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  • 2021-07-01 发布

高中数学必修1教案:第五章(第5课时)实数与向量的积(2)

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课 题:实数与向量的积(2)‎ 教学目的:‎ ‎1了解平面向量基本定理;‎ ‎2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法;‎ ‎3能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达 教学重点:平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 教学难点:平面向量基本定理的理解 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向 ‎2向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;‎ ‎3零向量、单位向量概念:①长度为0的向量叫零向量, ‎ ‎②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量 ‎4平行向量定义:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;‎ ‎②我们规定0与任一向量平行向量a、b、c平行,记作a∥b∥c ‎5相等向量定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量 ‎6共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量 ‎7向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 ‎8.向量加法的交换律:+=+‎ ‎9.向量加法的结合律:(+) +=+ (+)‎ ‎10.向量的减法向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差即:a - b = a + (-b) ‎ ‎11.差向量的意义: = a, = b, 则= a - b ‎ 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 ‎12.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ ‎(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=‎ ‎13.运算定律 结合律:λ(μ)=(λμ) ‎ 分配律:(λ+μ)=λ+μ λ(+)=λ+λ ‎ ‎14. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使=λ 二、讲解新课:(共面向量定理)‎ 平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2‎ 探究:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;‎ ‎(2)基底不惟一,关键是不共线;‎ ‎(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;‎ ‎(4)基底给定时,分解形式惟一 λ1,λ2是被,,唯一确定的数量 三、讲解范例:‎ 例1 已知向量, 求作向量-25+3‎ 作法:(1)取点O,作=-25 =3‎ ‎ (2)作 OACB,即为所求-25+3‎ 例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,,和 ‎ 解:在 ABCD中 , ∵=+=+ ,=-=- ‎ ‎∴=-=-(+)=--,‎ ‎==(-)=- ‎==+‎ ‎=-=-=-+‎ 例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,‎ 求证:+++=4‎ ‎ 证明:∵E是对角线AC和BD的交点 ‎ ∴==- ,==- ‎ 在△OAE中,+=‎ 同理 += , += ,+=‎ 以上各式相加,得 +++=4‎ 例4如图,,不共线,=t (tÎR)用,表示 ‎ 解:∵=t ‎ ‎∴=+=+ t ‎ ‎=+ t(-)=+ t-t=(1-t) + t ‎ 四、课堂练习:‎ ‎1设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有 Ae1、e2一定平行 ‎ Be1、e2的模相等 C同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R) D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)‎ ‎2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系 A不共线 B共线 C相等 D无法确定 ‎3已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于 A3 B-3 C0 D2‎ ‎4若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ= ‎ ‎5已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1= ‎ ‎6已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,‎ a与e2_________(填共线或不共线)‎ 参考答案:1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线 不共线 五、小结 平面向量基本定理,其实质:同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合 六、课后作业:‎ ‎1.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a、b为基底分解向量与 分析:以a,b为基底分解与,实为用a与b表示向量与 解:由H、M、F所在位置有:‎ ‎=+=+=+=b+a,‎ ‎=-=+-‎ ‎=+=+-=a-b ‎2.如图,O是三角形ABC内一点,PQ∥BC,且=t,=a,=b,=с,求与 分析:由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC,且对应边的比为t,∴=t,转化向量的关系为:=t,=t,又由于已知和未知向量均以原点O为起点,所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示,是解决问题的途径所在 解:∵PQ∥BC,且=t,有△APQ∽△ABC,且对应边比为t(=),即=t.‎ 转化为向量的关系有:=t,=t,‎ 又由于:=-,=-,‎ ‎=-,=-‎ ‎∴=+=+t(-)‎ ‎=a+t(b-a)=(1-t)a+tb,‎ ‎=+=+t(-)‎ ‎=t(с-a)+a=(1-t)a+tс 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎ ‎1注意图形语言的应用 用向量法解平面几何问题,实质上是将平面几何问题的代数化处理,在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译 例1 如图,已知MN是△ABC的中位线,求证:MN=BC且MN∥BC 分析:首先把图形语言:M、N是AB、AC的中点翻译成向量语言:=,=然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言,即 ‎=-=-‎ ‎=(-)=‎ 最后又将向量语言=翻译成图形语言就是:MN=BC且MN∥BC ‎2向量法应用 例2已知平行四边形ABCD,E、F分别是DC和AB的中点,求证:AE∥CF 证明:因为E、F为DC、AB的中点,‎ ‎∴=,=,‎ 由向量加法法则可知:‎ ‎=+=+,=+=+‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴=-,=-,‎ ‎∴=--=-(+)=-‎ ‎∴∥,∴AE∥CF 强化训练:‎ ‎1下面向量a、b共线的有( )‎ ‎(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2 ‎(3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2(e1、e2不共线) A(2)(3) B(2)(3)(4) C(1)(3)(4) D(1)(2)(3)(4)‎ ‎2设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠±1),O是空间一点,则用 、表示式为( ) A =+λ B =λ+(1-λ) ‎ C = D ‎3若a、b是不共线的两向量,且=λ1a+b, =a+λ2b(λ1、λ2∈R),则A、B、C三点共线的充要条件为( )‎ Aλ1=λ2=-1 Bλ1=λ2=1 Cλ1λ2+1=0 Dλ1λ2-1=0‎ ‎4若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为λ1b+λ2c的形式是 ‎ ‎5已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λe2,若a与b共线,则实数λ= ‎ ‎6设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c, ‎ ‎ =d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是 ‎ ‎7设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(t∈R),求证A、B、P三点共线 ‎8当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件 ‎9已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d=λa+μb与c共线? 参考答案:1A 2C 3D 4- b+c 5- 6平行四边形 ‎7(略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d与c共线