安徽省2019届皖南八校高三第一次联考数学（文） 17页

‎“皖南八校”2019届高三第一次联考 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题題5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.设集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 观察法直接写出A与B的交集．‎ ‎【详解】∵A={2，4，5，6}，‎ ‎∴A∩B={2}，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.。‎ ‎2.设(是虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【详解】由，得在第二象限 ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎3.函数且是增函数的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性，结合充分条件与必要条件的定义求解即可.‎ ‎【详解】与是函数且为增函数的既不充分又不必要条件；‎ 是函数且为增函数的充要条件；‎ 可得，不等得到，‎ 所以是函数且是增函数的一个充分不必要条件，故选C.‎ ‎【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎4.若，上，则m＋2n的最小值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式的性质求出最小值 ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时，取“”．‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.若角满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式及二倍角的正弦、余弦函数公式即可求出值.‎ ‎【详解】，‎ 又，所以．‎ ‎【点睛】考查学生灵活运用诱导公式和二倍角公式求值问题．‎ ‎6.已知函数，则的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由里及外逐步求解函数值即可．‎ ‎【详解】，．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎7.如图在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据平面向量加法与减法的运算法则化简求解即可.‎ ‎【详解】根据平面向量的运算法则 ‎；‎ 因 所以,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的几何运算及外接圆的性质、向量的夹角，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．‎ ‎8.若函数在区间（－a，a）上是单调函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数在上递增，由可得结果.‎ ‎【详解】函数函数可化为 ‎，‎ 由可得 函数的单调增区间为 由 可得，实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,‎ 则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.‎ ‎9.设不等式组，所表示的平面区城为M，若直线的图象经过区域M，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，将问题转化为可行域内的点与连线的斜率的范围求解即可.‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的可行域，如图，‎ 恒过，‎ 即为可行域内的点与连线的斜率，‎ 由图可知，，‎ 即实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2‎ ‎）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10.已知定义在上的函数满足，当时，， ‎ A. 6 B. 4 C. 2 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x+2）=﹣f（x）求出函数的周期4，求出一个周期f（1）+f（2）+f（3）+f（4）的值．然后求解表达式的值．‎ ‎【详解】∵，∴的周期为4，‎ ‎，，，．‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性，抽象函数的应用，根据周期性求代数式的值，属于一道基础题．‎ ‎11.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象则）图象的一条对称轴为直线 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由最值求，由周期求，利用特殊点求，从而可得结果.‎ ‎【详解】由图象可知 ‎，‎ 所以 ‎，‎ ‎，‎ 可得，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时 ‎12.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的个数是 ‎①△ABC是锐角三角形②对于，都有＞0‎ ‎③＝0在区间（1，2）上有解 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a，b，c是三角形的三边长，得出f（x）=cx[+﹣1]＞cx（+﹣1）＞0，判断②正确；‎ ‎△ABC为钝角三角形时a2+b2﹣c2＜0，f（1）＞0，f（2）＜0，函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，判断③正确．‎ ‎【详解】①因为，所以，角为钝角，‎ 故①错；‎ ‎②因为，，是的三条边长，所以，‎ 又，，‎ 所以，，‎ 当时，‎ ‎，‎ 故②正确；‎ ‎③因为角为钝角，所以，‎ 因为，，‎ 根据零点的存在性定理可知在区间上存在零点，‎ 所以存在，使，‎ 故③正确．‎ ‎【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数的性质与应用问题，是综合题 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.设数列是等差数列，且，则＝_______。‎ ‎【答案】0 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差数列的性质求值.‎ ‎【详解】∵，∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质.等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.