2019年四川绵阳中考数学试题（解析版） 19页

‎{来源}2019年四川绵阳中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年四川省绵阳市初中学业水平考试 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共36分）‎ ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分共36分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎{题目}1．（2019年四川绵阳T1）若a=2，则a的值为（　　）‎ A．‎-4‎ B．4 C．‎-2‎ D．‎‎2‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义，，∴a=4，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-6-1]平方根}‎ ‎{考点:算术平方根}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年四川绵阳T2）据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了科学记数法的表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[‎1-1-5‎-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较小的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}3．（2019年四川绵阳T3）对如图的对称性表述，正确的是（　　）‎ ‎ A．轴对称图形 ‎ B．中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形 ‎{答案}B ‎{解析}主要考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出答案．因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}‎ ‎{考点:中心对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年四川绵阳T4）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三视图，A选项正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B选项圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C选项圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D选项六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:几何体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年四川绵阳T5）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　　）‎ A．（2，） B．（，2） C．（，3） D．（3，）‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质．过点E作EF⊥x轴于点F，∵‎ 四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，∴∠AOE=∠AOC=30°，∠FAE=60°，∵A（4，0），∴OA=4，∴AE=AO=，∴，，‎ ‎∴OF=AO-AF=4-1=3，∴E（3，）．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}6．（2019年四川绵阳T6）已知x是整数，当取最小值时，x的值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，∵，∴，，∴，因此5与更接近，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-16-3]二次根式的加减}‎ ‎{考点:二次根式的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}7．（2019年四川绵阳T7）帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（　　）‎ A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了折线统计图，主要利用了极差、众数、中位数及方差的定义，‎ 由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9．A．极差=11-3=8，结论错误，故A不符合题意； B．众数为5，7，11，3，9，结论错误，故B不符合题意；C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C不符合题意；D．平均数是（5+7+11+3+9）÷5=7，方差S2=[（5-7）2+（7-7）2+（11-7）2+（3-7）2+（9-7）2]=8．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:折线统计图}‎ ‎{考点:中位数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{考点:极差}‎ ‎{考点:方差}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}8．（2019年四川绵阳T8）已知4m=a，8n=b，其中m，n为正整数，则22m+6n=（　　）‎ A．ab‎2‎ B．a+‎b‎2‎ C．a‎2‎b‎3‎ D．‎a‎2‎‎+‎b‎3‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．∵4m=a，8n=b， ∴22m+6n=22m×26n=（22）m•（23）2n =4m•82n =4m•（8n）2 =ab2，因此本题选A． ‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-1]整式的乘法}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{考点:积的乘方}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年四川绵阳T9）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（　　）‎ A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了一元一次不等式组的应用，‎ 设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据题意，得：，解得：20≤x＜25，∵x为整数，∴x=20、21、22、23、24，‎ ‎∴该店进货方案有5种，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}‎ ‎{考点:一元一次不等式组的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019年四川绵阳T10）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ-cosθ）2=（　　）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5cosθ-5sinθ=5，∴cosθ-sinθ=，∴（sinθ-cosθ）2=．因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}11．