江苏省扬州中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题 5页

江苏省扬州中学 2012-2013 学年第一学期期中考试 高一数学试卷 2012.11 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．不等式 >1 的解集为_____________ 2．设集合 ， ，则 = 。 [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 3.函数 f(x)= 的最大值为___________ 。 4．幂函数 f(x)的图象经过点 ，则 的值等于 5．已知 (a>0) ，则 6．若函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =________. 7. 函数 的单调增区间为____________。 8．若函数 是奇函数，则 a= 9．已知 均为 R 上的奇函数，且 解集为（4，10）， 解集为 （2，5），则 的解集为 10．设二次函数 f(x)= ax2+bx(a≠0)，若 f(x1-1)=f(x2+1) (x1-x2≠2)，则 f(x1+ x2)= 11．由等式 定义 映射 ，则 _____________ 12．区间 的长度为 .已知函数 的定义域为 ，值域为 ， 则区间 的长度的最大值与最小值的差为_________. 13．设函数 ，若互不相同的实数 满足 ，则 的取值范围是 22 −x }|,||{ RxxyyA ∈== },2|{ RxxyyB ∈+== BA  ( ) 1 1 1x x− − 2(2, )2 (4)f 1 2 4 9a = 2 3 log a = )(xf ),0( +∞∈x )1()( 3 xxxf += )0,(−∞∈x )(xf )1lg()3lg()( xxxf −++= )2(log)( 22 axxxf a ++= )(),( xgxf 0)( >xf 0)( >xg 0)()( >⋅ xgxf 43 2 2 3 1 4 43 2 2 3 1 4 )1()1()1()1( bxbxbxbxaxaxaxax ++++++++=++++ ),,,(),,,(: 43214321 bbbbaaaaf = =)4,3,2,1(f [ ]( )1 2 1 2,x x x x< 2 1x x− | |2 xy = [ ],a b [ ]1,2 [ ],a b    <−− ≥+−= 0),1(log6 0,64)( 2 2 xx xxxxf 1 2 3, ,x x x 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x= = 1 2 3x x x+ + 14．集合{23，-34，57， ，86，-75， ，-1}每一个非空子集的元素乘积（单元素集取 元素本身）之和为__________ 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)=x+x2. （1）求 x<0 时，f(x)的解析式； （2）问是否存在这样的非负实数 a，b，当 x [a，b]时，f(x)的值域为[4a-2，6b-6]?若存在， 求出所有 a，b 的值；若不存在，请说明理由。 16．二次函数 f(x)满足 f (x＋1)－f (x)＝2x 且 f (0)＝1． （1）求 f (x)的解析式； （2）在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在 y＝2x＋m 的图象上方，试确定实数 m 的范 围． 17．设 a>0，f(x)= 是 R 上的偶函数. （1）求 a 的值； （ 2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数. 18 ． 定 义 ： 在 R 上 的 函 数 f(X) 满 足 ： 若 任 意 X ,X ∈R ， 都 有 f( ) ≤ ，则称函数 f(X)是 R 上的凹函数.[来源:Z,XX,K.COM] 已知二次函数 f(X)= X +X( ∈R, ≠0).[来源:ZXXK.COM] （1）求证：当 ＞0 时，函数 f(X)是凹函数. （2）如果 x∈［0,1］时，|f(x)|≤1，试求实数 的范围. 19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 1 个 单位量 的水可 洗掉蔬菜上残留农药用量的 ，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农 药残留在蔬菜上.设用 x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药与本次清洗前残留有 农药量之比为函数 f（x）. （1）试规定 f （0）的值，并解释其实际意义； （2）试根据假定写出函数 f（x）应该满足的 条件和具有的性质； （3）设 f（x）= ，现有 a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分 成 2 份后清洗两次.试问用哪种方案 清洗后蔬菜上的农药量比较少？说明理由. 20．设函数 ，对于给定的负数 a，有一个最大的正数 ，使得 [0， ]，时，恒有| | 5， （1）求 关于 a 的表达式； （2）求 的最大值及相应的 a 的值。