重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）11 21页

11.2.1 三角形的内角 第十一章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 11.2 与 三角形有关的角 第 2 课时 直角 三角形的性质和判定 八年级数学上（RJ） 教学课件 1. 了解直角三角形两个锐角的关系 . （重点） 学习目标 2. 掌握 直角三角形的判定 . （难点） 3. 会运用 直角三角形的性质和判定进行相关计算 . （难点） 导入新课 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结 . 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了 ……”“ 为什么？” 老二很纳闷 . 你知道其中的道理吗？ 内角三兄弟之争 情境引入 老大的度数为 90 °，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于 90 °，而三角形的内角和为 180 °，相互矛盾，因而是不可能的 . 在这个家里，我是永远的老大 . 问题 1 ： 如下图所示是我们常用的三角板 , 两锐角的度数之和为多少度 ? 30 ° +60° = 90 ° 45 ° +45 ° = 90 ° 讲授新课 直角三角形的两个锐角互余 一 问题引导 问题 2 ： 如图，在Rt △ ABC 中， ∠ C =90° ， 两锐角的和等于多少呢？ 在Rt △ ABC 中，因为 ∠ C =90 ° ， 由三角形内角和定理 ， 得 ∠ A + ∠ B + ∠C =90 ° , 即 ∠ A + ∠ B =90 ° . 思考： 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在 Rt△ ABC 中， ∵　∠ C =90° ， ∴　∠ A +∠ B =90° ．　 直角三角形的表示： 直角三角形可以用符号“ Rt△ ” 表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ ABC ． 总结归纳 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠ B =∠ C =90°， ∴ AB ∥ CD ， ∴∠ A =∠ D . 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠ B =∠ C =90°， ∴∠ A +∠ AOB =90°，∠ D +∠ COD =90° . ∵∠ AOB =∠ COD， ∴∠ A =∠ D . 例 1 （ 1 ）如图  ， ∠ B =∠ C =90° ， AD 交 BC 于点 O ， ∠ A 与 ∠ D 有什么关系？ 图 典例精析 解：∠ A =∠ C. 理由如下： ∵∠ B =∠ D =90°， ∴∠ A +∠ AOB =90°，∠ C +∠ COD =90° . ∵∠ AOB =∠ COD， ∴∠ A =∠ C. （ 2 ）如图  ， ∠ B =∠ D =90° ， AD 交 BC 于点 O ， ∠ A 与 ∠ C 有什么关系？请说明理由 . 图 与图 有哪些共同点与不同点？ 例 2 如图， ∠ C =∠ D =90 °, AD , BC 相交于点 E . ∠ CAE 与 ∠ DBE 有什么关系？为什么？ A B C D E 解：在 Rt△ ACE 中， ∠ CAE =90 °- ∠ AEC. 在 Rt△ BDE 中 , ∠ DBE =90 °- ∠ BED. ∵ ∠ AEC = ∠ BED ， ∴ ∠ CAE = ∠ DBE . 解：∵ CD ⊥ AB 于点 D ， BE ⊥ AC 于点 E ， ∴∠ BEA =∠ BDF =90°， ∴∠ ABE +∠ A =90°， ∠ ABE +∠ DFB =90° . ∴∠ A =∠ DFB . ∵∠ DFB +∠ BFC = 18 0°， ∴∠ A +∠ BFC = 18 0° . 【变式题】 如图， △ ABC 中， CD ⊥ AB 于 D ， BE ⊥ AC 于 E ， CD ， BE 相交于 点 F ， ∠ A 与∠ BFC 又有什么关系？ 为什么？ 思考： 通过前面的例题， 你能画出这些题型的基本 图形吗？ 基本图形 ∠ A = ∠ C ∠ A = ∠ D 总结归纳 问题： 有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在 △ ABC 中， ∠ A + ∠ B =90 ° ， 那么 △ ABC 是直角三角形吗？ 在 △ ABC 中，因为 ∠ A + ∠ B + ∠ C =180 ° ， 又 ∠ A + ∠ B =90 ° ，所以 ∠ C =90 ° . 于是 △ ABC 是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形 二 A B C 应用格式： 在 △ ABC 中， ∵　∠ A +∠ B =90° ， ∴　△ ABC 是直角三角形 ． 有两个角互余的三角形是直角三角形 . 　　 总结归纳 典例精析 例 3 如图，∠ C =90 °, ∠1= ∠2 ，△ ADE 是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在 Rt△ ABC 中， ∠2+ ∠ A =90 °. ∵ ∠ 1= ∠2, ∴∠1 + ∠ A =90 °. 即 △ ADE 是直角三角形 . 例 4 如图， CE ⊥ AD ，垂足为 E ，∠ A =∠ C ，△ ABD 是 直角三角形吗？为什么？ 解：△ ABD 是直角三角形 . 理由如下： ∵ CE ⊥ AD ， ∴∠ CED =90°， ∴∠ C +∠ D =90°， ∵∠ A =∠ C ， ∴∠ A +∠ D =90°， ∴△ ABD 是直角三角形 . 1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是 ________. 90 ° 2. 如图， AB 、 CD 相交于点 O ， AC ⊥ CD 于点 C ， 若∠ BOD =38°，则∠ A = ________. 52 ° 第 1 题图 第 2 题图 当堂练习 3. 在△ ABC 中，若∠ A =43° ，∠ B =47° ，则这个三角形是 ____________. 直角三角形 4. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 5. 具备下列条件的△ ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠ A +∠ B =∠ C B．∠ A -∠ B =∠ C C．∠ A ：∠ B ：∠ C =1：2：3 D．∠ A =∠ B =3∠ C D 6. 如图所示，△ ABC 为直角三角形，∠ ACB =90°， CD ⊥ AB ，与∠1互余的角有（　　） A．∠ B B．∠ A C．∠ BCD 和∠ A D．∠ BCD C 7. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠ ACB =90°， D 是 AB 上一点，且∠ ACD =∠ B ．求证：△ ACD 是直角三角形． 证明：∵∠ ACB =90°， ∴∠ A +∠ B =90°， ∵∠ ACD =∠ B ， ∴∠ A +∠ ACD =90°， ∴△ A CD 是直角三角形 . 课堂小结 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形