2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科） 22页

‎2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（　　）‎ A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}‎ ‎2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎3．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎4．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（　　）‎ A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2‎ B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2‎ C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2‎ D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2‎ ‎7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（　　）‎ A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈 ‎8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（　　）‎ A． B．3 C．2 D．6‎ ‎9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（　　）‎ A．13 B． C． D．‎ ‎10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2‎ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（，2） C．（，） D．（1，）‎ ‎12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C．[2，3] D．[2，4]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是　 　．‎ ‎14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　 　．‎ ‎15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是　 　．‎ ‎①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α ‎ ‎②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α ‎③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交 ‎ ‎④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β ‎16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，‎ ‎（I）求角A的大小；‎ ‎（II）若a=2，求的面积S的最大值．‎ ‎18．（12分）数列{an}满足．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求T2n．‎ ‎19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．‎ ‎（1）求证：EM∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．‎ ‎20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．‎ ‎21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．‎ ‎（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；‎ ‎（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[‎ 选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；‎ ‎（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设a＞0，b＞0，且．求证：‎ ‎（1）a+b≥2；‎ ‎（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．‎ ‎　‎ ‎2018年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设集合A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（　　）‎ A．{2} B．{1，2，3} C．{﹣1，0，1，2，3} D．{0，1，2，3}‎ ‎【解答】解：∵A={x|﹣1＜x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，‎ ‎∴A∪B={0，1，2，3}，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，5），‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴x=4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，‎ 所以 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）按下面的流程图进行计算．若输出的x=202，则输入的正实数x值的个数最多为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：程序框图的用途是数列求和，当x＞100时结束循环，输出x的值为202：‎ 当202=3x+1，解得x=67；即输入x=67时，输出结果202．‎ ‎202=3（3x+1）+1，解得x=22；即输入x=22时，输出结果202．‎ ‎202=3（3（3x+1）+1）+1．即201=3（3（3x+1）+1），‎ ‎∴67=3（3x+1）+1，即22=3x+1，解得x=7，输入x=7时，输出结果202．‎ ‎202=3（3（3（3x+1）+1）+1）+1．解得x=2，输入x=2时，输出结果202．‎ ‎202=3（3（3（3（3x+1）+1）+1）+1）+1．解得x=，输入x=时，输出结果202．‎ 共有5个不同的x值，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵线段PF1的中点在y轴上 设P的横坐标为x，F1（﹣c，0），‎ ‎∴﹣c+x=0，∴x=c；‎ ‎∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，‎ ‎∵∠PF1F2=30°，‎ ‎∴PF2=，‎ ‎∵PF1+PF2=2a，∴PF2=，‎ tan∠PF1F2===，‎ ‎∴=，∴e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（　　）‎ A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2‎ B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2‎ C．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2‎ D．把C1向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线C2‎ ‎【解答】解：根据曲线=sin（x﹣），‎ 把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin（x）的图象；‎ 再把得到的曲线向右平移，得到曲线C2：y=sin（x﹣） 的图象，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（　　）‎ A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．12立方丈 ‎【解答】解：三棱柱的底面是边长为3，高为1的等腰三角形．三棱柱的高为2．‎ ‎∴三棱柱的体积V=．‎ 两个相同的四棱锥合拼，可得底面边长为2和3的矩形的四棱锥，其高为1．‎ ‎∴体积V==2．‎ 该刍甍的体积为：3+2=5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）曲线f（x）=x3﹣（x＞0）上一动点P（x0，f（x0））处的切线斜率的最小值为（　　）‎ A． B．3 C．2 D．6‎ ‎【解答】解：f（x）=x3﹣（x＞0）的导数f′（x）=3x2+，‎ ‎∴在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率 k=3x02+，‎ 由函数的定义域知 x0＞0，‎ ‎∴k≥2=2，当且仅当3x02=，即x02= 时，等号成立．‎ ‎∴k的最小值为2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的直径为（　　）‎ A．13 B． C． D．‎ ‎【解答】解：因为直三棱柱中，AB=3，AC=4，AA1=12，AB⊥AC，‎ 所以BC=5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．‎ 取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1，‎ 矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R==13．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数的取值范围[m，n]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，则ω的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 则z的几何意义为区域内的点D（﹣2，0）的斜率，‎ 由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，‎ 由，解得A（﹣1，2），‎ 则DA的斜率kDA==2，‎ 由，解得B（﹣1，﹣2），‎ 则DB的斜率kDB==﹣2，‎ 则﹣2≤z≤2，‎ 目标函数的取值范围[﹣2，2]恰好是函数y=2sinωx（ω＞0）的一个单调递增区间，‎ 可得2ω=，解得ω=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）‎ A．（2，+∞） B．（，2） C．（，） D．（1，）‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，‎ 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），‎ 与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），‎ ‎∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，‎ ‎∴|OM|＞|OF2|，即有+＞c2，‎ ‎∴＞3，即b2＞3a2，‎ ‎∴c2﹣a2＞3a2，即c＞2a．‎ 则e=＞2．‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（　　）‎ A． B． C．[2，3] D．[2，4]‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ex﹣1+x﹣2的零点为x=1．‎ 设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，‎ 若函数f（x）=ex﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，‎ 根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，‎ ‎∴0≤β≤2，如图．