数学（理）卷·2019届山西省康杰中学高二下学期期中考试（2018-04） 8页

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试 高二数学（理）试题 ‎ 2018.4‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．是虚数单位，＝（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 设若，则＝（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 用反证法证明命题：“若，且，则中至少有一个负数”的假设为（ ）‎ ‎ A. 中至少有一个正数 B. 全都为正数 C. 全都为非负数 D. 中至多有一个负数 ‎4. 已知为函数的极小值点，则＝（ ）‎ ‎ A. －9 B. －2 C. 4 D. 2‎ ‎5. 函数在[0，2]上的最大值是（ ）‎ ‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎6. 观察，由归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则＝（ ）‎ ‎ A. B. － C. D. －‎ ‎7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ）‎ ‎ A. 18 B. 24 C. 30 D. 36‎ ‎8. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与C所围成的图形的面积等于（ ）‎ ‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎9. 若函数在上的最大值为，则＝（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 若数列是等差数列，，则数列也为等差数列，类比这一性质可知，若是正项等比数列，且也是等比数列，则的表达式应为（ ）‎ n ‎ A. B. ‎ n C. D. ‎ ‎11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数中第2014个数是（ ）‎ ‎ A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989‎ ‎12.若函数在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则的取值范围（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 复数，其中为虚数单位，则的实部为 .‎ ‎14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .‎ ‎15. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点，则P、Q两点间距离的最小值为 .‎ ‎16. 有粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解：(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1)，此时＝2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值，请你研究的规律，归纳＝ .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.‎ ‎（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．‎ ‎（2）若ω＝，求证：ω为纯虚数．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知.证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）当时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；‎ ‎（3）如果，且，证明：.‎ 高二理科数学答案 ‎1-12 BBCDA DCCAD AB ‎13、5 14、112 15、 16、‎ ‎17.解：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.‎ 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，................4分 还可得z2＝2a.由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是. ...................7分 ‎(2)ω＝＝＝ ‎＝－i.‎ 因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数． ...........10分 ‎18.解：设切点，则 切线：过P（）‎ ‎∴ ‎ 即 ‎∴ 即 A（0，1）‎ 故 即 ‎ ‎∴ B（）‎ ‎∴ ‎ ‎19.证明.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .......6分 ‎（2）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ...........12分 ‎20.【解】　(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，‎ 得m≤在(1，＋∞)上恒成立，‎ 令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，‎ 当x∈(1，e)时，g′(x)<0；‎ x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.‎ 故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，‎ 故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.‎ 所以m≤e. .......6分 ‎(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，‎ φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，‎ 所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，‎ 当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．‎ 所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，‎ 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，‎ 所以2－2ln 21时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在（1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ Ⅲ)证明：（1）‎ 若......8分 ‎（2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）上为增函数，所以>,即>2. .....12分