2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷 13页

‎2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】‎ ‎ ‎ ‎1. 下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ） ‎ A.‎−4‎‎1‎‎2‎ B.‎22‎‎7‎ C.π‎2‎ D.‎‎50%‎ ‎ ‎ ‎2. 当x≠0‎时，下列运算正确的是（ ） ‎ A.x‎3‎‎+‎x‎2‎＝x‎5‎ B.x‎3‎‎⋅‎x‎2‎＝x‎6‎ C.‎(‎x‎3‎‎)‎‎2‎＝x‎9‎ D.x‎3‎‎÷‎x‎2‎＝‎x ‎ ‎ ‎3. 下列关于二次函数y＝x‎2‎‎−3‎的图象与性质的描述，不正确的是（ ） ‎ A.该函数图象的开口向上 B.函数值y随着自变量x的值的增大而增大 C.该函数图象关于y轴对称 D.该函数图象可由函数y＝x‎2‎的图象平移得到 ‎ ‎ ‎4. 一组数据：‎3‎，‎4‎，‎4‎，‎5‎，如果再添加一个数据‎4‎，那么会发生变化的统计量是（ ） ‎ A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 ‎ ‎ ‎5. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） ‎ A.线段 B.矩形 C.等腰梯形 D.圆 ‎ ‎ ‎6. 下列四个命题中，真命题是（ ） ‎ A.一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 B.一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 C.一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 D.一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】‎ ‎ ‎ ‎ 化简‎2‎x‎+‎3‎x=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎ 函数y=‎‎1‎‎2x+3‎的定义域是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 分解因式‎4x‎2‎−4x+1‎＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 方程x−2‎‎=3‎的根是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如果反比例函数y=kx(k≠0)‎的图象经过点P(1, 3)‎，那么当x<0‎时，函数值y随自变量x的值的增大而________（从“增大”或“减小”中选择）． ‎ ‎ ‎ ‎ 一个不透明的布袋中有‎2‎个红球和‎4‎个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋中随机取出‎1‎个球恰好是红球的概率为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 半径长为‎2‎的半圆的弧长为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 为了调查A学校‎2400‎名学生的某一周阅读课外书籍的时间t（单位：时），一个数学课外活动小组随机调查了A学校‎120‎名学生该周阅读课外书籍的时间t（单位：时），并绘制成如图所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定）．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于‎8≤t<10‎之间的学生人数大约为________人． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量AB‎→‎‎=‎a‎→‎，AF‎→‎‎=‎b‎→‎，那么向量AD‎→‎用向量a‎→‎，b‎→‎表示为________． ‎ ‎ ‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】‎ ‎ ‎ ‎1. 下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ） ‎ A.‎−4‎‎1‎‎2‎ B.‎22‎‎7‎ C.π‎2‎ D.‎‎50%‎ ‎ ‎ ‎2. 当x≠0‎时，下列运算正确的是（ ） ‎ A.x‎3‎‎+‎x‎2‎＝x‎5‎ B.x‎3‎‎⋅‎x‎2‎＝x‎6‎ C.‎(‎x‎3‎‎)‎‎2‎＝x‎9‎ D.x‎3‎‎÷‎x‎2‎＝‎x ‎ ‎ ‎3. 下列关于二次函数y＝x‎2‎‎−3‎的图象与性质的描述，不正确的是（ ） ‎ A.该函数图象的开口向上 B.函数值y随着自变量x的值的增大而增大 C.该函数图象关于y轴对称 D.该函数图象可由函数y＝x‎2‎的图象平移得到 ‎ ‎ ‎4. 一组数据：‎3‎，‎4‎，‎4‎，‎5‎，如果再添加一个数据‎4‎，那么会发生变化的统计量是（ ） ‎ A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 ‎ ‎ ‎5. 下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） ‎ A.线段 B.矩形 C.等腰梯形 D.圆 ‎ ‎ ‎6. 下列四个命题中，真命题是（ ） ‎ A.一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 B.