2006年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设集合M={x|x‎2‎-x<0}‎，N={x||x|<2}‎，则（ ）‎ A.M∩N=⌀‎ B.M∩N=M C.M∪N=M D.‎M∪N=R ‎2. 已知函数y=‎ex的图象与函数y=f(x)‎的图象关于直线y=x对称，则（ ）‎ A.f(2x)=e‎2x(x∈R)‎ B.‎f(2x)=ln2⋅lnx(x>0)‎ C.f(2x)=2ex(x∈R)‎ D.‎f(2x)=lnx+ln2(x>0)‎ ‎3. 双曲线mx‎2‎+y‎2‎=1‎的虚轴长是实轴长的‎2‎倍，则m=(‎ ‎‎)‎ A.‎-‎‎1‎‎4‎ B.‎-4‎ C.‎4‎ D.‎‎1‎‎4‎ ‎4. 如果复数‎(m‎2‎+i)(1+mi)‎是实数，则实数m=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎ B.‎-1‎ C.‎2‎ D.‎‎-‎‎2‎ ‎5. 函数f(x)=tan(x+π‎4‎)‎的单调增区间为（ ）‎ A.‎(kπ-π‎2‎，kπ+π‎2‎)，k∈Z B.‎(kπ,‎(k+1)π)‎，‎k∈Z C.‎(kπ-‎3π‎4‎，kπ+π‎4‎)，k∈Z D.‎‎(kπ-π‎4‎，kπ+‎3π‎4‎)，k∈Z ‎6. ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则cosB=(‎        ‎‎)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎2‎‎4‎ D.‎‎2‎‎3‎ ‎7. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为‎4‎，体积为‎16‎，则这个球的表面积是(        )‎ A.‎16π B.‎20π C.‎24π D.‎‎32π ‎8. 抛物线y＝‎-‎x‎2‎上的点到直线‎4x+3y-8‎＝‎0‎距离的最小值是（ ）‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎4‎‎3‎ C.‎8‎‎5‎ D.‎‎3‎ ‎9. 设平面向量a‎→‎‎1‎、a‎→‎‎2‎、a‎→‎‎3‎的和a‎→‎‎1‎‎+a‎→‎‎2‎+‎a‎→‎‎3‎＝‎0‎．如果向量b‎→‎‎1‎、b‎→‎‎2‎、b‎→‎‎3‎，满足‎|b‎→‎i|‎＝‎2|a‎→‎i|‎，且a‎→‎i顺时针旋转‎30‎‎∘‎后与b‎→‎i同向，其中i＝‎1‎，‎2‎，‎3‎，则（ ）‎ A.‎-b‎→‎‎1‎+b‎→‎‎2‎+‎b‎→‎‎3‎＝‎0‎ B.b‎→‎‎1‎‎-b‎→‎‎2‎+‎b‎→‎‎3‎＝‎‎0‎ C.b‎→‎‎1‎‎+b‎→‎‎2‎-‎b‎→‎‎3‎＝‎0‎ D.b‎→‎‎1‎‎+b‎→‎‎2‎+‎b‎→‎‎3‎＝‎‎0‎ ‎10. 设‎{an}‎是公差为正数的等差数列，若a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=15‎，a‎1‎a‎2‎a‎3‎‎=80‎，则a‎11‎‎+a‎12‎+a‎13‎=‎(        )‎ A.‎120‎ B.‎105‎ C.‎90‎ D.‎‎75‎ ‎11. 用长度分别为‎2‎、‎3‎、‎4‎、‎5‎、‎6‎（单位：cm）的‎5‎根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）‎ A.‎8‎5‎cm‎2‎ B.‎6‎10‎cm‎2‎ C.‎3‎55‎cm‎2‎ D.‎‎20cm‎2‎ ‎12. 设集合I＝‎{1, 2, 3, 4, 5}‎．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）‎ A.‎50‎种 B.‎49‎种 C.‎48‎种 D.‎47‎种 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. 已知正四棱锥的体积为‎12‎，底面对角线长为‎2‎‎6‎，则侧面与底面所成的二面角等于________‎​‎‎∘‎．‎ ‎14. 设z=2y-x，式中变量x、y满足下列条件：‎2x-y≥-1‎‎3x+2y≤23‎y≥1‎，则z的最大值为________．‎ ‎15. 