中考数学压轴题解题策略：面积的存在性问题+全国教师资格考试答案完整版，精品资料 12页

中考数学压轴题解题策略 面积的存在性问题+全国教师资格考试答案完整版 面积的存在性问题解题策略 专题攻略 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 例题解析 例❶ 如图 1-1，矩形 ABCD 的顶点 C 在 y 轴右侧沿抛物线 y ＝x2－6x＋10 滑动，在滑动过程中 CD//x 轴，CD＝1，AB 在 CD 的下方．当点 D 在 y 轴上时，AB 落在 x 轴上．当矩形 ABCD 在 滑动过程中被 x 轴分成两部分的面积比为 1:4 时， 求点 C 的坐 标． 图 1-1 【解析】先求出 CB＝5，再进行两次转化，然后解方程． 把上下两部分的面积比为 1∶4 转化为 S 上∶S 全＝1∶5 或 S 上∶S 全＝4∶5． 把面积比转化为点 C 的纵坐标为 1 或 4． 如图 1-2，C (3, 1)．如图 1-3， C(3 3 , 4)或(3－ 3 , 4)． 图 1-2 图 1-3 例❷ 如图 2-1，二次函数 y＝(x＋m)2＋k 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，顶点 M 的坐标 为(1,－4)，AM 与 y 轴相交于点 C，在抛物线上是否还存在点 P，使得 S△PMB=S△BCM，如存在， 求出点 P 的坐标． 图 2-1 【解析】△BCM 是确定的，△PBM 与三角形 BCM 有公共边 BM，根据“同底等高的三 角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点 C 画 BM 的平行线与抛物线的交点就 是点 P．一目了然，点 P 有 2 个． 由 y＝(x－1)2－4＝(x＋1)(x－3)，得 A(－1,0)，B(3,0)．由 A、M，得 C(0,－2)． 如图 2-2，设 P(x, x2－2x－3)，由 PC//BM，得∠CPE＝∠BMF．所以 CE BF PE MF  ． 解方程 2( 1) 4 2 4 2 x x     ，得 2 5x   ．所以 (2 5,2 2 5)P   或 (2 5,2 2 5)  ． 图 2-2 例❸ 如图 3-1，直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝－x2＋2x＋3 交于 A、B 两点，点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，四边形 PAQB 是平行四边形，当四边形 PAQB 的面积最大时，求点 P 的坐标． 图 3-1 【解析】△PAB 的面积最大时，平行四边形 PAQB 的面积也最大． 我们介绍三种割补的方法求△PAB 的面积：如图 3-2，把△PAB 分割为两个共底 PE 的三 角形，高的和等于 A、B 两点间的水平距离；如图 3-3，用四边形 PACB 的面积减去△ABC 的 面积；如图 3-4，用直角梯形 ABNM 的面积减去两个直角三角形的面积． 我们借用图 3-2 介绍一个典型结论．已知 A(－1,0)、B(2, 3)，设 P(x,－x2＋2x＋3)． S△PAB＝S△PAE＋S△PBE＝ 1 ( )2 PE AF BD ＝ 1 ( )( )2 P E B Ay y x x  ＝ 21 ( 2) 32 x x    ＝ 23 1 27( )2 2 8x   ． 当 1 2x  时，△PAB 的面积最大． 1 2x  的几何意义是点 E 为 AB 的中 点，这是一个典型 结论．同时我们可以看到，由于 xB－xA 是定值，因此当 PE 最大时，△PAB 的面积最大． 图 3-2 图 3-3 图 3-4 例❹ 如图 4-1，在平行四边形 A BCD 中，AB＝3，BC＝5，AC⊥AB，△ACD 沿 AC 方向匀 速平移得到△PNM，速度为每秒 1 个单位长度；同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动， 速度为每秒 1 个单位长度；当△PNM 停止运动时，点 Q 也停止运动，如图 4-2，设移动时间 为 t 秒（0＜t＜4）．是否存 在某一时刻 t，使 S△QMC∶S 四边形 ABQP＝1∶4？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由． 