一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 C.一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 D.一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】‎ ‎ ‎ ‎ 化简‎2‎x‎+‎3‎x=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎ 函数y=‎‎1‎‎2x+3‎的定义域是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 分解因式‎4x‎2‎−4x+1‎＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 方程x−2‎‎=3‎的根是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 如果反比例函数y=kx(k≠0)‎的图象经过点P(1, 3)‎，那么当x<0‎时，函数值y随自变量x的值的增大而________（从“增大”或“减小”中选择）． ‎ ‎ ‎ ‎ 一个不透明的布袋中有‎2‎个红球和‎4‎个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从该布袋中随机取出‎1‎个球恰好是红球的概率为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 半径长为‎2‎的半圆的弧长为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 为了调查A学校‎2400‎名学生的某一周阅读课外书籍的时间t（单位：时），一个数学课外活动小组随机调查了A学校‎120‎名学生该周阅读课外书籍的时间t（单位：时），并绘制成如图所示的频率分布直方图（列频数分布表时，执行了“每个小组可含最小值，不含最大值”的约定）．请根据以上信息，估计A学校该周阅读课外书籍的时间位于‎8≤t<10‎之间的学生人数大约为________人． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量AB‎→‎‎=‎a‎→‎，AF‎→‎‎=‎b‎→‎，那么向量AD‎→‎用向量a‎→‎，b‎→‎表示为________． ‎ ‎ ‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎ 如图，点A、B、C在‎⊙O上，其中点C是劣弧AB的中点．请添加一个条件，使得四边形AOBC是菱形，所添加的这个条件可以是________（使用数学符号语言表达）． ‎ ‎ ‎ ‎ 七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 定义：如果三角形的两个内角‎∠α与‎∠β满足‎∠α＝‎2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为________． ‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎ ‎ ‎ 计算：‎|‎3‎−1|−‎2‎⋅‎6‎+(‎3‎+1‎)‎‎2‎−(‎‎3‎‎)‎‎2‎． ‎ ‎ ‎ ‎ 解分式方程：x+2‎x−2‎‎−‎16‎x‎2‎‎−4‎=‎‎1‎x+2‎． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图所示的方格纸是由‎9‎个大小完全一样的小正方形组成的．点A、B、C、D均在方格纸的格点（即图中小正方形的顶点）上，线段AB与线段CD相交于点E．设图中每个小正方形的边长均为‎1‎． ‎ ‎（1）求证：AB⊥CD；‎ ‎ ‎ ‎（2）求sin∠BCD的值．‎ ‎ ‎ ‎ 已知汽车燃油箱中的 y（单位：升）与该汽车行驶里程数 x（单位：千米）是一次函数关系．贾老师从某汽车租赁公司租借了一款小汽车，拟去距离出发地‎600‎公里的目的地旅游（出发之前，贾老师往该汽车燃油箱内注满了油）．行驶了‎200‎千米之后，汽车燃油箱中的剩余油量为‎40‎升； 又行驶了‎100‎千米，汽车燃油箱中的剩余油量为‎30‎升． ‎ ‎（1）求y关于x的函数关系式（不要求写函数的定义域）；‎ ‎ ‎ ‎（2）当汽车燃油箱中的剩余油量为‎8‎升的时候，汽车仪表盘上的燃油指示灯就会亮起来．在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车可否抵达目的地？请通过计算说明．‎ ‎ ‎ ‎ 已知：‎△ABC，AB＝AC，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF． ‎ ‎（1）如图‎1‎，当‎∠EDF＝‎90‎‎∘‎时，求证：BE＝AF；‎ ‎ ‎ ‎（2）如图‎2‎，当‎∠EDF＝‎45‎‎∘‎时，求证：DE‎2‎DF‎2‎‎=‎BECF．‎ ‎ ‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知经过点A(−3, 0)‎的抛物线y＝ax‎2‎+2ax−3‎与y轴交于点C，点B与点A关于该抛物线的对称轴对称，D为该抛物线的顶点． ‎ ‎（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标；‎ ‎ ‎ ‎（2）联结AD、DC、CB，求四边形ABCD的面积；‎ ‎ ‎ ‎（3）联结AC．如果点E在该抛物线上，过点E作x轴的垂线，垂足为H，线段EH交线段AC于点F．当EF＝‎2FH时，求点E的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在‎△ABC中，‎∠C＝‎90‎‎∘‎，AB＝‎5cm，cosB=‎‎4‎‎5‎．