安排‎7‎位工作人员在‎5‎月‎1‎日至‎5‎月‎7‎日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在‎5‎月‎1‎日和‎2‎日．不同的安排方法共有________种（用数字作答）．‎ ‎16. 设函数f(x)=cos(‎3‎x+φ)(0<φ<π)‎．若f(x)+f'(x)‎是奇函数，则φ＝________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. ‎△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cosB+C‎2‎取得最大值，并求出这个最大值．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎18. A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由‎4‎只小白鼠组成，其中‎2‎只服用A，另‎2‎只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为‎2‎‎3‎，服用B有效的概率为‎1‎‎2‎．‎ ‎(I)‎求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎(II)‎观察‎3‎个试验组，用ξ表示这‎3‎个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎19. 如图，l‎1‎、l‎2‎是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l‎1‎上，C在l‎2‎上，AM=MB=MN．‎ ‎（1）证明AC⊥NB；‎ ‎（2）若‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，求NB与平面ABC所成角的余弦值．‎ ‎20. 在平面直角坐标系xOy中，有一个以F‎1‎‎(0,-‎3‎)‎和F‎2‎‎(0,‎3‎)‎为焦点、离心率为‎3‎‎2‎的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OM‎→‎‎=OA‎→‎+‎OB‎→‎．求：‎ ‎（1）点M的轨迹方程；‎ ‎（2）‎|OM‎→‎|‎的最小值．‎ ‎ 6 / 6‎ ‎21. 已知函数f(x)=‎‎1+x‎1-xe‎-ax．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎设a>0‎，讨论y＝f(x)‎的单调性；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若对任意x∈(0, 1)‎恒有f(x)>1‎，求a的取值范围．‎ ‎22. 设数列‎{an}‎的前n项的和Sn‎=‎4‎‎3‎an-‎1‎‎3‎×‎2‎n+1‎+‎‎2‎‎3‎，n=1‎，‎2‎，‎3‎，…‎ ‎（1）求首项a‎1‎与通项an；‎ ‎（2）设Tn‎=‎‎2‎nSn，n=1‎，‎2‎，‎3‎，…，证明：i=1‎nTi‎<‎‎3‎‎2‎．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年全国统一高考数学试卷Ⅰ（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.B ‎2.D ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.B ‎7.C ‎8.B ‎9.D ‎10.B ‎11.B ‎12.解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎2‎＝10种若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎3‎＝10种若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎4‎＝5种若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎5‎＝1种若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎3‎＝10