（2019年四川绵阳T11）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a-c＞0；③a+2b+4c＞0；④‎4ab+ba＜-4，正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了二次函数图象与字母系数的取值范围问题，‎ ‎①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；‎ ‎②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴∴，当时，b＞-3a，∵当x=2时，y=4a+2b+c=0，∴b=-2a-c，∴-2a-c＞-3a，∴2a-c＞0，故②正确；‎ ‎③∵，∴2a+b＞0，∵c＞0，4c＞0，∴a+2b+4c＞0，故③正确；‎ ‎④∵，∴2a+b＞0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2＞-4ab，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴，即，故④正确．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}12．（2019年四川绵阳T12）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=5，CD=AD=3，点E是线段CD的三等分点，且靠近点C，∠FEG的两边与线段AB分别交于点F、G，连接AC分别交EF、EG于点H、K．若BG=‎3‎‎2‎，∠FEG=45°，则HK=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，解答过程如下 ‎∵∠ADC=90°，CD=AD=3，∴AC=3，∵AB=5，BG=，∴AG=，∵AB∥DC，∴△CEK∽△AGK，∴，∴，∴，∵CK+AK=3，∴CK=，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，∴EM=AD=3，AM=DE=2，∴MG=，∴EG=，∵，∴EK=，∵∠HEK=∠KCE=45°，∠EHK=∠CHE，∴△‎ HEK∽△HCE，∴，∴设HE=3x，HK=x，∵△HEK∽△HCE，∴，∴，解得：x=，∴HK=，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{类别:发现探究}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ 第Ⅱ卷（非选择题共84分）‎ ‎{题型:1-填空题}二填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。请直接填写最后结果。‎ ‎{题目}13．（2019年四川绵阳T13）因式分解：m2n+2mn2+n3= ．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，‎ m2n+2mn2+n3==‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[‎1-21-2‎-3] 因式分解法}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019年四川绵阳T14）如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=______．‎ ‎{答案}90° ‎ ‎{解析}本题考查了平行线的性质，过程如下 ‎∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=∠ABD，∵BE是∠BDC的平分线，∴∠2=∠CDB，∴∠1+∠2=90°，故答案为：90°． {分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:两直线平行同旁内角互补}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}15．（2019年四川绵阳T15）单项式与是同类项，则ab= ．‎ ‎{答案}1‎ ‎{解析}本题考查了同类项的概念，，∴a=1，b=1，∴ab=1．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-2-2]整式的加减}‎ ‎{考点:同类项的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}16．（2019年四川绵阳T16）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为 km/h． ‎ ‎{答案} 10‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的应用，解答过程如下：‎ 设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：，解得：x=10，‎ 经检验得：x=10是原方程的根，江水的流速为10km/h．‎ 故答案为：10．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-3]分式方程}‎ ‎{考点:分式方程的应用（行程问题）}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}17．（2019年四川绵阳T17）在△ABC中，若∠B=45°，AB=10‎2‎，AC=5‎5‎，则△ABC的面积是______．‎ ‎{答案} 75或25‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，解答过程如下：‎ 过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．‎ 在Rt△ABD中，AD=AB•sinB=10，BD=AB•cosB=10；‎ 在Rt△ACD中，AD=10，AC=5，∴CD==5，‎ ‎∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，‎ ‎∴S△ABC=BC•AD=75或25．‎ 故答案为：75或25．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}18．（2019年四川绵阳T18）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2‎2‎．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′=______．‎ ‎{答案} ‎ ‎{解析}本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，解答过程如下：‎ 如图，连接CE′，∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2，∴AB=BC=2，BD=BE=2，∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，∴D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90′，∠D′BD=∠ABE′，∴∠ABD′=∠CBE′，∴△ABD′≌△CBE′（SAS），∴∠D′=∠CE′B=45°， 过B作BH⊥CE′于H，在Rt△BHE′中，BH=E′H=BE′=，在Rt△BCH中，CH=，∴CE′=，故答案为：．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-23-1]图形的旋转}‎ ‎{考点:旋转的性质}‎ ‎{考点:解直角三角形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三解答题，本大题共7个小题，共66分.解答要写出必要的文字说明证明过程或演算步骤，‎ ‎{题目}19.（2019年四川绵阳T19）（1）计算：2‎2‎‎3‎+|（-‎1‎‎2‎）-1|-2‎2‎tan30°-（π-2019）0；‎ ‎（2）先化简，再求值：（aa‎2‎‎-‎b‎2‎-‎1‎a+b）÷bb-a，其中a=‎2‎，b=2-‎2‎．‎ ‎{解析}本题考察了分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则、实数的混合运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； ‎ ‎（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．