动点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒‎1cm的速度移动，动点E从点B 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 出发沿着射线BA的方向以每秒‎2cm的速度移动．已知点D和点E同时出发，设它们运动的时间为t秒．联结BD． ‎ ‎（1）当AD＝AB时，求tan∠ABD的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）以A为圆心，AD为半径画‎⊙A；以点B为圆心、BE为半径画‎⊙B．讨论‎⊙A与‎⊙B的位置关系，并写出相对应的t的值．‎ ‎ ‎ ‎（3）当‎△BDE为直角三角形时，直接写出tan∠CBD的值．‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 参考答案与试题解析 ‎2020年上海市嘉定区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 有理数的概念及分类 ‎【解析】‎ 依据实数的分类方法进行判断即可．‎ ‎【解答】‎ A‎、‎−4‎‎1‎‎2‎是分数，与要求不符； B、‎22‎‎7‎是分数，与要求不符； C、π‎2‎是无理数，不是分数，与要求相符； D、‎50%=‎‎1‎‎2‎是分数，与要求不符．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 同底数幂的乘法 幂的乘方与积的乘方 同底数幂的除法 合并同类项 ‎【解析】‎ 分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．‎ ‎【解答】‎ A‎、不能合并，故原题计算错误； B、x‎3‎‎⋅‎x‎2‎＝x‎5‎，故原题计算错误； C、‎(‎x‎3‎‎)‎‎2‎＝x‎6‎，故原题计算错误； D、x‎3‎‎÷‎x‎2‎＝x，故原题计算正确；‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 二次函数图象与几何变换 二次函数的性质 ‎【解析】‎ 根据二次函数的性质逐一判断即可得．‎ ‎【解答】‎ A‎、由a＝‎1>0‎知抛物线开口向上，此选项描述正确； B、∵ 抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴ 当x>0‎时，y随x的增大而证得，故此选项描述错误； 由y＝‎−x‎2‎+2x＝‎−(x−1‎)‎‎2‎+1‎知抛物线的顶点坐标为‎(1, 1)‎，此选项错误； C、∵ 抛物线的对称轴为y轴，∴ 该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确； D、该函数图象可由函数y＝x‎2‎的图象向下平移‎3‎个单位得到，此选项描述正确；‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 统计量的选择 众数 算术平均数 中位数 方差 ‎【解析】‎ 依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．‎ ‎【解答】‎ 原数据的‎3‎，‎4‎，‎5‎，‎4‎的平均数为‎3+4+5+4‎‎4‎‎=4‎，中位数为‎4‎，众数为‎4‎，方差为‎1‎‎4‎‎×[(3−4‎)‎‎2‎+(4−4‎)‎‎2‎×2+(5−4‎)‎‎2‎]‎＝‎0.5‎； 新数据‎3‎，‎4‎，‎4‎，‎4‎，‎5‎的平均数为‎3+4+4+4+5‎‎5‎‎=4‎，中位数为‎4‎，众数为‎4‎，方差为‎1‎‎5‎‎×[(3−4‎)‎‎2‎+(4−4‎)‎‎2‎×3+(5−4‎)‎‎2‎]‎＝‎0.4‎；‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 轴对称图形 中心对称图形 ‎【解析】‎ 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．‎ ‎【解答】‎ A‎、线段是轴对称图形也是中心对称图形； B、矩形是轴对称图形也是中心对称图形； C、等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形； D、圆是轴对称图形也是中心对称图形；‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 A ‎【考点】‎ 命题与定理 ‎【解析】‎ 根据平行四边形的判定进行判断即可．‎ ‎【解答】‎ A‎、一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形，是真命题； B、一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； C、一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题； D、一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】‎ ‎【答案】‎ ‎5‎x ‎【考点】‎ 分式的加减运算 ‎【解析】‎ 原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】‎ 原式‎=‎‎5‎x，‎ ‎【答案】‎ x≠−‎‎3‎‎2‎ ‎【考点】‎ 反比例函数的性质 ‎【解析】‎ 根据题目中的函数解析式，可知‎2x+3≠0‎，从而可以求得x的取值范围．