2020高中数学 课时分层作业13 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修2-1 5页

课时分层作业(十三)　 抛物线的简单几何性质 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．方程y＝－2所表示曲线的形状是(　　)‎ D　[方程y＝－2等价于故选D.]‎ ‎2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　)‎ A．16　 B．‎12　‎　　C．10　　　D．8‎ B　[由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]‎ ‎3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　) ‎ ‎【导学号：46342115】‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B　[点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]‎ ‎4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 (　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1‎ C．x＝2 D．x＝－2‎ B　[易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]‎ ‎5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)‎ A．4 B．‎8 C．8 D．16‎ B　[设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0)‎ 5‎ 所以＝－，即y0＝4.‎ 由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6.‎ 从而|PF|＝6＋2＝8.]‎ 二、填空题 ‎6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.‎ ‎0或1　[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.]‎ ‎7．2017设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．‎ ‎(x＋1)2＋(y－)2＝1　[由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.‎ 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]‎ ‎8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________. ‎ ‎【导学号：46342116】‎ 　[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.‎ 由得x2＋(‎2m－4)x＋m2＝0‎ 则Δ＝(‎2m－4)2－‎4m2‎＝0，解得m＝1‎ 即直线方程为x－y＋1＝0‎ 直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.‎ 即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]‎ 三、解答题 ‎9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.‎ ‎(1)求抛物线C的方程．‎ ‎(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．‎ ‎[解]　(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，因为P(4，m 5‎ ‎)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.‎ 因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，‎ 解得k>－1且k≠0.‎ 又＝＝2，‎ 解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.‎ ‎10．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．求证：‎ ‎(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；‎ ‎(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；‎ ‎(3)＋为定值. ‎ ‎【导学号：46342117】‎ ‎[证明]　(1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，‎ y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，‎ ‎∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p‎2m2‎＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p，‎ ‎∴θ＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝；‎ θ≠90°时，m＝，x1＋x2＝＋p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝.‎ ‎∴|AB|＝.‎ ‎(2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝；‎ ‎(3)＋＝＋＝＝＝.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 5‎ C　[因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.]‎ ‎2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为(　　)‎ A. B．2 ‎ C．2 D．3 C　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．‎ 联立得方程组 解得或 ‎∵点M在x轴的上方，‎ ‎∴M(3,2)．‎ ‎∵MN⊥l，‎ ‎∴N(－1,2)．‎ ‎∴|NF|＝＝4，‎ ‎|MF|＝|MN|＝＝4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形．‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ 故选C.]‎ ‎3．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是________．‎ ‎(0,0)　[设P(x0，y0)，则＝(x0－2，y0)，‎ ＝(x0－4，y0)，‎ 所以·＝(x0－2)(x0－4)＋y，又y＝－4x0，‎ 5‎ 所以·＝x－10x0＋8＝(x0－5)2－17，‎ 因为x0≤0，所以当x0＝0时，·取得最小值．‎ 此时点P的坐标为(0,0)．]‎ ‎4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________. ‎ ‎【导学号：46342118】‎ ‎32　[y＝4x1，y＝4x2，则y＋y＝4(x1＋x2)‎ 若过点P(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x＝4，‎ 此时x1＋x2＝8，y＋y＝32，‎ 若过点P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，‎ 则x1＋x2＝8＋>8，此时y＋y>32‎ 因此y＋y的最小值为32.]‎ ‎5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.‎ ‎(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积．‎ ‎(2)求证：直线AB过定点．‎ ‎[解]　(1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.‎ 因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.‎ 因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.‎ ‎(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，‎ 所以＝，所以kAB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 所以y＝＋y1－，‎ 即y＝＋.‎ 因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝＋，‎ 所以y＝(x－2p)，‎ 即直线AB过定点(2p,0).‎ 5‎