图 4-1 图 4-2 【解析】两步转化，问题就解决了．△QMC 与△QPC 是同底等高的三角形，△QPC 是 △ABC 的一部分． 因此 S△QMC∶S 四边形 ABQP＝1∶4 就转化为 S△QPC∶S△ABC＝1∶5，更进一步转化为 S△QPC＝ 6 5 ．如 图 4-3，解方程 1 3 6(4 )2 5 5t t    ，得 t＝2． 图 4-3 例❺ 如图 5-1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0, 1)，直线 y＝2x－4 与抛物线 21 4y x 相交于点 B，与 y 轴交于点 D．将△ABD 沿直线 BD 折叠后，点 A 落在点 C 处（如 图 5-2），问在抛物线上是否存在点 P，使得 S△PCD＝3S△PAB？如果存在，请求出所有满足条件 的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图 1 图 2 【解析】由 A(0, 1)，B(4, 4)，D(0,－4)，可得 AB＝AD＝ 5，这里隐含了四边形 ADCB 是 菱形．因此△PCD 与△PAB 是等底三角形，而且两底 CD//AB． 如果 S△PCD＝3S△PAB，那么点 P 到直线 CD 的距离等于它到直线 AB 距离的 3 倍． 如果过点 P 与 CD 平行的直线与 y 轴交于点 Q，那么点 Q 到直线 CD 的距离等于它到直 线 AB 距离的 3 倍． 所以 QD＝3QA．点 Q 的位置有两个，在 DA 的延长线上或 AD 上． 如图 5-3，过点 Q 7(0 )2 ， 画 CD 的平行线，得 P 3 65 37 3 65( )2 8  ， ，或 3 65 37 3 65( )2 8  ， ． 如图 5-4，过点 Q 1(0 )4 , 画 CD 的平行线，得 P 3 5 7 3 5( )2 8  ， ，或 3 5 7 3 5( )2 8  ， ． 图 5-3 图 5-4 例❻ 如图 6-1，抛物线 21 5 8 4y x x   经过点 E(6, n)，与 x 轴正半轴交于点 A，若点 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形的 面积记作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有 3 个？ 图 6-1 【解析】如图 6-2，当点 P 在直线 AE 上方的抛物线上，过点 P 作 AE 的平行线，当这条 直线与抛物线相切时，△PAE 的面积最大．这时我们可以在直线 OE 的上方画一条与 OE 平 行的直线，这条直线与抛物线有 2 个交点 P′和 P′′，满足 S△PAE＝S△P′OE＝S△P′′OE． 设过点 P 与直线 AE 平行的直线为 3 4y x m   ，联立 21 5 8 4y x x   ，消去 y，整理， 得 x2－16x＋8m＝0．由Δ＝0，解得 m＝8． 因此方程 x2－16x＋64＝0 的根为 x1＝x2＝8．所以 P(8, 2)． 如图 6-3，作 PH⊥x 轴于 H，可以求得 S＝S 四边形 OAPE＝9＋5＋2＝16． 图 6-2 图 6-3 例❼ 如图 7-1，点 P 是第二象限内抛物线 21 88y x   上的一个动点，点 D、E 的坐标 分别为(0, 6)、(－4, 0)．若将“使△PDE 的面积为整数” 的点 P 记作“好点”，请写出所有 “好点”的个数． 图 7-1 【解析】第一步，求△PDE 的面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数关系式；第二步，分析 S 关于 x 的函数关系式． 如图 7-2，S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE＝ 21 ( 6) 134 x   ． 因此 S 是 x 的二次函数，对称轴为直线 x＝－6，S 的最大值为 13． 如图 7-3，当－8≤x≤0 时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为 10． 当 S＝12 时，对应的 x 有两个解－8, －4，都在－8≤x≤0 范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有 11 个． 