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 函数y=‎‎1‎‎2x+3‎， ∴ ‎2x+3≠0‎， 解得，x≠−‎‎3‎‎2‎，‎ ‎【答案】‎ ‎( 2x−1‎‎)‎‎2‎ ‎【考点】‎ 因式分解-运用公式法 ‎【解析】‎ 直接利用完全平方公式‎(a±b‎)‎‎2‎＝a‎2‎‎±2ab+‎b‎2‎分解即可．‎ ‎【解答】‎ ‎4x‎2‎−4x+1‎‎＝‎( 2x−1‎‎)‎‎2‎．‎ ‎【答案】‎ x‎＝‎‎11‎ ‎【考点】‎ 无理方程 ‎【解析】‎ 把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．‎ ‎【解答】‎ 两边平方得x−2‎＝‎9‎，解得x＝‎11‎， 经检验x＝‎11‎为原方程的解．‎ ‎【答案】‎ 减小 ‎【考点】‎ 反比例函数的性质 反比例函数图象上点的坐标特征 ‎【解析】‎ 根据题意，利用待定系数法解出k＝‎3‎，再根据k值的正负确定函数值的增减性．‎ ‎【解答】‎ 反比例函数y=kx(k≠0)‎的图象经过点P(1, 3)‎， 所以k＝‎1×3‎＝‎3>0‎， 所以当x<0‎时，y的值随自变量x值的增大而减小．‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎3‎ ‎【考点】‎ 概率公式 ‎【解析】‎ 由布袋中有‎2‎个红球和‎3‎个黑球，它们除颜色外其他都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 布袋中有‎2‎个红球和‎4‎个黑球，它们除颜色外其他都相同， ∴ 从布袋中取出‎1‎个球恰好是红球的概率为：‎2‎‎2+4‎‎=‎‎1‎‎3‎．‎ ‎【答案】‎ ‎2π ‎【考点】‎ 弧长的计算 ‎【解析】‎ 根据弧长的计算公式计算即可．‎ ‎【解答】‎ 由弧长公式得，‎180⋅π×2‎‎180‎‎=2π，‎ ‎【答案】‎ ‎600‎ ‎【考点】‎ 频数（率）分布直方图 频数（率）分布表 用样本估计总体 ‎【解析】‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 根据直方图给出的数据先求出‎8≤t<10‎的频率，再用该校的总人数乘以‎8≤t<10‎的频率即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 组距是‎2‎， ∴ ‎8≤t<10‎的频率是‎0.125×2‎＝‎0.25‎， ∵ A学校共有‎2400‎名学生， ∴ A学校该周阅读课外书籍的时间位于‎8≤t<10‎之间的学生人数大约为：‎2400×0.25‎＝‎600‎（人）；‎ ‎【答案】‎ ‎2a‎→‎+2‎b‎→‎ ‎【考点】‎ ‎*平面向量 正多边形和圆 ‎【解析】‎ 如图，连接BE交AD于O．则‎△AOB是等边三角形，OA＝OD，根据三角形法则求出AO‎→‎即可解决问题．‎ ‎【解答】‎ 如图，连接BE交AD于O． ∵ ABCDEF是正六边形， ∴ ‎△AOB是等边三角形，AO＝OD， ∴ ‎∠FAO＝‎∠AOB＝‎60‎‎∘‎，OB＝AB＝AF， ∴ AF // OB， ∴ BO‎→‎‎=AF‎→‎=‎b‎→‎， ∵ AO‎→‎‎=AB‎→‎+BO‎→‎=a‎→‎+‎b‎→‎， ∵ AD＝‎2AO， ∴ AD‎→‎‎=2a‎→‎+2‎b‎→‎，‎ ‎【答案】‎ AC‎＝AO或AC＝OA或‎∠AOB＝‎120‎‎∘‎或OA // CB等 ‎【考点】‎ 菱形的判定 圆周角定理 圆心角、弧、弦的关系 ‎【解析】‎ 利用圆心角、弧、弦的关系得到AC＝BC，然后根据菱形的判定方法添加条件．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 点C是劣弧AB的中点， ∴ AC＝BC， ∴ 当添加AC＝OA时，OA＝OB＝AC＝BC，四边形OACB为菱形； 当添加‎∠AOB＝‎120‎‎∘‎时，四边形OACB为菱形； 当添加OA // CB时，四边形OACB为菱形．‎ ‎【答案】‎ ‎1‎‎8‎ ‎【考点】‎ 平行四边形的性质 七巧板 等腰直角三角形 正方形的判定与性质 ‎【解析】‎ 四边形EFGH是正方形，‎△AEH是等腰直角三角形，即可得出AH＝HE＝HG，设AH＝HG＝‎1‎，则AG＝‎2‎，即可得到正方形EFGH的面积为‎1‎，正方形ABCD的面积为‎8‎，进而得出结论．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形EFGH是正方形，‎△AEH是等腰直角三角形， ∴ AH＝HE＝HG， 设AH＝HG＝‎1‎，则AG＝‎2‎，正方形EFGH的面积为‎1‎， ∵ ‎△ADG是等腰直角三角形， ∴ AD=‎2‎AG＝‎2‎‎2‎， ∴ 正方形ABCD的面积为‎8‎， ∴ 正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为‎1‎‎8‎，‎ ‎【答案】‎ ‎2‎‎2‎或‎5‎‎+1‎‎2‎ ‎【考点】‎ 黄金分割 等腰三角形的性质 ‎【解析】‎ 若等腰三角形的三个内角‎∠α、‎∠β，‎∠β，利用‎∠α+2∠β＝‎180‎‎∘‎和‎∠α＝‎2∠β得β＝‎45‎‎∘‎，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角‎∠α、‎∠α，‎∠β，利用‎2∠α+∠β＝‎180‎‎∘‎和‎∠α＝‎2∠β得β＝‎36‎‎∘‎，如图，‎∠B＝‎∠C＝‎72‎‎∘‎，‎∠A＝‎36‎‎∘‎，作‎∠ABC的平分线BD，则‎∠ABD＝‎∠CBD＝‎36‎‎∘‎，易得DA＝DB＝CB，再证明‎△BDC∽△ACB，利用相似比得到BC:AC＝CD:BC，等量代换得到BC:AC＝‎(AC−BC)‎：BC，然后解关于AC的方程AC‎2‎−AC⋅BC−BC‎2‎＝‎0‎得AC与BC的比值即可．