种若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎4‎＝5种若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎5‎＝1种若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎4‎＝5种若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎5‎＝1种若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C‎​‎‎5‎‎​‎‎5‎＝1种总计有49种，选B解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C‎​‎‎5‎‎​‎‎2‎＝10种选法，小的给A集合，大的给B集合从5个元素中选出3个元素，有C‎​‎‎5‎‎​‎‎3‎＝10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10＝20种方法从5个元素中选出4个元素，有C‎​‎‎5‎‎​‎‎4‎＝5种选法，再分成1、32、23、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5＝15种方法从5个元素中选出5个元素，有C‎​‎‎5‎‎​‎‎5‎＝1种选法，再分成1、42、33、24、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1＝4种方法总计为10+20+15+4＝49种方法选B 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎60‎ ‎14.‎‎11‎ ‎15.‎‎2400‎ ‎16.‎π‎6‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.‎‎3‎‎2‎ ‎18.解：‎(1)‎设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0‎，‎1‎，‎2‎，‎ Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0‎，‎1‎，‎2‎，‎ 依题意有：P(A‎1‎)=2×‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎=‎‎4‎‎9‎，P(A‎2‎)=‎2‎‎3‎×‎2‎‎3‎=‎‎4‎‎9‎．P(B‎0‎)=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎，‎ P(B‎1‎)=2×‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎‎，所求概率为：‎ P=P(B‎0‎⋅A‎1‎)+P(B‎0‎⋅A‎2‎)+P(B‎1‎⋅A‎2‎)‎ ‎=‎1‎‎4‎×‎4‎‎9‎+‎1‎‎4‎×‎4‎‎9‎+‎1‎‎2‎×‎4‎‎9‎=‎‎4‎‎9‎ ‎(II)ξ的可能值为‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎且ξ∼B(3, ‎4‎‎9‎)‎．‎ P(ξ=0)=(‎5‎‎9‎‎)‎‎3‎=‎‎125‎‎729‎‎，‎ P(ξ=1)=C‎3‎‎1‎×‎4‎‎9‎×(‎5‎‎9‎‎)‎‎2‎=‎‎100‎‎243‎‎，‎ P(ξ=2)=C‎3‎‎2‎×(‎4‎‎9‎‎)‎‎2‎×‎5‎‎9‎=‎‎80‎‎243‎‎，‎ P(ξ=3)=(‎4‎‎9‎‎)‎‎3‎=‎‎64‎‎729‎ ‎ 6 / 6‎ ‎∴ ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎‎125‎‎729‎ ‎ ‎‎100‎‎243‎ ‎ ‎‎80‎‎243‎ ‎ ‎‎64‎‎729‎ ‎∴ 数学期望Eξ=3×‎4‎‎9‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎19.解：（1）由已知l‎2‎‎⊥MN，l‎2‎‎⊥‎l‎1‎，MN∩l‎1‎=M，可得l‎2‎‎⊥‎平面ABN．‎ 由已知MN⊥‎l‎1‎，AM=MB=MN，‎ 可知AN=NB且AN⊥NB．