图 7-2 图 7-3 例❽ 如图 8-1，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(a, 3)（其中 a＞4），射线 OA 与反比例函数 12y x  的图象交于点 P，点 B、C 分别在 函数 12y x  的图象上，且 AB//x 轴，AC//y 轴．试说明 ABP ACP S S △ △ 的值是否随 a 的变化而变化？ 图 8-1 【解析】如图 8-2，我们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚． 由于 S1＝S2，所以 S△ABO＝S△ACO．所以 B、C 到 AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角 形，它们的面积比为 1． 图 8-2 例 ❾ 如图 9-1，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角∠AOB＝90°，点 C 是弧 AB 上的一 个动点，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，求四边形 ODCE 的面积的最大值． 图 9-1 【解析】如图 9-2，图 9-3，设矩形 ODCE 的对角线交于点 F，那么 OF＝1 为定值． 作 OH⊥DE 于 H，那么 OH≤OF．因为 DE＝2 为定值，因此当 OH 与 OF 相等时（如图 9-4），△DOE 的面积最大，最大值为 1．所以矩形 ODCE 的面积的最大值为 2． 图 9-2 图 9-3 图 9-4 例❿ 如图 10-1，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，设直线 l 与斜边 AB 交于点 E，与直角边交于点 F，设 AE＝x，是否存在直线 l 同时平分△ABC 的周长和面积？若存在直 线 l，求出 x 的值；若不存在直线 l，请说明理由． 图 10-1 【解析】先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在． △ABC 的周长为 24，面积为 24． ①如图 10-2，点 F 在 AC 上，假设直线 EF 同时平分△ABC 的周长和面积，那么 AE＝x， AF＝12－x， 4 5EG x ．解方程 1 4(12 ) 122 5x x   ，得 6 6x   ． 当 6 6x AE   ， 12 6 6AF x    ，此时点 F 不在 AC 上．所以取 6 6x   （如图 10-3）． ②如图 10-4，点 F 在 BC 上，假设直线 EF 同时平分△ABC 的周长和面积，那么 AE＝x， BE＝10－x，BF＝12－(10－x)＝2＋x， 3 (10 )5EH x  ． 方程 1 3(2 ) (10 ) 122 5x x    整理，得 2 8 20 0x x   ．此方程无实数根． 图 10-2 图 10-3 图 10-4 全国教师资格考试《数学学科知识与教学能力（初中）》试题答案完整版 注意事项： 1、考试时间为 120 分钟，满分为 150 分 2、请按规定在答题卡上填涂，作答，在试卷上作答无效，不与评分。 第二部分 五、案例分析题(本大题 1 小题，20 分) 16.参考答案: 第一问:教学过程，应体现以学生为主体，教师是组织者，引导者，合作者。 甲老师的教学，在落实课标这一理念的过程中缺乏对实际情况的应激应变，以及其在 引导学生思考时的问题目的性不强。其原因如下: 他在教学过程中，组织学生进行小组讨论，这体现了教师的组织者角色，但是讨论的 问题即为例题，该题目对于学生学习有一定的困难，需要教师有一定的引导给出铺垫问题， 如对最短路线的探讨，何为最短路线，蚂蚁爬过的路径如何进行计算等等。学生有了一定的 思考方向之后再进行讨论便不会出现学生思考方向出现误差的情况。这是该教师身为组织者 和引导者做的不足之处。 而且当对于学生讨论的结论与自己预设的不同时，该教师也意识到学生进入了思维误 区，终止了学生的思考，但是其终止之后并没有设计教学问题引导学生走出思维误区只是一 味的批评学生的错误思路，导致出现第二次的终止讨论。这是该教师身为合作者和引导者做 的不足之处。 乙老师的教学，在落实课标这一理念的过程中其引导者的作用得到了充分的体现，但 是学生主体地位的体现有些缺失，教师的合作者以及组织者的角色落实不到位。