【数学】2020届一轮复习人教A版第23课三角函数的基本概念学案（江苏专用） 6页

第四章　三 角 函 数 ‎____第23课__三角函数的基本概念____‎ ‎1. 理解任意角的概念；理解终边相同的角的意义．‎ ‎2. 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化．‎ ‎3. 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.‎ ‎1. 阅读：必修4第4～15页．‎ ‎2. 解悟：①正角、负角、零角、象限角、轴线角、终边相同角的含义；②弧度制下的弧长、扇形面积公式；③任意角的三角函数的定义．‎ ‎3. 践习：在教材空白处完成必修4第7页练习第3、8题；第10页练习第8题；第15页练习第3题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 若角α的终边与角120°的终边相同，则是第__一、三__象限角．‎ 解析：由题意得，a＝360°·k＋120°(k∈Z)，则＝180°·k＋60°(k∈Z)，所以是第一、三象限角．‎ ‎【备用题】 用弧度制表示下列集合：‎ ‎(1) y轴负半轴；(2) 第二、四象限角平分线；(3) 第一象限角．‎ 解析：(1) .‎ ‎(2) .(注意是kπ！)‎ ‎(3) .‎ 注：(1)、(2)答案不唯一，也常写成：‎ ‎(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎2. 若角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－，则x的值为__10__．‎ 解析：tanα＝－＝－，则x＝10.‎ ‎3. 若扇形周长为10，面积是4，则扇形圆心角的弧度数为____．‎ 解析：设圆心角是θ，半径是r，则得或(舍去)，‎ 所以扇形的圆心角的弧度数为.‎ ‎4. 给出下列命题：‎ ‎①第二象限角大于第一象限角；‎ ‎②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；‎ ‎③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；‎ ‎④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；‎ ‎⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限角．‎ 其中正确的命题是__③__. (填序号)‎ 解析：由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的一个内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π，cosθ＝－1<0时，既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 三角函数的值及符号的判定 例1　已知sinα<0且tanα>0.‎ ‎(1) 求角α的集合；‎ ‎(2) 求角终边所在的象限；‎ ‎(3) 判断tan·sin·cos的符号．‎ 解析：由sinα<0得角α在第三、四象限或y轴的负半轴上，由tanα>0得α在第一、三象限，故满足题意的角α在第三象限．‎ ‎(1) 角α的集合为{α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2) 由2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，得kπ＋<0；当的终边在第四象限时，tan·sin·cos>0.综上，tan·sin·cos>0.‎ 若θ是第二象限角，且＝－cos，则是第几象限角？‎ 解析：因为θ是第二象限角，所以2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z，则kπ＋<0时，sinα＝＝＝＝，‎ cosα＝＝＝，tanα＝2；‎ 当a<0时，sinα＝＝＝＝－，‎ cosα＝＝＝－；tanα＝2.‎ 反思比较：比书上例题多了不确定因素，所以需要分类讨论.‎ 考向❸ 弧长公式及扇形的面积公式 ‎　例3　已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径为R.‎ ‎(1) 若α＝，R＝10cm，求扇形的弧长及该扇形内的弓形的面积；‎ ‎(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ 解析：(1) 设扇形的弧长l，该扇形内的弓形的面积为S，当α＝，R＝10cm时，可知l＝αR＝ cm，而S＝S扇形－S△AOB＝lR－R2sin＝××10－×100×＝cm2.　‎ ‎(2) 2R＋l＝C，l＝|α|·R＝αR，‎ 所以2R＋αR＝C，‎ 所以R＝，所以S扇形＝|α|R2＝αR2＝α×＝C2×＝C2×≤C2×＝C2.当且仅当α＝2时，等号成立，即当α＝2弧度时，该扇形有最大面积C2.‎ 扇形的面积为20cm2，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？‎ 解析：设扇形的半径为r，则扇形的弧长为|α|r.因为0<α<2π，所以扇形面积S＝αr2＝20，则r＝＝2.又因为扇形的周长C＝2r＋αr＝(2＋α)r＝2(2＋α)＝2≥8，当且仅当α＝2弧度时，周长取得最小值．‎ ‎【注】 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__－__．‎ 解析：将分针拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，化为弧度数为－.‎ ‎2. 已知角α的终边经过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m＝____．‎ 解析：角α的终边经过点P(－8m，－3)，又因为cosα＝－<0，所以角α的终边在第三象限，则m>0，所以OP＝，cosα＝＝－，解得m＝.‎ ‎3. 已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与直线y＝3x重合，则角 α的正弦值为__±__．‎ 解析：由题意得，tanα＝3，所以角α的终边在第一、三象限，若角α的终边在第一象限，则sinα＝.若角α的终边在第三象限，则sinα＝－，所以角α的正弦值为±.‎ ‎4. 若角α与终边相同，则在[0，2π]上终边与角的终边相同的角是__，，，__．‎ 解析：由题意得，α＝2kπ＋，k∈Z，所以＝＋，k∈Z.又因为∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3时，分别为，，，.‎ ‎1. 任意角的三角函数是学习三角函数的基础，要注意在求解相关三角函数值时对符号的讨论，牢记“角优先”，明确角的取值范围．‎ ‎2. 运用三角函数的定义解三角函数有关问题，既体现了“回到定义”的思维策略的重要意义，也是一种重要的转化方法，应该重视这种“代数化”的思想．‎ ‎3. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