2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程章末整合课件新人教A版选择性必修第一册 21页

章末整合 专题一 　 求直线与圆的方程   例 1 圆 C 的圆心在 l 1 : x-y- 1 = 0 上 , 与 l 2 :4 x+ 3 y+ 14 = 0 相切 , 且截 l 3 :3 x+ 4 y+ 10 = 0 所得的弦长为 6, 求圆 C 的方程 . 由 ① 得 a=b+ 1, 代入 ②③ 得 b= 1, r= 5, a= 2 . ∴ 所求圆的方程为 ( x- 2) 2 + ( y- 1) 2 = 25 . 方法技巧 确定圆的方程的主要方法 一是定义法 , 二是待定系数法 . 定义法主要是利用直线和圆的几何性质 , 确定圆心坐标和半径 , 从而得出圆的标准方程 ; 待定系数法则是设出圆的方程 ( 多为一般式 ), 再根据题目条件列方程 ( 组 ) 求出待定的系数 . 变式训练 1 已知直线 l 过点 P (3,1), 且被两条平行直线 l 1 : x+y+ 1 = 0 和 l 2 : x+y+ 6 = 0 截得的线段长为 5, 求直线 l 的方程 . 解 : ( 方法 1) 若直线的斜率不存在 , 则直线的方程为 x= 3, 此时 l 与 l 1 , l 2 的交点分别为 A' (3, - 4) 和 B' (3, - 9), 截得的线段长为 |- 4 + 9 |= 5, 符合题意 . 若直线的斜率存在 , 则设直线的方程为 y=k ( x- 3) + 1, 解方程组 解得 k= 0, 即所求直线的方程为 y= 1 . 综上可知 , 所求直线的方程为 x= 3 或 y= 1 . 提醒 本题容易产生的错误是不考虑直线斜率是否存在 , 从而忽略了直线 x= 3 . 专题二 　 与圆有关的最值问题   例 2 已知实数 x , y 满足方程 x 2 +y 2 - 4 x+ 1 = 0 . 求 : (2) y-x 的最大值和最小值 ; (3) x 2 +y 2 的最大值和最小值 . 思路分析 : 本题可 将 和 y-x 转化成与直线斜率、截距有关的问题 , x 2 +y 2 可看成是点 ( x , y ) 与点 (0,0) 距离的平方 , 然后结合图形求解 . 方法技巧 解决与圆有关的最值问题的常用方法 (1) 形如 u = 的 最值问题 , 可转化为定点 ( a , b ) 与圆上的动点 ( x , y ) 的斜率的最值问题 ; (2) 形如 t=ax+by 的最值问题 , 可转化为动直线的截距的最值问题 ; (3) 形如 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 的最值问题 , 可转化为动点到定点的距离的最值问题 . 变式训练 2 已知点 P ( x , y ) 在圆 x 2 +y 2 - 6 x- 6 y+ 14 = 0 上 . (2) 求 x 2 +y 2 + 2 x+ 3 的最大值与最小值 . 解 : (1) 圆 x 2 +y 2 - 6 x- 6 y+ 14 = 0 即为 ( x- 3) 2 + ( y- 3) 2 = 4, 可得圆心为 C (3,3), 半径为 r= 2 . (2) x 2 +y 2 + 2 x+ 3 = ( x+ 1) 2 +y 2 + 2 表示点 ( x , y ) 与 A ( - 1,0) 的距离的平方加上 2 . 连接 AC , 交圆 C 于 B , 延长 AC , 交圆于 D , AD 为最长 , 且为 |AC|+r= 5 + 2 = 7, 则 x 2 +y 2 + 2 x+ 3 的最大值为 7 2 + 2 = 51, x 2 +y 2 + 2 x+ 3 的最小值为 3 2 + 2 = 11 . 专题三 　 与圆有关的轨迹问题   例 3 已知圆的方程为 x 2 +y 2 =r 2 , 圆内有定点 P ( a , b ), 圆周上有两个动点 A 、 B , 使 PA ⊥ PB , 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 . 思路分析 : 利用几何法求解 , 或利用转移法求解 , 或利用参数法求解 . 解 : ( 方法 1) 如图 , 在矩形 APBQ 中 , 连接 AB , PQ 交于 M , 显然 OM ⊥ AB , 又 | PQ| 2 =|AB| 2 , 即 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 = ( x 1 -x 2 ) 2 + ( y 1 -y 2 ) 2 = 2 r 2 - 2( x 1 x 2 +y 1 y 2 ) . ① 又 AB 与 PQ 的中点重合 , 故 x+a=x 1 +x 2 , y+b=y 1 +y 2 , 即 ( x+a ) 2 + ( y+b ) 2 = 2 r 2 + 2( x 1 x 2 +y 2 y 2 ) . ② ① + ② , 有 x 2 +y 2 = 2 r 2 - ( a 2 +b 2 ), 这就是所求的轨迹方程 . 方法技巧 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1) 直接法 : 直接根据题目提供的条件列出方程 . (2) 定义法 : 根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程 . (3) 几何法 : 利用圆的几何性质列方程 . (4) 代入法 : 找到要求点与已知点的关系 , 代入已知点满足的关系式等 . 变式训练 3 如图 , 已知点 A ( - 1,0) 与点 B (1,0), C 是圆 x 2 +y 2 = 1 上的动点 , 连接 BC 并延长至 D , 使得 |CD|=|BC| , 求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程 . 解 : 设动点 P ( x , y ), 由题意可知 P 是 △ ABD 的重心 . 由 A ( - 1,0), B (1,0), 令动点 C ( x 0 , y 0 ), 则 D (2 x 0 - 1,2 y 0 ), 专题四 　 直线与圆的方程的实际应用   例 4 一艘轮船沿直线返回港口的途中 , 接到气象台的台风预报 , 台风中心位于轮船正西 70 km 处 , 受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域 , 已知港口位于台风中心正北 40 km 处 , 如果这艘轮船不改变航线 , 那么它是否会受到台风的影响 ? 解 : 以 台风中心为坐标原点 , 以东西方向为 x 轴建立直角坐标系 ( 如图 ), 其中取 10 km 为单位长度 , 则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x 2 +y 2 = 9, 港口所对应的点的坐标为 (0,4), 轮船的初始 位置 方法技巧 1 . 解决直线与圆的实际应用题的 步骤 2 . 建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则 (1) 若曲线是轴对称图形 , 则可选它的对称轴为坐标轴 . (2) 常选特殊点作为直角坐标系的原点 . (3) 尽量使已知点位于坐标轴上 . (1) 建立适当的直角坐标系 , 求圆弧所在的圆的方程 . (2) 为保证安全 , 要求行驶车辆顶部 ( 设为平顶 ) 与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0 . 5 m . 请计算车辆通过隧道的限制高度是多少 . 所以车辆通过隧道的限制高度是 3 . 5 米 .