‎ ‎【解答】‎ 若等腰三角形的三个内角‎∠α、‎∠β，‎∠β， ∵ ‎∠α+2∠β＝‎180‎‎∘‎，‎∠α＝‎2∠β， ∴ ‎4∠β＝‎180‎‎∘‎，解得β＝‎45‎‎∘‎， ∴ 此“倍角三角形”为等腰直角三角形， ∴ 腰长与底边长的比值为‎2‎‎2‎； 若等腰三角形的三个内角‎∠α、‎∠α，‎∠β， ∵ ‎2∠α+∠β＝‎180‎‎∘‎，‎∠α＝‎2∠β， ∴ ‎5∠β＝‎180‎‎∘‎，解得β＝‎36‎‎∘‎， 如图，‎∠B＝‎∠C＝‎72‎‎∘‎，‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎∠A‎＝‎36‎‎∘‎，作‎∠ABC的平分线BD，则‎∠ABD＝‎∠CBD＝‎36‎‎∘‎， ∴ DA＝DB， ∵ ‎∠BDC＝‎∠A+∠ABD＝‎72‎‎∘‎， ∴ ‎∠BDC＝‎∠C， ∴ BD＝BC， 即DA＝DB＝CB， ∵ ‎∠CBD＝‎∠A，‎∠BCD＝‎∠ACB， ∴ ‎△BDC∽△ACB， ∴ BC:AC＝CD:BC， 即BC:AC＝‎(AC−BC)‎：BC， 整理得AC‎2‎−AC⋅BC−BC‎2‎＝‎0‎，解得AC=‎1+‎‎5‎‎2‎BC， 即ACBC‎=‎‎5‎‎+1‎‎2‎， 此时腰长与底边长的比值为‎5‎‎+1‎‎2‎， 综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为‎2‎‎2‎或‎5‎‎+1‎‎2‎．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎【答案】‎ 原式‎=‎3‎−1−‎2×6‎+3+2‎3‎+1−3‎ ‎=‎3‎−1−2‎3‎+3+2‎3‎+1−3‎ ‎=‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 二次根式的混合运算 ‎【解析】‎ 先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，再利用绝对值和完全平方公式计算，然后合并即可．‎ ‎【解答】‎ 原式‎=‎3‎−1−‎2×6‎+3+2‎3‎+1−3‎ ‎=‎3‎−1−2‎3‎+3+2‎3‎+1−3‎ ‎=‎‎3‎．‎ ‎【答案】‎ 去分母得：‎(x+2‎)‎‎2‎−16‎＝x−2‎， 整理得：x‎2‎‎+3x−10‎＝‎0‎，即‎(x−2)(x+5)‎＝‎0‎， 解得：x＝‎2‎或x＝‎−5‎， 经检验x＝‎2‎是增根，分式方程的解为x＝‎−5‎．‎ ‎【考点】‎ 解分式方程 ‎【解析】‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】‎ 去分母得：‎(x+2‎)‎‎2‎−16‎＝x−2‎， 整理得：x‎2‎‎+3x−10‎＝‎0‎，即‎(x−2)(x+5)‎＝‎0‎， 解得：x＝‎2‎或x＝‎−5‎， 经检验x＝‎2‎是增根，分式方程的解为x＝‎−5‎．‎ ‎【答案】‎ 证明：如图， ∵ AG＝DF＝‎1‎，‎∠G＝‎∠CFD＝‎90‎‎∘‎，BG＝CF＝‎3‎， ∴ ‎△BAG≅△CDF(SAS)‎， ∴ ‎∠BAG＝‎∠CDF， 又∵ ‎∠BAG+∠ABG＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠CDF+∠ABG＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BED＝‎180‎‎∘‎‎−(∠CDF+∠ABG)‎＝‎90‎‎∘‎， ∴ AB⊥CD；‎ 在Rt△CFD中，∵ DF＝‎1‎，CF＝‎3‎， ∴ CD=‎1+‎‎3‎‎2‎=‎‎10‎， 同理，BC=‎‎10‎， ∵ S‎△BCD‎=‎1‎‎2‎BD⋅CF=‎1‎‎2‎×2×3=3‎， S‎△BCD‎=‎1‎‎2‎CD⋅BE=‎10‎‎2‎BE， ∴ ‎10‎‎2‎BE=3‎， 解得BE=‎‎3‎‎5‎‎10‎， ∴ sin∠BCD=BEBC=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎【考点】‎ 全等三角形的性质与判定 解直角三角形 勾股定理 ‎【解析】‎ ‎（1）证明‎△BAG≅△CDF(SAS)‎，可得‎∠BAG＝‎∠CDF，根据同角的余角相等可得结论； （2）根据勾股定理先计算CD和BC的长，根据面积法可得BE的长，最后由三角函数定义可得结论．‎ ‎【解答】‎ 证明：如图， ‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎ ∵ AG＝DF＝‎1‎，‎∠G＝‎∠CFD＝‎90‎‎∘‎，BG＝CF＝‎3‎， ∴ ‎△BAG≅△CDF(SAS)‎， ∴ ‎∠BAG＝‎∠CDF， 又∵ ‎∠BAG+∠ABG＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠CDF+∠ABG＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BED＝‎180‎‎∘‎‎−(∠CDF+∠ABG)‎＝‎90‎‎∘‎， ∴ AB⊥CD；‎ 在Rt△CFD中，∵ DF＝‎1‎，CF＝‎3‎， ∴ CD=‎1+‎‎3‎‎2‎=‎‎10‎， 同理，BC=‎‎10‎， ∵ S‎△BCD‎=‎1‎‎2‎BD⋅CF=‎1‎‎2‎×2×3=3‎， S‎△BCD‎=‎1‎‎2‎CD⋅BE=‎10‎‎2‎BE， ∴ ‎10‎‎2‎BE=3‎， 解得BE=‎‎3‎‎5‎‎10‎， ∴ sin∠BCD=BEBC=‎‎3‎‎5‎．