‎ 由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），‎ 故要使其零点在区间[0，2]上，则 g（0）×g（2）≤0或，‎ 解得2≤a≤3，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是　　．‎ ‎【解答】解：OP=r==1，∴点P在单位圆上，‎ ‎∴sinα=，tanα=，得sinαtanα=（）×（）=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　丙　．‎ ‎【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．‎ 若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．‎ 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．‎ 故答案为：丙．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是　②　．‎ ‎①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或 l∥α ‎ ‎②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α ‎③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交 ‎ ‎④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β ‎【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或 l∥α，故①错；‎ ‎②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或 l⊂α，故②对；‎ ‎③若l∥α，m∥α，则l∥m或 l与m相交，或l与m异面，故③错；‎ ‎④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或 l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．‎ 故答案为：②‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　（e+e﹣1）　．‎ ‎【解答】解：设切点坐标为（m，em）．‎ ‎∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣em=em（x﹣m）．‎ 令x=0，解得y=（1﹣m）em．‎ 过点P作l的垂线的切线方程为y﹣em=﹣e﹣m（x﹣m）．‎ 令x=0，解得y=em+me﹣m．‎ ‎∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）em+me﹣m]．‎ t'=[﹣em+（2﹣m）em+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．‎ 当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．‎ ‎∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．‎ 故答案为：（e+e﹣1）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，‎ ‎（I）求角A的大小；‎ ‎（II）若a=2，求的面积S的最大值．‎ ‎【解答】解：（I）已知，‎ 正弦定理化简可得：，‎ 即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC ‎∵0＜C＜π，sinC≠0，‎ ‎∴cosA=1．‎ 即cosA=．‎ ‎∴A=．‎ ‎（II）∵a=2，A=．‎ 余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA 可得：b2+c2=4+bc．‎ ‎∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号．‎ 解得：bc≤2（2+）‎ 那么三角形面积S=bcsinA≤=．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）数列{an}满足．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求T2n．‎ ‎【解答】证明：（1）由已知可得，‎ 即，‎ ‎∴是以为首项，1为公差的等差数列．‎ 解：（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴T2n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+（2n﹣1）2﹣（2n）2，‎ ‎=﹣（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+…+（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1），‎ ‎=﹣（3+7+…+2n﹣1），‎ ‎=﹣，‎ ‎=﹣2n2﹣n ‎　‎ ‎19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．‎ ‎（1）求证：EM∥平面ADF；‎ ‎（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．‎ ‎【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，‎ 在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴MN∥EF且MN=EF．‎ ‎∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，‎ 又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．‎ 法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，‎ 故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．‎ ‎∵AB=2，EB=，‎ ‎∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），‎ ‎，，，‎ 设平面ADF的一个法向量是．‎ 由，令y=3，得．‎ 又∵，∴，‎ 又EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．‎ ‎（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是．‎ ‎，，‎ 设平面BFD的一个法向量是，‎ 由，令z=1，得，‎ ‎∴cos＜＞==，‎ 又二面角A﹣FD﹣B为锐角，‎ 故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞‎ ‎0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则 设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．‎ 于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，‎ 所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．‎ ‎（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），‎ 联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．‎ ‎∴‎ 设G=（x3，y3），D=（x4，y4），‎ 同理得，‎ 则四边形AGBD的面积 ‎=‎ 令，‎ 则是关于μ的增函数，‎ 故Smin=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．‎ ‎（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；‎ ‎（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．‎ ‎【解答】证明：（1），定义域为x∈（0，+∞），‎ ‎，当x＞1时，F'（x）＞0，‎ ‎∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 又，‎ 而F（x）在（1，+∞）上连续，‎ 根据零点存在定理可得：‎ F（x）在区间（1，+∞）有且仅有一个实根．‎ ‎（2）当0＜x≤1时，f（x）=xlnx≤0，‎ 而，故此时有f（x）＜g（x），‎ 由（1）知，F（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 有x0为F（x）在（1，+∞）内的实根，‎ 所以F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，‎ 故当1＜x＜x0时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）；‎ 当x＞x0时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）．‎ 因而，‎ 当1＜x＜x0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，‎ 因而m（x）在（1，x0）上递增；‎ 当x＞x0时，，‎ 因而m（x）在（x0，+∞）上递减；‎ 若方程m（x）=c在（1，+∞）有两不等实根x1，x2，‎ 则满足x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）‎ 要证：，即证：x1+x2＞2x0，即证：x2＞2x0﹣x1＞x0，‎ 而m（x）在（x0，+∞）上递减，‎ 即证：m（x2）＜m（2x0﹣x1），又因为m（x1）=m（x2），‎ 即证：m（x1）＜m（2x0﹣x1），‎ 即证：‎ 记，‎ 由F（x0）=0得：，‎ ‎∴h（x0）=0，‎ ‎，‎ ‎，则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．‎ 故，所以当x＞0时，，‎ ‎∵2x0﹣x＞0，∴，‎ 因此，‎ 即h（x）在递增．从而当1＜x1＜x0时，‎ h（x）＜h（x0）=0，即，‎ 故得证．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；‎ ‎（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，‎ ‎∴由直线l过点A可得，故，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0．‎ ‎∵曲线C1的参考方程为（θ为参数）．‎ ‎∴根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知直线l的倾斜角为，‎ 则直线l1的参数方程为（t为参数）．‎ 又曲线C1的普通方程为．‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得：‎ ‎，∴，‎ 依据参数t的几何意义可知．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．设a＞0，b＞0，且．求证：‎ ‎（1）a+b≥2；‎ ‎（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．‎ ‎【解答】证明：（1）由，得ab=1，‎ 由基本不等式及ab=1，有，即a+b≥2．‎ ‎（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，‎ 则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，‎ 即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6①‎ 而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，‎ 因此假设不成立，原结论成立．‎ ‎　‎