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- 2021-07-01 发布
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2020-2021 学年度第一学期南通市四校 12 月第二次
联考
数学试题
一．单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
1. 已知集合 A={a|a2-4a<5},B={a| a<2}正确的是 ( )
A.-1,2∈A B. 15∉ B C.B
⊆
A D.A∪B={a|-50,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 已知 f(x)= cosπx x≤1
f(x-1)+1 x>1 则 f(4
3)+f(-4
3)的值为 ( )
A.1
2 B.- 1
2 C.-1 D.1
4. 已知函数f(x)=
ax x>1
(4-a
2)x+2 x≤1 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8)
5. 根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361,而可观测宇宙中普通物质的原
子总数 N 约为 1080.则下列各数中与M
N
最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)
( )
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
6. 已知函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是 ( )
A.f(x)=ln|x|
x B.f(x)=ex
x C.f(x)=1
x2-1 D.f(x)=x-1
x
7. 已知函数 f(x)= x+2+k，若存在区间[a,b][-2,+∞)使得函数 f(x)在区间[a,b]上的值域为
[a+2,b+2]，则实数 k 的取值范围为（ ）
A.( -1,+∞) B.(-1
4,0] C. (-1
4,+∞) D. ( -1,0]
8. 已知函数 f(x)=
-x2+2x x≤0
ln(x+1) x>0 ，若| f(x)|≥kx，则 k 的取值范围是（ ）
A. (-∞,0] B. (-∞,1] C.[-2,1] D. [-2,0]
二．多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
9. 给出下列命题:
A.∃a∈R,ln(a2+1)<0; B.∀a>2,a2>2a;
C.∀α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β; D.a>b 是 2a>2b 的充要条件.
其中假．命题为 ( )
10. 对于函数 f(x)= x
1+|x|
，下列判断正确的是（ ）
A. f(-x+1)+ f(x-1)=0 B. 当 m∈(0,1)时，方程 f(x)=m 有唯一实数解
C. 函数 f(x)的值域为(-∞, ∞) D. ∀x1≠x2，f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
11. 关于函数 f(x)=2
x+lnx，下列判断正确的是（ ）
A. x=2 是 f(x)的极大值点 B. 函数 y=f(x)-x 有且只有 1 个零点
C. 存在正实数 k，使得 f(x)>kx 成立 D. 对任意两个正实数 x1,x2，且 x1>x2，若 f(x1)=
f(x2)，则 x1+x2>4.
12. 定义在(0,+∞)上的函数 f(x)的导函数为 f′(x),且(x+1)f′(x)- f(x)5 B.若 f(1)=2,x>1,则 f(x)>x2+1
2x+1
2
C.f(3)-2f(1)<7 D.若 f(1)=2,0x2+1
2x+1
2
三．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.请把答案填涂在答题卡相应的
位置上）
13. 函数 f(x)=(1
3)x -log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
14.下表给出了 x 与 lgx 的 5 组对应值：
x 3 5 8 9 15
lgx 2a-b a+c 3-3a-3c 4a-2b 3a-b+c+1
假设在上表的各组对应值中，有且只有一个是错误的，则错误的对数值是 .
15. 已知 f(x)=(ax-1)ex-2 在点(2,f(2))处的切线过点(3,3),则 f(x)的单调递增区间为
和 a 的值为 .
16. 已知函数 f(x)= -x2+bx+c的定义域为 D,对于任意的 x∈D 都有 f(-1)≤f(x)≤f(1)成立，则
bc+f(3)的值为 .
四．解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10 分）
设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x.
(1)求 f(π)的值.
(2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积.
18. （本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值.
(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.
19. （本小题满分 12 分）
已知函数 f(x)=(x-3)ex+a(x-2)2,其中 e 为自然对数的底数,a∈R.讨论 f(x)的单调性.
20. （本小题满分 12 分）
假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料：
使用年限 x 2 3 4 5 6
维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系，试求：
(1)线性回归方程y^＝bx＋a 的回归系数 a、b；
(2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
(参考数据与公式：错误!iyi＝112.3,b＝错误!)
21. （本小题满分 12 分）
已知实数 a,b,c 满足 a
m+2+ b
m+1+c
m=0(m>0),f(x)=ax2+bx+c,求证：
(1)a≠0 时 a·f( m
m+1)<0
(2) a≠0 时 f(x)=0 在(0,1)内有解.