[来 源:Z*xx*k.Com] 17 18 7 3 ∈ x x a a e e + 1 2 2 21 xx + )]()([2 1 21 xfxf + a 2 a a a a 2 1 21 1 x+ 38)( 2 ++= xaxxf )(aM ∈x )(aM ( )f x ≤ )(aM )(aM 江苏省扬州中学 2012-2013 学年第一学期期中考试 高一数学试卷答案 2012.11 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1． 2． 3. 4． 5．.3 6． 7. (-3,-1) 8． 9． 10． 0 11．(0，-3，4，-1) 12．１ 13．（-11, 4） 14．-1 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.解：（1）设 x<0，则-x>0，于是 f(-x)=-x+x2，又 f(x)是奇函数，即 x<0 时，f(x)=x-x2 （2）假设存在这样的数 a，b，因为 a≥0，且 f(x)=x+x2 在 x≥0 时为增函数，[来源:学科网][来 源:学*科*网 Z*X*X*K] 所以 x [a，b]时，f(x) [f(a)，f(b)]= [4a-2，6b-6] 所以 考虑到 0≤a2x＋m 在[－1，1]上恒成立．即 x 2－3x＋1－m>0 在[－1，1]上恒成 立． 设 g(x)＝ x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线 x＝3 2，所以 g(x) 在[－1，1]上递减． 故只 需 g(1)>0，即 12－3×1＋1－m>0，解得 m<－1． 17．（1）解 ∵f（x）是 R 上的偶函数，∴f（-x）=f（x），  ∴ ∴（a- =0 对一切 x 均成立，  ( )+∞,2 [0, )+∞ 3 4 2 1 3(1 )x x− 2 2 ( ) ( )4554 −− ,,  ∈ ∈    +==− +==− bbbfb aaafa 2 2 )(66 )(24    =+− =+−⇒ 065 023 2 2 bb aa    = = 2 1 b a    = = 3 1 b a    = = 3 2 b a 2 2 1,0 1 a a a b b = = ∴ + = = −  ,e e e e x x x x a a a a +=+ − − )e 1e)(1 x x a − ∴a- =0，而 a>0,∴a=1. （2）证明 在（0，+∞)上任取 x1、x2，且 x10,x2>0,∴x1+x2>0,∴ >1,  -1<0.∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)− xx 21e xx + 21e 1 xx + aRx ,, 21 ∈ 1 2 2)2 2 2 21 2 1 21 −+++=+ xaxxaxxx a 2)2 21221 xxxx +++ a 2 2121 2 2 2 1 2 2 2 1 )(2 1)2(2 1 xxaxxxxaax −=++−+ )2 21 xx + 2 1 )()( 21 xfx + ⇔ ⇔ 2ax a    +−≤ −−≥ ,1 ,1 2 2 恒成立xax xax      −−=−≤ ++−=−−≥ .4 1)2 11(11 4 1)2 11(11 2 2 2 2 恒成立 xxxa xxxa x 1 x 1 x 1 2 1 2 4 1 x 1 x 1 2 1 2 4 1 a a a a f（0）＝1， f（1）＝ ，在[0，＋∞）上 f（x）单调递减，且 0＜f（x）≤1； （3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1= ， 清洗两次后残留的农药量为：f2= = 则由 f1－f2 可得：[来源:学*科*网] ①当 a＞2 时，f1＞f2；②当 a＝2 时， f1＝f2；③当 0＜a ＜2 时，f1＜f2. 20． 解：（1）由 a<0, 当 >5，即 时，要使| | 5，在 [0， ]上恒成立，要使得 最大， 只能是 的较小的根，即 = ； 当 >5，即 时，要使| | 5，在 [0， ]上恒成立，要使得 最大， 只能是 的较大的根，即 = ； 所以 = （2）当 时， = = < ； 当 时， = = = ；[来源 : 学,科,网 Z,X,X,K] 所以 的最大值为 M（-8）= 命题：唐一良 校对：侯绪兵 2 1 21 1 a+ 2 2 21 1                 + a 22 )4( 16 a+ 2 2 2 aaxaxf 163)4()( 2 −++= a 163 − 08 <<− a ( )f x ≤ ∈x )(aM )(aM )(aM 5382 =++ xax )(aM a a 4162 −+ a 163 − ≤ 8−≤a ( )f x ≤ ∈x )(aM )(aM )(aM 5382 −=++ xax )(aM a a 4242 −−− )(aM       −≤−−− <<−−+ )8(4242 )08(4162 aa a aa a 08 <<− a )(aM a a 4162 −+ 4162 2 ++a 2 1 8−≤a )(aM a a 4242 −−− 224 4 −− a ≤ 220 4 − 2 15 + )(aM 2 15 +