中考数学解题指导专题1：客观性试题解法探讨 55页

1 【2013 年中考攻略】专题 1：客观性试题解法探讨 客观性试题――选择题的题型构思精巧，形式灵活，知识容量大，覆盖面广，可以比较全面地考察学 生的基础知识和基本技能，还能考查学生的思维敏捷性，是中考中广泛采用的一种题型。在全国各地中考 数学试卷中，选择题约占总分的 20％—30％，因此掌握选择题的解法，快速、准确地解答好选择题是夺取 高分的关键之一。 选择题由题干和选项两部分组成，题干可以是由一个问句或一个半陈述句构成，选项中有四个答案， 至少有一个正确的答案，这个正确的答案可叫优支，而不正确的答案可叫干扰支或惑支。目前在中考数学 试卷中，如果没有特别说明，都是“四选一”的选择题，即单项选择题。 选择题要求解题者从若干个选项中选出正确答案，并按题目的要求，把正确答案的字母代号填入指定 位置。笔者将选择题的解法归纳为应用概念法、由因导果法、执果索因法、代入检验法、特殊元素法、筛 选排除法、图象解析法、待定系数法、分类讨论法、探索规律法十种，下面通过 2011 年和 2012 年全国各 地中考的实例探讨这十种方法。 一、应用概念法：应用概念法是解选择题的一种常用方法，也是一种基本方法。根据选择题的 题设条件，通过应用定义、公理、定理等概念直接得出正确的结论。使用应用概念法解题，要求学生熟记 相关定义、公理、定理等基本概念，准确应用。 典型例题： 例 1：（2012 湖北随州 4 分）－2012 的相反数是【 】 A. 1 2012 B. 1 2012 C.－2012 D.2012 【答案】D。 【考点】相反数。 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地， 0 的相反数还是 0。因此－2012 的相反数是 2012。故选 D。 例 2：（2012 上海市 4 分）在下列代数式中，次数为 3 的单项式是【 】 A． xy2 B． x3+y3 C． x3y D． 3xy 【答案】A。 【考点】单项式的次数。 【分析】根据单项式的次数定义可知：A、xy2 的次数为 3，符合题意；B、x3+y3 不是单项式，不符合题意； C、x3y 的次数为 4，不符合题意；D、3xy 的次数为 2，不符合题意。故选 A。 例 3：（2012 江苏盐城 3 分）4 的平方根是【 】 2 A．2 B．16 C． 2 D． 16 【答案】C。 【考点】平方根。 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的一个平方根： ∵（±2 ）2=4，∴4 的平方根是±2 。故选 C。 例 4：（2012 湖南怀化 3 分）在平面直角坐标系中，点 33 （ ，）所在象限是【 】 A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 【答案】B。 【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征。 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象 限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。故点 33 （ ，）位于第二象 限。故选 B。 例 5：（2012 四川成都 3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P( 3 ，5)关于 y 轴的对称点的坐标为【 】 A．( ， 5 ) B．(3，5) C．(3． ) D．(5， ) 【答案】B。 【考点】关于 y 轴对称的点的坐标特征。 【分析】关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点 P(－3，5)关于 y 轴对 称的点的坐标是(3，5)。故选 B。 例 6：（2012 山东德州 3 分）不一定在三角形内部的线段是【 】 A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线 【答案】C。 【考点】三角形的角平分线、中线、高和中位线。 【分析】因为在三角形中，它的中线、角平分线和中位线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角 形的外部。故选 C。 3 例 7：（2012 江苏无锡 3 分）sin45°的值等于【 】 A． B． C． D． 1 【答案】B。 【考点】特殊角的三角函数值。 【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45°= 2 2 。故选 B。 例 8：（2012 浙江台州 4 分）如图，点 A、B、C 是⊙O 上三点，∠AOC=130°，则∠ABC 等于【 】 A． 50° B．60° C．65° D．70° 【答案】C。 【考点】圆周角定理。 【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠ABC= 1 2 ∠AOC=65°。故选 C。 例 9；（2012 天津市 3 分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】 【答案】B。 【考点】中心对称图形。 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D 都不符合中心对称的定 义。故选 B。 例 10：（2012 江苏苏州 3 分）一组数据 2，4，5，5，6 的众数是【 】 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C。 【考点】众数。 （D） （C） （B） （A） 4 【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是 5，故这组数据的 众数为 5。故选 C。 练习题： 1.（2012 湖北孝感 3 分）－5 的绝对值是【 】 A．5 B．－5 C． 1 5 D．－ 1 5 2. （2012 山东临沂 3 分） 1 6 的倒数是【 】 A．6 B．﹣6 C． 1 6 D． 3. （2012 山东泰安 3 分）已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为【 】 A． 421 10 千克 B． 62.1 10 千克 C． 52.1 10 千克 D． 42.1 10 千克 4.（2012 广西柳州 3 分）如图，P1、P2、P3 这三个点中，在第二象限内的有【 】 A．P1、P2、P3 B．P1、P2 C．P1、P3 D．P1 5. （2012 四川绵阳 3 分）点 M（1，－2）关于原点对称的点的坐标是【 】。 A．（－1，－2） B．（ 1，2） C．（－1，2） D．（－2，1） 6.（2012 辽宁沈阳 3 分）在平面直角坐标系中，点 P （－1，2 ） 关于 x 轴的对称点的坐标为【 】 A.（－1，－2 ） B.（1，－2 ） C.（2，－1 ） D.（－2，1 ） 7. （2012 广西桂林 3 分）如图，与∠1 是内错角的是【 】 A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 8. （2012 黑龙江大庆 3 分） 060tan 等于【 】 5 A. 2 1 B． 2 3 C. 3 3 D. 3 9. （2012 云南省 3 分）如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦，连接 AD、BC.若∠BAD=600，则∠BCD 的度数 为【 】 A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 10. （2012 广东佛山 3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】 二、由因导果法：由因导果法，又称综合法，直接推演法，是解选择题的一种常用方法，也是 一种基本方法。它的解题方法是根据选择题的题设条件，通过应用定义、公理、公式、定理等经过计算、 推理或判断，得出正确的结论，再从四个选项中选出与已得结论一致的正确答案。由因导果法解题自然， 不受选项的影响，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案。 典型例题： 例 1：（2012 浙江杭州 3 分）计算（2﹣3）+（﹣1）的结果是【 】 A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【答案】A。 【考点】有理数的加减混合运算。 【分析】根据有理数的加减混合运算的法则进行计算即可得解： （2﹣3）+（﹣1）=﹣1+（﹣1）=﹣2。故选 A。 