‎ ‎{答案}解：（1）2‎2‎‎3‎+|（-‎1‎‎2‎）-1|-2‎2‎tan30°-（π-2019）0‎ ‎=‎2‎‎6‎‎3‎+2-2‎2‎×‎3‎‎3‎-1‎ ‎=‎2‎‎6‎‎3‎+2-‎2‎‎6‎‎3‎-1‎ ‎=1；‎ ‎（2）原式=a‎(a+b)(a-b)‎×b-ab-‎1‎a+b×‎b-ab ‎=-ab(a+b)‎-‎b-ab(a+b)‎ ‎=-‎bb(a+b)‎ ‎=-‎1‎a+b，‎ 当a=‎2‎，b=2-‎2‎时，原式=-‎1‎‎2‎‎+2-‎‎2‎=-‎1‎‎2‎．‎ ‎{分值}16‎ ‎{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{考点:简单的实数运算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}20.（2019年四川绵阳T20）胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：‎ 请根据统计图的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数；‎ ‎（2）成绩在D区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．‎ ‎{解析}本题考查了列表法与树状图法（1）由B组百分比求得其人数，据此可得80～85的频数，再根据各组频数之和等于总人数可得最后一组频数，从而补全图形，再用360°乘以对应比例可得答案；（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．‎ ‎{答案}解：（1）80～90的频数为36×50%=18，‎ 则80～85的频数为18-11=7，‎ ‎95～100的频数为36-（4+18+9）=5，‎ 补全图形如下：‎ 扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数为360°×‎5‎‎36‎=50°；‎ ‎（2）画树状图为：‎ 共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12，所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为‎12‎‎20‎=‎3‎‎5‎．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-25-2]用列举法求概率}‎ ‎{考点:两步事件不放回}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}21.（2019年四川绵阳T21）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．‎ ‎（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？‎ ‎（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？‎ ‎{解析}本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到m关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．‎ ‎{答案}解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元，‎ 根据题意，得：‎ 解得，‎ 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元；‎ ‎（2）设当每间房间定价为x元，‎ ‎∴当x=200时，m取得最大值，此时m=2400，‎ 答：当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是2400元．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{考点:二元一次方程组的应用}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}22.（2019年四川绵阳T22）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE=4CD．‎ ‎（1）求m的值和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，（1）将点A（4，1）代入，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式； （2）先证△CDB∽△CEA，由CE=4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，以及直线AC的解析式，直线AC与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．‎ ‎{答案}解：（1）将点A（4，1）代入y=m‎2‎‎-3mx，得，m2-3m=4，解得，m1=4，m2=-1，∴m的值为4或-1；反比例函数解析式为：y=‎4‎x；‎ ‎（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，∴∠CDB=∠CEA=90°，∴△CDB∽△CEA，∴CDCE‎=‎BDAE，∵CE=4CD，∴AE=4BD，∵A（4，1），∴AE=4，∴BD=1，∴xB=1，∴yB=‎4‎x=4，∴B（1，4），将A（4，1），B（1‎ ‎，4）代入y=kx+b，得，k+b=4‎‎4k+b=1‎，解得，k=-1，b=5，∴yAB=-x+5，设直线AB与x轴交点为F，当x=0时，y=5；当y=0时x=5，∴C（0，5），F（5，0），则OC=OF=5，∴△OCF为等腰直角三角形，∴CF=‎2‎OC=5‎2‎，则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，即OM=‎1‎‎2‎CF=‎5‎‎2‎‎2‎．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:其他反比例函数综合题}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}23.（2019年四川绵阳T23）如图，AB是⊙O的直径，点C为BD的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．‎ ‎（1）求证：△BFG≌△CDG；‎ ‎（2）若AD=BE=2，求BF的长．‎ ‎{解析}本题考察了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；‎ ‎（2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE=AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH=BE=2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长．‎ ‎{答案}‎ 证明：（1）∵C是BC的中点，∴CD‎=‎BC，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC‎=‎BF，∴CD‎=‎BF，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，‎ ‎∵‎∠F=∠CDG‎∠FGB=∠DGCBF=CD，‎ ‎∴△BFG≌△CDG（AAS）；‎ ‎（2）如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，‎ ‎∵CD‎=‎BC，∴∠HAC=∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH=CE，∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE=AH，∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH=BE=2，∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴BCAB‎=‎BEBC，∴BC2=AB•BE=6×2=12，∴BF=BC=2‎3‎．