原因如下: 在教学过程中，能够引导学生对问题进行分析，突破知识的重点难点这体现了教师的 引导者角色。但是讲解的过于详细，没有体现以学生为主体，限制了学生的思维。同时，在 学生讨论的过程中，没有做好明确分组，也没有进行巡视指导参与到学生的讨论当中去，缺 少教师的组织与合作。 第二问:甲老师不对之一:讨论的问题即为例题，该题目对于学生学习有一定的困难，需 要教师有一定的引导给出铺垫问题，如对最短路线的探讨，何为最短路线，蚂蚁爬过的路径 如何进行计算等等。学生有了一定的思考方向之后再进行讨论便不会出现学生思考方向出现 误差的情况。 不对之二:在学生探究之初仅仅只是因为与教学预设不符就开始质疑学生，中止讨论， 并且当发现学生错误太多时终止思考，这些行为都反映出老师对于课堂的一些突发情况缺乏 应急应变能力，没有让学生在讨论探索中去发现问题，也没有做到充分的引导，没有真正落 实课标提出的课堂要交给学生，以学生为主体。学生作为探究的主体，需要通过自己的探究 去发现新事物。作为引导者的老师，不能过分地牵制学生的思想，造成“伪探究”的现象。 不对之三:老师拍题目，说画图有什么用，显得老师不够尊重学生，没有平等的对待学 生;在探究式学习中，老师需要降低自己的“姿态”，将自己定位为一名学习者，与学生一 起体会曲折的学习过程，感受学习中遇到的失败和成功的喜悦。 乙老师:主要问题在于该老师自己引导太多，从而让学生失去主体性，台阶模样的纸片， 纸片的拉直都是由老师完成，学生完全在被动的接受，是一个没有学生参与、学生思维没有 得到碰撞和启发的一个探究活动。 两位老师的活动设计也都同时也反映出虽然设置的是探究活动，但忽略了探索活动是 为了发展学生综合应用的能力，都只注重基本知识，而不关注数学的方法的呈现及学生在活 动中的体验，同时也忽略了学生学情的思考，学生的思维是活跃的，同时也比较依赖与直观 图形，空间观念比较薄弱。对探究活动是发展学生的语言表达能力、自主探究能力、反思能 力和自身的学习能力目的没有深入了解。 第三问:组织数学探究活动，需要注意以下事项: (1)探究活动内容的选择要合适; 要使探究活动更有效，探究内容的选择是否得当是很重要的。同时，探究内容要有激 发性，也就是说，问题能激发学生的探究欲望，问题的设置要在学生的“最近发展区”。 (2)探究活动的指导要合理; 探究活动中，教师所扮演的应该是一个组织者、引导者和合作者的角色，要扮演好这 个角色，首先要给学生创设探究的情境，其次要保证学生有探究的时间，再次探究活动并不 是让学生毫无节制的大讨论，而是精心编制的教学活动，教师不能孤立于学生之外，要及时 进行指导。之后要对学生的探究作出合理的评价。 (3)探究的过程中，正确处理教师的“引”和学生的“探”的关系 在探究式学习过程中，学生作为探究的主体，需要通过自己的探究去发现新事物。而 为了顺利地完成这个任务，作为引导者的老师，要发挥指向灯的作用，既要在学生脱离主题 的时候，适时地引导方向，不放任学生不着边际地乱探究，同时又不能过分地牵制学生的思 想，造成“伪探究”的现象。要注重全体参与，让每个学生体验成功的乐趣，成功的探究式 教学离不开学生的主动参与。 六、教学设计题(本大题共 1 小题，30 分) 17.参考答案: 第一问:例 1 的教学目标:通过运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。 例 2 的教学目标:通过由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。 可以感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性， 增加学习数学的兴趣。 第二问:在发现了百位和千位数字特征的基础上，教师提出问题:1×2;2×3;3×4;……和 15×15;25×25;35×35;……有何关系? 进一步发现第一个乘数为问题中的十位数字上的数，第二个乘数是十位数字上的数加 一。 在结合数字特征及算式特征的基础上让学生思考算式规律。 第三问:想要找到这些算式的规律可以引导学生通过以下递进关系逐步发现: (1)例 1 中的算式均为两个相同的数字相乘，可以尝试利用完全平方公式表示; (2)算式的结果最后两位数都是 25，可以写成某个式子+25 的形式; (3)例 1 中的算式两个相同数字都是几十五，发现的结果规律均为几十中几乘以它加一。