‎ 又AN为AC在平面ABN内的射影．‎ ‎∴ ‎AC⊥NB ‎（2）∵ AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，‎ 由中垂线的性质可得AN=BN，‎ ‎∴ Rt△CAN≅Rt△CNB，‎ ‎∴ AC=BC，又已知‎∠ACB=‎‎60‎‎∘‎，‎ 因此‎△ABC为正三角形．‎ ‎∵ Rt△ANB≅Rt△CNB，‎ ‎∴ NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，‎ 连接BH，‎∠NBH为NB与平面ABC所成的角．‎ 在Rt△NHB中，cos∠NBH=HBNB=‎3‎‎3‎AB‎2‎‎2‎AB=‎‎6‎‎3‎．‎ ‎20.解：（1）椭圆方程可写为：y‎2‎a‎2‎‎+x‎2‎b‎2‎=1‎式中a>b>0‎，且a‎2‎‎-b‎2‎=3‎‎3‎a‎=‎‎3‎‎2‎得a‎2‎‎=4‎，b‎2‎‎=1‎，‎ 所以曲线C的方程为：x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1(x>0, y>0)‎．‎y=2‎1-‎x‎2‎(01, y>2)‎ ‎（2）‎|OM‎→‎‎|‎‎2‎=x‎2‎+‎y‎2‎，y‎2‎‎=‎4‎‎1-‎‎1‎x‎2‎=4+‎‎4‎x‎2‎‎-1‎，‎ ‎∴ ‎|OM‎→‎‎|‎‎2‎=x‎2‎-1+‎4‎x‎2‎‎-1‎+5≥4+5=9‎．‎ 且当x‎2‎‎-1=‎‎4‎x‎2‎‎-1‎，即x=‎3‎>1‎时，上式取等号．‎ 故‎|OM‎→‎|‎的最小值为‎3‎．‎ ‎21.（1）f(x)‎的定义域为‎(-∞, 1)∪(1, +∞)‎．对f(x)‎求导数得f‎'‎‎(x)=‎ax‎2‎+2-a‎(1-x‎)‎‎2‎e‎-ax．‎ ‎(‎ⅰ‎)‎当a＝‎2‎时，f‎'‎‎(x)=‎‎2‎x‎2‎‎(1-x‎)‎‎2‎e‎-2x，f‎'‎‎(x)‎在‎(-∞, 0)‎，‎(0, 1)‎和‎(1, +∞)‎均大于‎0‎，‎ 所以f(x)‎在‎(-∞, 1)‎，‎(1, +∞)‎为增函数．‎ ‎(‎ⅱ‎)‎当‎00‎，f(x)‎在‎(-∞, 1)‎，‎(1, +∞)‎为增函数．‎ ‎(‎ⅲ‎)‎当a>2‎时，‎0f(0)‎＝‎1‎．‎ ‎(‎ⅱ‎)‎当a>2‎时，取x‎0‎‎=‎1‎‎2‎a-2‎a∈(0, 1)‎，则由‎(‎Ⅰ‎)‎知f(x‎0‎)1‎且e‎-ax‎≥1‎，得f(x)=‎1+x‎1-xe‎-ax≥‎1+x‎1-x>1‎．‎ 综上当且仅当a∈(-∞, 2]‎时，对任意x∈(0, 1)‎恒有f(x)>1‎．‎ ‎22.解：（1）由Sn‎=‎4‎‎3‎an-‎1‎‎3‎×‎2‎n+1‎+‎‎2‎‎3‎，n=1‎，‎2‎，‎3‎，①得a‎1‎‎=S‎1‎=‎4‎‎3‎a‎1‎-‎1‎‎3‎×4+‎‎2‎‎3‎ 所以a‎1‎‎=2‎．‎ 再由①有Sn-1‎‎=‎4‎‎3‎an-1‎-‎1‎‎3‎×‎2‎n+‎‎2‎‎3‎，n=2‎，‎3‎，‎4‎，‎ 将①和②相减得：an‎=Sn-Sn-1‎=‎4‎‎3‎(an-an-1‎)-‎1‎‎3‎×(‎2‎n+1‎-‎2‎n)‎，n=2‎，‎3‎，‎ 整理得：an‎+‎2‎n=4(an-1‎+‎2‎n-1‎)‎，n=2‎，‎3‎，‎ 因而数列‎{an+‎2‎n}‎是首项为a‎1‎‎+2=4‎，公比为‎4‎的等比数列，即：an‎+‎2‎n=4×‎4‎n-1‎=‎‎4‎n，n=1‎，‎2‎，‎3‎，‎ 因而an‎=‎4‎n-‎‎2‎n，n=1‎，‎2‎，‎3‎，‎ ‎（2）将an‎=‎4‎n-‎‎2‎n代入①得Sn‎=‎4‎‎3‎×(‎4‎n-‎2‎n)-‎1‎‎3‎×‎2‎n+1‎+‎2‎‎3‎=‎1‎‎3‎×(‎2‎n+1‎-1)(‎2‎n+1‎-2)‎ ‎=‎2‎‎3‎×(‎2‎n+1‎-1)(‎2‎n-1)‎ Tn‎=‎2‎nSn=‎3‎‎2‎×‎2‎n‎(‎2‎n+1‎-1)(‎2‎n-1)‎=‎3‎‎2‎×(‎1‎‎2‎n‎-1‎-‎1‎‎2‎n+1‎‎-1‎)‎ 所以，‎i=1‎nTi‎=‎3‎‎2‎i=1‎n‎(‎‎1‎‎2‎i‎-1‎-‎1‎‎2‎i+1‎‎-1‎)=‎3‎‎2‎×(‎1‎‎2‎‎1‎‎-1‎-‎1‎‎2‎n+1‎‎-1‎)<‎3‎‎2‎(1-‎1‎‎2‎n+1‎‎-1‎)<‎‎3‎‎2‎ ‎ 6 / 6‎