．‎ ‎【分析】利用发证法，假设3个数的值均大于1，则a＞b，b＞c，c＞a，显然矛盾，故假设不成立．‎ ‎【解答】解：由题意，若3个数的值均大于1，则a＞b，b＞c，c＞a，显然矛盾，‎ ‎∴若3个数的值至少有一个不大于1，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．下面命题：‎ ‎①如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应；‎ ‎②两个复数互为共轭复数的充要条件是其积为实数；‎ ‎③x=y=1是x+yi=1+i的充分非必要条件；‎ ‎④0比﹣i大．‎ 其中正确的命题的个数是（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据特殊情况当a=0时没有纯虚数判断①；‎ 根据共轭复数的定义和复数的运算判断②；‎ 由x、y不一定是实数判断③；‎ 根据虚数不能比较大小判断④；‎ ‎【解答】解：对于①，当 a=0时，没有纯虚数和它对应，故错；‎ 对于②，两个复数互为共轭复数时其积为实数，但是两个复数的积为实数不一定是共轭复数故错；‎ 对于③∵没有表明 x，y是否是实数，∴x+yi=1+i不能得到x=y=1是错误的，故正确；‎ 对于④，实数与虚数不能比较大小，故不正确．‎ 故选：C ‎　‎ ‎11．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的．”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的，证明时连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．‎ ‎【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，‎ 可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的．‎ 证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点．‎ 把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4×S•r=•S•h，r=h．‎ ‎（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．已知P（x0，y0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得，在y2=2px两边同时对x求导，得2yy'=2p，则，所以过点P的切线的斜率，试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为（　　）‎ A．2x﹣y=0 B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】把双曲线的解析式变形后，根据题中的例子，两边对x求导且解出y′，把P的坐标代入求出切线的斜率，然后根据切点P的坐标和求出的斜率，写出切线方程即可．‎ ‎【解答】解：由双曲线，得到y2=2x2﹣2，‎ 根据题意，两边同时对x求导得：2yy′=4x，解得y′=，‎ 由，得到过P得切线的斜率k=2，‎ 则所求的切线方程为：y﹣=2（x﹣），即2x﹣y﹣=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．若复数z满足，则的值为　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：由，‎ 得=，‎ ‎∴．‎ 则=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．用反证法证明“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”时，应假设　x≠﹣1且x≠1　．‎ ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】根据命题的否定的定义，求得命题“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”的否定为，即为所求．‎ ‎【解答】解：用反证法证明数学命题时，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的否定．‎ 而命题“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”的否定为：“若x2﹣1=0，则x≠﹣1且x≠1”，‎ 故答案为：x≠﹣1且x≠1．‎ ‎　‎ ‎15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　丙　．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．‎ ‎【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．‎ 若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．‎ 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．‎ 故答案为：丙．‎ ‎　‎ ‎16．如图所示的三角形数阵角“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数使它下一行左右相邻两个数的和，如，则第7行第5个数（从左到右）为　　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据题意，设“莱布尼兹调和三角形”中第n行第m个数为a（n，m），归纳可得每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，可得a（5，1）、a（6，1）、a（7，1）的值，进而可得a（7，2）与a（6，2）的值，而又由a（7，3）=a（6，2）﹣a（7，2），计算可得a（7，3）的值，结合“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设“莱布尼兹调和三角形”中第n行第m个数为a（n，m），‎ 由于“莱布尼兹调和三角形”中，每一行的第一个数字就是这个行数的倒数，且两个数字之和等于两个数字上方的数字之和，‎ 则a（5，1）=，a（6，1）=，a（7，1）=，‎ a（7，2）=a（6，1）﹣a（7，1）=，a（6，2）=a（5，1）﹣a（6，1）=，‎ a（7，3）=a（6，2）﹣a（7，2）=﹣=，‎ 根据“莱布尼兹调和三角形”的对程性，分析可得a（7，5）=a（7，3）=‎ ‎；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2）+（3﹣2m）i ‎（1）与复数12+17i互为共轭；‎ ‎（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】（1）根据共轭复数的定义得到关于 m的方程组，解出即可；（2）根据二次函数的性质求出|z|的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据共轭复数的定义得：‎ ‎，解得：m=10；‎ ‎（2）|z|==，‎ 当m=时，复数的模取最小值．‎ ‎　‎ ‎18．设a，b，c 均为正数，且a+b+c=1，‎ 证明：（1）ab+bc+ca≤；‎ ‎（2）++≥1．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，由累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证；‎ ‎（2）+b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，运用累加法和条件a+b+c=1，即可得证．