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:垂径定理}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}24.（2019年四川绵阳T24）‎ 在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．‎ ‎（1）求抛物线和一次函数的解析式；‎ ‎（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；‎ ‎（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎{解析}本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（-1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE=S△AME-S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，则 ‎∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．‎ ‎{答案}‎ 解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，∵OA=1，∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，∴a=‎‎1‎‎2‎，∴抛物线的解析式为y=‎1‎‎2‎‎(x-1‎)‎‎2‎-2‎，即y=‎1‎‎2‎x‎2‎‎-x-‎‎3‎‎2‎．‎ 令y=0，解得x1=-1，x2=3，∴B（3，0），∴AB=OA+OB=4，∵△ABD的面积为5，∴S‎△ABD‎=‎1‎‎2‎AB⋅‎yD=5，‎ ‎∴yD=‎5‎‎2‎，代入抛物线解析式得，‎5‎‎2‎‎=‎1‎‎2‎x‎2‎-x-‎‎3‎‎2‎，‎ 解得x1=-2，x2=4，∴D（4，‎5‎‎2‎），‎ 设直线AD的解析式为y=kx+b，‎ ‎∴‎4k+b=‎‎5‎‎2‎‎-k+b=0‎，解得：k=‎‎1‎‎2‎b=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴直线AD的解析式为y=‎1‎‎2‎x+‎‎1‎‎2‎．‎ ‎（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，‎1‎‎2‎a‎2‎‎-a-‎‎3‎‎2‎），则M（a，‎1‎‎2‎a+‎‎1‎‎2‎），‎ ‎∴EM=‎1‎‎2‎a+‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎a‎2‎+a+‎‎3‎‎2‎=‎-‎1‎‎2‎a‎2‎+‎3‎‎2‎a+2‎，‎ ‎∴S△ACE=S△AME-S△CME=‎1‎‎2‎‎×EM⋅1‎=‎1‎‎2‎‎(-‎1‎‎2‎a‎2‎+‎3‎‎2‎a+2)×1‎=‎-‎1‎‎4‎(a‎2‎-3a-4)‎，‎ ‎=‎-‎1‎‎4‎(a-‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎25‎‎16‎，‎ ‎∴当a=‎3‎‎2‎时，△ACE的面积有最大值，最大值是‎25‎‎16‎，此时E点坐标为（‎3‎‎2‎‎，-‎‎15‎‎8‎）．‎ ‎（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，‎ ‎∵E（‎3‎‎2‎‎，-‎‎15‎‎8‎），OA=1，∴AG=1+‎3‎‎2‎=‎5‎‎2‎，EG=‎15‎‎8‎，∴AGEG‎=‎5‎‎2‎‎15‎‎8‎=‎‎4‎‎3‎，∵∠AGE=∠AHP=90°‎ ‎∴sin‎∠EAG=PHAP=EGAE=‎‎3‎‎5‎，∴PH=‎3‎‎5‎AP，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，‎ ‎∴PE+‎3‎‎5‎AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=‎15‎‎8‎‎×2=‎‎15‎‎4‎，∠AEG=∠HEF，‎ ‎∴sin∠AEG=sin∠HEF=‎AGAE=FHEF‎=‎‎4‎‎5‎，‎ ‎∴FH=‎4‎‎5‎×‎15‎‎4‎=3‎．‎ ‎∴PE+‎3‎‎5‎PA的最小值是3．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:其他二次函数综合题}‎ ‎{考点:二次函数的三种形式}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}25.（2019年四川绵阳T25）‎ 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．‎ ‎（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；‎ ‎（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；‎ ‎（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．‎ ‎ ‎ ‎{解析}本题考察了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，（1）由正方形的性质可得∠DAC=∠CAB=45°，根据圆周角定理得∠FDE=∠DFE=45°，则结论得证；（2）设OE=t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF=，证明△AEF∽△ADG可得AG=，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段，求出t的值，代入EG的表达式可求EH的值；‎ ‎（3）由（2）知EG=，过点F作FK⊥AC于点K，根据S△EFG =即可求解.‎ ‎{答案}（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，‎ ‎∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；‎ ‎（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF‎=ODAD=‎‎2‎‎2‎， ∴AF=‎‎2‎t，‎ 又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，‎ ‎∴△AEF∽△ADG，∴AEAD‎=‎AFAG，∴AG⋅AE=AD⋅AF=4‎2‎t，‎ 又∵AE=OA+OE=2‎2‎+t，∴AG=‎‎4‎2‎t‎2‎2‎+t，‎ ‎∴EG=AE-AG=t‎2‎‎+8‎‎2‎2‎+t，‎ 当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，‎ ‎∴△ADF∽△BFH，∴FHFD‎=FBAD=‎‎4-‎2‎t‎4‎，∵AF∥CD，∴FGDG‎=AFCD=‎‎2‎t‎4‎，‎ ‎∴FGDF‎=‎‎2‎t‎4+‎2‎t，∴‎4-‎2‎t‎4‎‎=‎‎2‎t‎4+‎2‎t，‎ 解得：t1=‎10‎‎-‎‎2‎，t2=‎10‎‎+‎‎2‎（舍去），‎ ‎∴EG=EH=t‎2‎‎+8‎‎2‎2‎+t‎=‎(‎10‎-‎2‎‎)‎‎2‎+8‎‎2‎2‎+‎10‎-‎‎2‎=3‎10‎-5‎‎2‎；‎ ‎（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t‎2‎‎+8‎‎2‎2‎+t，‎ ‎∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，‎ ‎∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，‎ ‎∴S‎​‎‎△EFG‎=‎1‎‎2‎EG⋅FK=t‎3‎‎+8t‎2‎2‎+t．‎ ‎{分值}14‎ ‎{章节:[1-24-1-4]圆周角}‎ ‎{考点:圆周角定理}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