‎ ‎14.已知向量，若，则__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，构造方程，解方程求出x，有了的坐标，代入向量模 ‎ 的计算公式，即可求出模．‎ ‎【详解】由得：，解得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=‎ ‎15.已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是_____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题可得，因为函数在区间上存在最值，所以，即，解得，故实数的取值范围是．‎ ‎16.设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___。‎ ‎【答案】5 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，从而可得，进而可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,是奇函数，‎ ‎，‎ 即，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数奇偶性的判断与应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 ‎17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若△ABC的周长为7，求△ABC的面积 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理得a,b,c的等式，结合余弦定理求出的值；‎ ‎（2）由条件将的值代入求出的值，再利用面积公式求出的面积.‎ 详解】（1）∵，由正弦定理，‎ 得，∴，‎ 又由余弦定理，得， ‎ 因为，故． ‎ ‎（2）若的周长为7，又，所以，，‎ 故的面积为．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正确使用公式是求解该题的关键. 题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎18.数列的前n项和记为，且，数列满足 ‎（1）求数列，的通项公式 ‎（2）设，数列的前n项和为,证明 ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系求数列{an}通项公式，同时可求得{bn}（2）利用裂项相消法求后可证．‎ ‎【详解】（1）∵，∴，∴．‎ 时，，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以5为首项，5为公比的等比数列，‎ ‎∴． ‎ ‎∴． ‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及数列求和，‎ 求和关键看通项的结构形式，如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，‎ 则用裂项相消法；‎ ‎19.已知向量，，函数 ‎（1）若∥，求x的值；‎ ‎（2）求函数的最小正周期和单调递增区间 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量共线坐标所满足的条件，求得x的值.‎ ‎（2）由向量和三角函数化简可得f（x），可得周期和单调递增区间；‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎∴；∴．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 令得，‎ ‎∴单调递增区间是．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的性质，涉及共线向量坐标运算和向量的数量积，属中档题．‎ ‎20.命题P：有意义；命题q：函数在上是单调函数 ‎（1）写出命题，若p为真命题，求实数a的取值范围 ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用全称命题的否定可得无意义，为真命题时，分类讨论可得，；（2）为真命题时，，化简命题可得或，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）无意义，‎ P为真命题时，.‎ 当时，有意义.‎ 当时，有意义.‎ p为真命题时，. ‎ ‎（2）为真命题时，， ‎ q为真命题时，，‎ 由函数在上是单调函数，‎ 或时成立，或. ‎ 为真命题，为假命题，‎ 与q一真一假， ‎ 当为真命题时，q为假命题时，.‎ 当为假命题时，q为真命题时，. ‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）求证：对任意，有 ‎（2）若在实数集内有两个零点，求实数a的取值范围 ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数研究函数的单调性，由单调性可得时，；（2）由. 若，则恒成立，在R内递增，不可能有2个零点，若利用导数可得在内递减，在内递增，由题意，则，利用导数结合零点存在定理可得结果.‎ ‎【详解】（1）.‎ 令，解得.‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ 极大值1‎ 在内是增函数，在内是减函数. ‎ 时，‎ ‎（2）. ‎ 若，则恒成立，在R内递增，不可能有2个零点 若得 令得； 令得.‎ 在内递减，在内递增，‎ 由题意，则. ‎ 下证：时，有2个零点，‎ 由及单调性知在内有1个零点. ‎ 时，，‎ ‎，取，则，‎ ‎.‎ 由（1）知，取，‎ 则，‎ 由的单调性知在内有1个零点， ‎ 有2个零点时，.‎ ‎【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.‎ ‎22.设函数，其中．若函数 在区间上单调递增，‎ ‎（1）求实数a的取值范围 ‎（2）记函数（其中），若恒成立，求实数a的取值范围 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，便得到在该区间上f′（x）≥0，然后用x表示a，即得到，只需求的范围即可．‎ ‎（Ⅱ）求出F（x）=x2﹣ax﹣2lnx+ln2x+2a2，通过导函数研究其单调性进而求得最值，只需要的最小值即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 若函数在区间上单调递增，则恒成立，‎ 即恒成立； ‎ ‎∵在内递增，且当时，，‎ ‎∴时，，∴若恒成立，则，‎ ‎∴的取值范围是． ‎ ‎（2），∴，∴，‎ ‎∴，（），‎ 记（），‎ 则，‎ 由（1）知，，∴，‎ ‎∴在内递增，∴， ‎ ‎∴恒成立，∴在上递增，‎ ‎∴，‎ 若恒成立，则，‎ 解得或，又∵，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.即恒成立⇔，恒成立⇔.‎ ‎ ‎ ‎ ‎