‎ ‎【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，‎ 可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c取得等号）‎ 由题设可得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，‎ 即有3（ab+bc+ca）≤1，则ab+bc+ca≤；‎ ‎（2）+b≥2a， +c≥2b， +a≥2c，‎ 故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），‎ 即有++≥a+b+c．（当且仅当a=b=c取得等号）．‎ 故++≥1．‎ ‎　‎ ‎19．为了了解高血压是否与常喝酒有关，现对30名成年人进行了问卷调查得到如下列联表：‎ 常喝 不常喝 合计 正常血压 ‎　4　‎ ‎8‎ ‎　12　‎ 高血压 ‎　16　‎ ‎2‎ ‎　18　‎ 合计 ‎　20　‎ ‎　10　‎ ‎30‎ 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到正常血压成年人的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有99%的把握认为高血压与常喝酒有关？说明理由；‎ ‎（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．‎ 参考数据：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：K2=）‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）在全部30人中随机抽取1人，抽到正常血压成年人的概率为 ‎，求出正常血压成年人的人数，这样用总人数减去正常血压成年人的人数，剩下的是不正常血压成年人的人数，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．‎ ‎（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握认为高血压与常喝酒有关．‎ ‎（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．‎ ‎【解答】解：（1）抽到正常血压成年人有30×=12人，‎ 常喝 不常喝 合计 正常血压 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 高血压 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎（2）由已知数据可求得：K2==10＞7.879，‎ 因此有99.5%的把握认为高血压与常喝酒有关．‎ ‎（3）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况如下表 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙 分组的情况总有6中，工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种，‎ 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是P==．‎ ‎　‎ ‎20．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''（x）是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若，请根据这一发现，‎ ‎（1）求三次函数的对称中心；‎ ‎（2）计算．‎ ‎【考点】函数的值；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）先求出f′（x）=x2﹣x+2，f''（x）=2x﹣1，由f''（x）=2x﹣1=0，解得x=，再由f（）=1，能求出的对称中心．‎ ‎（2）由的对称中心为（），得到f（x）+f（1﹣x）=2，由此能求出．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴f′（x）=x2﹣x+2，f''（x）=2x﹣1，‎ 由f''（x）=2x﹣1=0，解得x=，‎ ‎∵f（）=1，∴由题设知的对称中心为（）．‎ ‎（2）∵的对称中心为（），‎ ‎∴，即f（x）+f（1﹣x）=2，‎ ‎∴=2×2016=2016．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}满足：分别是公差不为零的等差数列 ‎{bn}的前三项．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求证：对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能是等比数列．‎ ‎【考点】数列递推式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）a1=2，an+1=﹣kan+k，可得a2=4﹣k，a3=2k2﹣11k+16，又2a2=a1+a3代入解出即可得出．‎ ‎（2）由（1）可得：公差d=﹣，可得bn=．假设bn，b2n，b4n是等比数列， =bn•b4n，利用通项公式代入解出即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）解：∵a1=2，an+1=﹣kan+k，∴a2=4﹣k，a3=2k2﹣11k+16，又2a2=a1+a3，∴2（4﹣k）=2+2k2﹣11k+16，‎ 化为：2k2﹣9k+10=0，解得k=2或，又公差不为零的等差数列{bn}，∴k=．‎ ‎（2）证明：由（1）可得：公差d=4﹣﹣2=﹣，可得bn=2﹣（n﹣1）=．‎ 假设bn，b2n，b4n是等比数列，∴=bn•b4n，‎ ‎∴=×，化为：解得n=0与n∈N*矛盾．‎ 因此假设不成立，于是对任意的n∈N*，bn，b2n，b4n不可能是等比数列．‎ ‎　‎ ‎22．某民族的刺绣有着悠久的历史，如图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．先按照同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．‎ ‎（1）求出f（6）的值；‎ ‎（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】（1）根据题意，写出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）和f（5），f（6）的值；‎ ‎（2）根据前面5个函数值，得出规律，f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1），从而求出f（n）的表达式．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，得出 f（1）=1，f（2）=5，‎ f（3）=13，f（4）=25，‎ f（5）=41，f（6）=61；‎ ‎（2）根据前面四个发现规律：‎ f（2）﹣f（1）=4×1，‎ f（3）﹣f（2）=4×2，‎ f（4）﹣f（3）=4×3，‎ ‎…，‎ f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）；‎ 这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．‎