‎ ‎【答案】‎ 设y关于x的函数关系式为y＝kx+b由题意，得‎40=200k+b‎30=300k+b‎ ‎， 解得k=−‎‎1‎‎10‎b=60‎‎ ‎， ∴ y关于x的函数关系式为y=−‎1‎‎10‎x+60‎；‎ 当y＝‎8‎时，‎8=−‎1‎‎10‎x+60‎， 解得x＝‎520‎． ∵ ‎520<600‎， ∴ 在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地．‎ ‎【考点】‎ 一次函数的应用 ‎【解析】‎ ‎（1）利用待定系数法解答即可； （2）把y＝‎8‎代入（1）的结论解答即可．‎ ‎【解答】‎ 设y关于x的函数关系式为y＝kx+b由题意，得‎40=200k+b‎30=300k+b‎ ‎， 解得k=−‎‎1‎‎10‎b=60‎‎ ‎， ∴ y关于x的函数关系式为y=−‎1‎‎10‎x+60‎；‎ 当y＝‎8‎时，‎8=−‎1‎‎10‎x+60‎， 解得x＝‎520‎． ∵ ‎520<600‎， ∴ 在燃油指示灯亮起来之前，贾老师驾驶该车不能抵达目的地．‎ ‎【答案】‎ 连接AD，如图‎1‎所示： 在Rt△ABC中，∵ AB＝AC，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠B＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎， ∵ 点D是边BC的中点， ∴ AD=‎1‎‎2‎BC＝BD，AD⊥BC，‎∠BAD＝‎∠CAD＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠B＝‎∠CAD， ∵ ‎∠EDF＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ADF+∠ADE＝‎90‎‎∘‎ ∵ ‎∠BDE+∠ADE＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BDE＝‎∠ADF， 在‎△BDE和‎△ADF中，‎∠B=∠CADBD=AD‎∠BDE=∠ADF‎ ‎， ∴ ‎△BDE≅△ADF(ASA)‎， ∴ BE＝AF；‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎∵ ‎∠BDF＝‎∠BDE+∠EDF，‎∠BDF＝‎∠C+∠CFD， ∴ ‎∠BDE+∠EDF＝‎∠C+∠CFD． 又∵ ‎∠C＝‎∠EDF＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠BDE＝‎∠CFD， ∴ ‎△BDE∽△CFD． ∴ BECD‎=BDCF=‎DEDF， ∴ BECD‎⋅BDCF=(‎DEDF‎)‎‎2‎， 又∵ BD＝CD， ∴ DE‎2‎DF‎2‎‎=‎BECF． ‎ ‎【考点】‎ 相似三角形的性质与判定 全等三角形的性质与判定 等腰直角三角形 ‎【解析】‎ ‎（1）连接AD，证‎△BDE≅△ADF(ASA)‎，即可得出结论； （2）证明‎△BDE∽△CFD．得出BECD‎=BDCF=‎DEDF，得出BECD‎⋅BDCF=(‎DEDF‎)‎‎2‎，由BD＝CD，即可得出结论．‎ ‎【解答】‎ 连接AD，如图‎1‎所示： 在Rt△ABC中，∵ AB＝AC，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠B＝‎∠C＝‎45‎‎∘‎， ∵ 点D是边BC的中点， ∴ AD=‎1‎‎2‎BC＝BD，AD⊥BC，‎∠BAD＝‎∠CAD＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠B＝‎∠CAD， ∵ ‎∠EDF＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠ADF+∠ADE＝‎90‎‎∘‎ ∵ ‎∠BDE+∠ADE＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BDE＝‎∠ADF， 在‎△BDE和‎△ADF中，‎∠B=∠CADBD=AD‎∠BDE=∠ADF‎ ‎， ∴ ‎△BDE≅△ADF(ASA)‎， ∴ BE＝AF；‎ ‎∵ ‎∠BDF＝‎∠BDE+∠EDF，‎∠BDF＝‎∠C+∠CFD， ∴ ‎∠BDE+∠EDF＝‎∠C+∠CFD． 又∵ ‎∠C＝‎∠EDF＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠BDE＝‎∠CFD， ∴ ‎△BDE∽△CFD． ∴ BECD‎=BDCF=‎DEDF， ∴ BECD‎⋅BDCF=(‎DEDF‎)‎‎2‎， 又∵ BD＝CD， ∴ DE‎2‎DF‎2‎‎=‎BECF． ‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 该抛物线的对称轴为直线x=‎−2a‎2a=−1‎，而点A(−3, 0)‎， ∴ 点B的坐标为‎(1, 0)‎， ∵ c＝‎−3‎，故点C的坐标为‎(0, −3)‎， ∵ 函数的对称轴为x＝‎−1‎，故点D的坐标为‎(−1, −4)‎；‎ 过点D作DM⊥AB，垂足为M， 则OM＝‎1‎，DM＝‎4‎，AM＝‎2‎，OB＝‎1‎， ∴ S‎△ADM‎=‎1‎‎2‎AM⋅DM=‎1‎‎2‎×2×4=4‎， ∴ SOCDM‎=‎1‎‎2‎(OC+DM)⋅OM=‎1‎‎2‎(3+4)×1=‎‎7‎‎2‎， ∴ S‎△OBC‎=‎1‎‎2‎OB⋅OC=‎1‎‎2‎×1×3=‎‎3‎‎2‎， ∴ SABCD‎=S‎△ADM+SOCDM+S‎△OBC=4+‎7‎‎2‎+‎3‎‎2‎=9‎；‎ 设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则b=−3‎‎−3k+b=0‎‎ ‎，解得：k=−1‎b=−3‎‎ ‎， 故直线AC的表达式为：y＝‎−x−3‎， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：‎9a−6a−3‎＝‎0‎，解得：a＝‎1‎， 故抛物线的表达式为：y＝x‎2‎‎+2x−3‎， 设点E(x, x‎2‎+2x−3)‎，则点F(x, −x−3)‎， 则EF＝‎(−x−3)−(x‎2‎+2x−3)‎＝‎−x‎2‎−3x，FH＝x+3‎， ∵ EF＝‎2FH， ∴ ‎−x‎2‎−3x＝‎2(x+3)‎，解得：x＝‎−2‎或‎−3‎（舍去‎−3‎）， 故m＝‎−2‎， 故点E的坐标为：‎(−2, −3)‎．