2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8-7利用向量求空间角和距离课件苏教版 22页

第七节　 利用向量求空间角和距离 内容索引 必备知识 · 自主学习 【 教材 · 知识梳理 】 1. 两条异面直线所成角的求法 设 a,b 分别是两异面直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 则 2. 直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 α 的法向量为 n, 直线 l 与平面 α 所成的角为 θ, a 与 n 的夹角为 β, 则 sin θ=|cos β|= . 3. 求二面角的大小 (1) 如图① ,AB,CD 分别是二面角 α- l -β 的两个面内与棱 l 垂直的直线 , 则二面角的 大小 θ=< >. (2) 如图②③ , n 1 , n 2 分别是二面角 α- l -β 的两个半平面 α,β 的法向量 , 则二面角 的大小 θ 满足 |cos θ|= |cos< n 1 , n 2 >|, 二面角的平面 角大小是 __________________________. 向量 n 1 与 n 2 的夹角 ( 或其补角 ) 4. 利用空间向量求距离 ( 供选用 ) (1) 两点间的距离 设点 A(x 1 ,y 1 ,z 1 ), 点 B(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 则 |AB|=| |=___________________________. (2) 点到平面的距离 如图所示 , 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段 , n 为平面 α 的法向量 , 则 B 到平面 α 的距 离为 . 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 设 a , b 是异面直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 则 l 1 与 l 2 所成的角就是 a , b 的夹角 .( 　　 ) (2) 设 a 是直线 l 的方向向量 , b 是平面 α 的法向量 , 则直线 l 与平面 α 成的角就是 a , b 的夹角 . ( 　　 ) (3) 设 a , b 是两个平面 α ,β 的法向量 , 则 α 与 β 所成的二面角的大小等于 a , b 的夹 角的大小 . ( 　　 ) (4) 利用 可以求空间中有向线段的长度 . ( 　　 ) (5) 直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120°, 则 l 和 α 所成角为 30°. ( 　　 ) 提示 : (1)×. 因为 < a , b >∈(0,π), l 1 与 l 2 夹角 θ∈(0, ]. (2)×. 因为 < a , b > 的余弦的绝对值等于线面角的正弦值 . (3)×. 因为 < a , b > 与二面角的大小相等或互补 . (4)√. (5)√. 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 混淆线线角与两向量夹角的范围致误 考点一、 T1,2 2 线面角与向量夹角混淆致误 考点二、典例 【 教材 · 基础自测 】 1.( 选修 2-1P113 习题 3.2T8 改编 ) 在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,E 是 C 1 D 1 的中点 , 则 异面直线 DE 与 AC 所成角的余弦值为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 建立如图空间直角坐标系 D - xyz, 设 DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E , 则 =(-1,1,0), = , 设异面直线 DE 与 AC 所成的角为 θ, 则 cos θ=|cos< >|= . 2.( 选修 2-1P118 复习题 T4 改编 ) 如图所示 , 在空间直角坐标系中 , 有一棱长为 a 的 正方体 ABCO-A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ________.  【 解析 】 由图易知 A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a, 答案 : a 3.( 选修 2-1P119 复习题 T13 改编 ) 二面角的棱上有 A,B 两点 , 直线 AC,BD 分别在这 个二面角的两个半平面内 , 且都垂直于 AB. 已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 , 则该 二面角的大小为 ________.  【 解析 】 所以 · =| |·| |·cos< , >=-24. 所以 cos< , >=- . 而二面角与 < , > 互补 , 所以所求二面角为 60°. 答案 : 60° 4.( 选修 2-1P118 复习题 T7 改编 ) 正三棱柱 ( 底面是正三角形的直棱柱 )ABC-A 1 B 1 C 1 的底面边长为 2, 侧棱长为 2 , 则 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角为 ________.  【 解析 】 以 A 为原点 , 以 (AE⊥AB), 所在直线为坐标轴 ( 如图 ) 建立空间 直角坐标系 , 设 D 为 A 1 B 1 的中点 , 则 A(0,0,0),C 1 (1, ,2 ),D(1,0,2 ), 所以 =(1, ,2 ), =(1,0,2 ). ∠C 1 AD 为 AC 1 与平面 ABB 1 A 1 所成的角 cos∠C 1 AD= 又因为∠ C 1 AD∈ , 所以∠ C 1 AD= . 答案 :