22. （本小题满分 12 分）
设函数 f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax ,
(1)若 f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且 g(x)在(1,+∞)上有最小值，求 a 的取值范围，
(2) g(x)在(-1,+∞)是单调增函数，试求 f(x)的零点的个数，并证明你的结论.
2020-2021 学年度高三数学考试答题卡
一．单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）
1 2 3 4 5 6 7 8
C A D B D A B D
二．多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.在每小题给出的四个选项中，
至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 全部选对的得 5
分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分）
9 10 11 12
BCD ABD BD CD
三．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.）
13 14 15 16
3 lg15 (0,+∞),1 6
四．解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本小题 10 分）
(1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,
所以 f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由 f(x)是奇函数且 f(x+2)=-f(x),得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即 f(1+x)=f(1-x).
故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.
又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 S=4S△OAB=4×(1
2×2×1)=4.
18.（本小题 12 分）
f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意得 f(0)=b=0,f′(x)=-a(a+2)=-3,解得 b=0,a=-3 或 a=1.
(2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,
所以关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0，即 4a2+4a+1>0,所以 a≠-.
所以 a 的取值范围为(-∞,-1
2)∪(-1
2,+∞).
19.（本小题 12 分）
f′(x)=ex+(x-3)ex+2a(x-2)=(x-2)(ex+2a).
(1)当 a≥0 时,令 f′(x)>0,得 x>2,令 f′(x)<0,得 x<2,所以 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上
单调递减.
(2)当 a<0 时,由 f′(x)=0 得 x=2 或 x=ln(-2a),
①当 ln(-2a)<2,即 a>-时,
当 x∈(-∞,ln(-2a))时,f′(x)>0,
当 x∈(ln(-2a),2)时,f′(x)<0,
当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,ln(-2a))和(2,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),2)上单调递减.
②当 ln(-2a)=2 即 a=-时,f′(x)≥0 恒成立,f(x)在 R 上单调递增.
③当 ln(-2a)>2 即 a<-时,
当 x∈(-∞,2)时,f′(x)>0,
当 x∈(2,ln(-2a))时,f′(x)<0,
当 x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0.
所以 f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减.
20.（本小题 12 分）
(1)由条件知
x－＝1
5(2＋3＋4＋5＋6)＝4， y－＝1
5(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5，
错误!2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90，错误!iyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝
112.3.
由公式可得 b＝错误!＝112.3－5×4×5
90－5×42
＝12.3
10
＝1.23.
a＝ y－－b x－＝5－1.23×4＝0.08.
(2)由(1)知回归直线方程为y^＝1.23x＋0.08，当 x＝10 时，y^＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08
＝12.38，即估计使用 10 年时，维修费用是 12.38 万元．
21.（本小题 12 分）
(1) a·f( m
m+1)=am( m
(m+1)2+ b
m+1+c
m=- ma2
(m+1)2(m+2)<0;
(2)f(0)=c,f(1)=a+b+c
不妨设 a>0,则 f( m
m+1)<0,
若 c>0,则 f(x)在(0, m
m+1)内有解
若 c≤0,则 f(1)=a+b+c= a
m+2-c
m>0, 则 f(x)在( m
m+1,1)内有解
22.（本小题 12 分）
解：（1）f′(x)=x-1-a, g′(x)=ex-a
由题意：f′(x)≤0 对 x∈(1,+∞)恒成立,即 a≥x-1 对 x∈(1,+∞)恒成立
∴a≥1
∵g(x)在(1,+∞)上有最小值
a≤0 时 g′(x)>0 恒成立,g(x) (1,+∞)无最值. a>0 时，有题意 lna>1,a>e
综上：a 的范围是：a>e
（2）g(x)在(-1,+∞)上单调递增， 可得 a≤e-1.
a=0 时，有唯一零点 x=1;
a<0 时，f′(x)>0 恒成立，f(ea)<0(00, f(x)在(0,+∞)有唯一零点;
00,f(1)<0,f(e
4
a)<0,
f(x)在(0,+∞)有两个零点.
综上所述，a≤0 时，有唯一零点；0
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