‎ ‎【考点】‎ 二次函数综合题 ‎【解析】‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎（1）该抛物线的对称轴为直线x=‎−2a‎2a=−1‎，而点A(−3, 0)‎，求出点B的坐标，进而求解； （2）将四边形ABCD的面积分解为‎△DAM、梯形DMOC、‎△BOC的面积和，即可求解； （3）设点E(x, x‎2‎+2x−3)‎，则点F(x, −x−1)‎，求出EF、FH长度的表达式，即可求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 该抛物线的对称轴为直线x=‎−2a‎2a=−1‎，而点A(−3, 0)‎， ∴ 点B的坐标为‎(1, 0)‎， ∵ c＝‎−3‎，故点C的坐标为‎(0, −3)‎， ∵ 函数的对称轴为x＝‎−1‎，故点D的坐标为‎(−1, −4)‎；‎ 过点D作DM⊥AB，垂足为M， 则OM＝‎1‎，DM＝‎4‎，AM＝‎2‎，OB＝‎1‎， ∴ S‎△ADM‎=‎1‎‎2‎AM⋅DM=‎1‎‎2‎×2×4=4‎， ∴ SOCDM‎=‎1‎‎2‎(OC+DM)⋅OM=‎1‎‎2‎(3+4)×1=‎‎7‎‎2‎， ∴ S‎△OBC‎=‎1‎‎2‎OB⋅OC=‎1‎‎2‎×1×3=‎‎3‎‎2‎， ∴ SABCD‎=S‎△ADM+SOCDM+S‎△OBC=4+‎7‎‎2‎+‎3‎‎2‎=9‎；‎ 设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则b=−3‎‎−3k+b=0‎‎ ‎，解得：k=−1‎b=−3‎‎ ‎， 故直线AC的表达式为：y＝‎−x−3‎， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：‎9a−6a−3‎＝‎0‎，解得：a＝‎1‎， 故抛物线的表达式为：y＝x‎2‎‎+2x−3‎， 设点E(x, x‎2‎+2x−3)‎，则点F(x, −x−3)‎， 则EF＝‎(−x−3)−(x‎2‎+2x−3)‎＝‎−x‎2‎−3x，FH＝x+3‎， ∵ EF＝‎2FH， ∴ ‎−x‎2‎−3x＝‎2(x+3)‎，解得：x＝‎−2‎或‎−3‎（舍去‎−3‎）， 故m＝‎−2‎， 故点E的坐标为：‎(−2, −3)‎．‎ ‎【答案】‎ 在‎△ABC中， ∵ ‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，AB＝‎5‎，cosB=‎‎4‎‎5‎， ∴ BCAB‎=‎‎4‎‎5‎， ∴ BC＝AB⋅cos∠ABC＝‎5×‎4‎‎5‎=4‎， ∴ AC=AB‎2‎−BC‎2‎=‎5‎‎2‎‎−‎‎4‎‎2‎=3‎， 当AD＝AB＝‎5‎时，‎∠ABD＝‎∠D， ∴ CD＝AD−AC＝‎5−3‎＝‎2‎， 在Rt△BCD中，tan∠D=BCCD=‎4‎‎2‎=2‎， ∴ tan∠ABD＝tan∠D＝‎2‎；‎ 如图‎2‎，‎⊙A经过点E，两圆外切， 由题意得：AD＝t，BE＝‎2t， ∴ t+2t＝‎5‎， 解得：t=‎‎5‎‎3‎， ①当两圆外离时，由题意得 ‎5>3t，解得 ‎05‎；‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 ‎①当D在线段AC上，且‎∠BED＝‎90‎‎∘‎时，如图‎4‎， ∵ cosA=ACAB=‎AEAD，即‎3‎‎5‎‎=‎‎5−2tt， 解得：t=‎‎25‎‎13‎， ∴ CD＝‎3−‎25‎‎13‎=‎‎14‎‎13‎， ∴ tan∠CBD=‎‎7‎‎26‎； ②当D在线段AC上，且‎∠BDE＝‎90‎‎∘‎，如图‎5‎，过E作EF // BC，交AC于F， ∴ AE＝‎5−2t， ∵ EF // BC， ∴ ‎△AEF∽△ABC， ∴ AEAB‎=AFAC=‎EFBC，即‎5−2t‎5‎‎=AF‎3‎=‎EF‎4‎， ∴ AF＝‎3−‎6‎‎5‎t，EF＝‎4−‎8‎‎5‎t， ∵ AD＝t， ∴ CD＝‎3−t，DF＝AD−AF＝t−(3−‎6‎‎5‎t)=‎11‎‎5‎t−3‎， ∵ ‎∠BDE＝‎∠EDF+∠CDB＝‎∠CDB+∠CBD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠EDF＝‎∠CBD， ∵ ‎∠EFD＝‎∠C＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△EFD∽△DCB， ∴ EFDC‎=‎FDCB，即‎4−‎8‎‎5‎t‎3−t‎=‎‎11‎‎5‎t−3‎‎4‎， ∴ ‎4(4−‎8‎‎5‎t)‎＝‎(3−t)(‎11‎‎5‎t−3)‎， 解得：t‎1‎＝‎5‎（舍），t‎2‎‎=‎‎25‎‎11‎， ∴ tan∠CBD=CDBC=‎3−‎‎25‎‎11‎‎4‎=‎‎2‎‎11‎； ③当D在线段AC的延长线上，且‎∠BDE＝‎90‎‎∘‎时，如图‎6‎，过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F， ∵ EF // BC， ∴ ‎△AEF∽△ABC， ∴ AEAB‎=AFAC=‎EFBC，即‎2t−5‎‎5‎‎=AF‎3‎=‎EF‎4‎， ∴ AF=‎6‎‎5‎t−3‎，EF=‎8‎‎5‎t−4‎， ∵ AD＝t， ∴ CD＝t−3‎，DF＝AD+AF＝t+(‎6‎‎5‎t−3)=‎11‎‎5‎t−3‎， 同理得‎△EFD∽△DCB， ∴ EFDC‎=‎FDCB，即‎8‎‎5‎t−4‎t−3‎‎=‎‎11‎‎5‎t−3‎‎4‎， ∴ ‎4(‎8‎‎5‎t−4)‎＝‎(t−3)(‎11‎‎5‎t−3)‎， 解得：t‎1‎＝‎5‎，t‎2‎‎=‎‎25‎‎11‎（舍）， ∴ tan∠CBD=CDCB=‎5−3‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎； ④当D在线段AC的延长线上，且‎∠DBE＝‎90‎‎∘‎时，如图‎7‎， ∵ ‎∠ABC+∠CBD＝‎∠CBD+∠CDB， ∴ ‎∠ABC＝‎∠CDB， ∴ tan∠ABC＝tan∠CDB=ACBC=‎BCCD，即‎3‎‎4‎‎=‎‎4‎t−3‎， 解得：t=‎‎25‎‎3‎， ∴ tan∠CBD=CDBC=‎‎4‎‎3‎； 综上，tan∠CBD的值是‎7‎‎26‎或‎2‎‎11‎或‎1‎‎2‎或‎4‎‎3‎．‎ ‎【考点】‎ 圆的综合题 ‎【解析】‎ ‎（1）先根据三角函数定义可得BC＝‎4‎，由勾股定理计算AC＝‎3‎，最后证明‎∠ABD＝‎∠D，计算‎∠D的正切即可； （2）分情况讨论，根据两圆外离，外切，相交，内切，内含的定义可得结论； （3）当‎△BDE为直角三角形时，分D在线段AC上和射线AC上两种情况，再分‎∠BDE＝‎90‎‎∘‎和‎∠DBE＝‎90‎‎∘‎分别画图，根据三角形相似和三角函数列比例式可解决问题．‎ ‎【解答】‎ 在‎△ABC中， ∵ ‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，AB＝‎5‎，cosB=‎‎4‎‎5‎， ∴ BCAB‎=‎‎4‎‎5‎， ∴ BC＝AB⋅cos∠ABC＝‎5×‎4‎‎5‎=4‎， ∴ AC=AB‎2‎−BC‎2‎=‎5‎‎2‎‎−‎‎4‎‎2‎=3‎， 当AD＝AB＝‎5‎时，‎∠ABD＝‎∠D， ∴ CD＝AD−AC＝‎5−3‎＝‎2‎， 在Rt△BCD中，tan∠D=BCCD=‎4‎‎2‎=2‎， ∴ tan∠ABD＝tan∠D＝‎2‎；‎ 如图‎2‎，‎⊙A经过点E，两圆外切， 由题意得：AD＝t，BE＝‎2t， ∴ t+2t＝‎5‎， 解得：t=‎‎5‎‎3‎， ①当两圆外离时，由题意得 ‎5>3t，解得 ‎05‎；‎ ‎①当D在线段AC上，且‎∠BED＝‎90‎‎∘‎时，如图‎4‎， ∵ cosA=ACAB=‎AEAD，即‎3‎‎5‎‎=‎‎5−2tt， 解得：t=‎‎25‎‎13‎， ∴ CD＝‎3−‎25‎‎13‎=‎‎14‎‎13‎， ∴ tan∠CBD=‎‎7‎‎26‎； ②当D在线段AC上，且‎∠BDE＝‎90‎‎∘‎，如图‎5‎，过E作EF // BC，交AC于F， ∴ AE＝‎5−2t， ∵ EF // BC， ∴ ‎△AEF∽△ABC， ∴ AEAB‎=AFAC=‎EFBC，即‎5−2t‎5‎‎=AF‎3‎=‎EF‎4‎， ∴ AF＝‎3−‎6‎‎5‎t，EF＝‎4−‎8‎‎5‎t， ∵ AD＝t， ∴ CD＝‎3−t，DF＝AD−AF＝t−(3−‎6‎‎5‎t)=‎11‎‎5‎t−3‎， ∵ ‎∠BDE＝‎∠EDF+∠CDB＝‎∠CDB+∠CBD＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠EDF＝‎∠CBD， ∵ ‎∠EFD＝‎∠C＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎△EFD∽△DCB， ∴ EFDC‎=‎FDCB，即‎4−‎8‎‎5‎t‎3−t‎=‎‎11‎‎5‎t−3‎‎4‎， ∴ ‎4(4−‎8‎‎5‎t)‎＝‎(3−t)(‎11‎‎5‎t−3)‎， 解得：t‎1‎＝‎5‎（舍），t‎2‎‎=‎‎25‎‎11‎， ∴ tan∠CBD=CDBC=‎3−‎‎25‎‎11‎‎4‎=‎‎2‎‎11‎； ③当D在线段AC的延长线上，且‎∠BDE＝‎90‎‎∘‎时，如图‎6‎，过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F， ∵ EF // BC， ∴ ‎△AEF∽△ABC， ∴ AEAB‎=AFAC=‎EFBC，即‎2t−5‎‎5‎‎=AF‎3‎=‎EF‎4‎， ∴ AF=‎6‎‎5‎t−3‎，EF=‎8‎‎5‎t−4‎， ∵ AD＝t， ∴ CD＝t−3‎，‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页 DF‎＝AD+AF＝t+(‎6‎‎5‎t−3)=‎11‎‎5‎t−3‎， 同理得‎△EFD∽△DCB， ∴ EFDC‎=‎FDCB，即‎8‎‎5‎t−4‎t−3‎‎=‎‎11‎‎5‎t−3‎‎4‎， ∴ ‎4(‎8‎‎5‎t−4)‎＝‎(t−3)(‎11‎‎5‎t−3)‎， 解得：t‎1‎＝‎5‎，t‎2‎‎=‎‎25‎‎11‎（舍）， ∴ tan∠CBD=CDCB=‎5−3‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎； ④当D在线段AC的延长线上，且‎∠DBE＝‎90‎‎∘‎时，如图‎7‎， ∵ ‎∠ABC+∠CBD＝‎∠CBD+∠CDB， ∴ ‎∠ABC＝‎∠CDB， ∴ tan∠ABC＝tan∠CDB=ACBC=‎BCCD，即‎3‎‎4‎‎=‎‎4‎t−3‎， 解得：t=‎‎25‎‎3‎， ∴ tan∠CBD=CDBC=‎‎4‎‎3‎； 综上，tan∠CBD的值是‎7‎‎26‎或‎2‎‎11‎或‎1‎‎2‎或‎4‎‎3‎．‎ 第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页