例 2：（2012 广东珠海 3 分）计算﹣2a2+a2 的结果为【 】 A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2 【答案】D。 【考点】合并同类项。 6 【分析】根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可 得出答案：﹣2a2+a2=﹣a2。。故选 D。 例 3：（2012 江苏无锡 3 分）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1 的结果是【 】 A． （x﹣1）（ x﹣2） B． x2 C． （x+1）2 D． （x﹣2）2 【答案】D。 【考点】运用公式法因式分解。 【分析】把 x﹣1 看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可： （x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2。故选 D。 例 4：（2012 广东佛山 3 分）用配方法解一元二次方程 x2－2x－3=0 时，方程变形正确的是【 】 A．（ x－1）2=2 B．（ x－1）2=4 C．（ x－1）2=1 D．（ x－1）2=7 【答案】B。 【考点】用配方法解一元二次方程。 【分析】由 x2－2x－3=0 移项得：x2－2x=3，两边都加上 1 得：x2－2x＋1=3＋1，即（x－1）2=4。 则用配方法解一元二次方程 x2－2x－3=0 时，方程变形正确的是（x－1）2=4。故选 B。 例 5：（2012 山西省 2 分）如图，一次函数 y=（m﹣1）x﹣3 的图象分别与 x 轴、y 轴的负半轴相交于 A．B， 则 m 的取值范围是【 】 A． m＞1 B． m＜1 C． m＜0 D． m＞0 【答案】B。 【考点】一次函数图象与系数的关系。 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，∵函数图象经过二、三、四象限，∴m﹣1＜0，解得 m＜1。故 选 B。 例 6：（2012 北京市 4 分） 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 20 户家庭某月的用电量，如下 表所示： 用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是【 】 A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180 7 【答案】A。 【考点】众数，中位数。 【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是 180，故这组 数据的众数为 180。 中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均 数）。由此将这组数据重新排序为 120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180， 180，180，180，180，180，200，200，∴中位数是第 10 和 11 个平均数，它们都是 160，故这组数据的中 位数为 160。 故选 A。 例 7：（2012 北京市 4 分）如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠AOD，若 ∠BOD=760，则 ∠BOM 等于【 】 A．38 B．104 C．142 D．144 【答案】C。 【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。 【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。 由射线 OM 平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选 C。 例 8：（2012 山西省 2 分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中 点，点 D 在弧 AB 上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】 A． 910 32 米 2 B． 9 32 米 2 C． 9632 米 2 D． 6 9 3  米 2 8 【答案】 C。 【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】连接 OD，则 DOCAODS S S扇形影阴 。 ∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，∴OC= 1 2 OA= ×6=3。 ∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。 在 Rt△OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴ 2 2 2 2CD= OD OC 6 3 3 3    。 又∵ CD 3 3 3sin DOC = =OD 6 2 ，∴∠DOC=60°。 ∴ 2 DOCAOD 60 6 1 9S S S = 3 3 3=6 3360 2 2        扇形影阴 （米 2）。故选 C。 例 9：（2012 广东梅州 3 分）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、 AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】 A．150° B．210° C．105° D．75° 【答案】A。 【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。 【分析】∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°。 ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°。 故选 A。 例 10：（2012 浙江义乌 3 分）如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF，则四边形 ABFD 的周长为【 】 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C。 9 【考点】平移的性质。 【分析】根据题意，将周长为 8 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC。 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10。故选 C。 练习题： 1. （2012 山东聊城 3 分）计算|﹣ 3 1 |﹣ 3 2 的结果是【 】 A．﹣ 3 1 B． 3 1 C．﹣1 D．1 2. （2012 江苏南京 2 分）计算   3222aa 的结果是【 】 A. a B. 2a C. 3a D. 4a 3. （2012 浙江温州 4 分）把多项式 a²－4a 分解因式，结果正确的是【 】 A.a (a-4) B. (a+2)(a-2) C. a(a+2)( a-2) D. (a－2 ) ²－4 4. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等 实数根 x1，x2 满足 x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么 a 的值为【 】 A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13 5. （2012 浙江台州 4 分）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数 6y= x 的图象上，则 y1，y2，y3 的大 小关系是【 】 A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2 6. （2012 海南省 3 分）要从小强、小红和小华三人跟随机选两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概 率是【 】 A． 2 3 B． 1 3 C． 1 2 D． 1 6 7. （2012 湖南怀化 3 分）等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为【 】 A．7 B．6 C．5 D．4 8. （2012 宁夏区 3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO=CD， 则∠ACP=【 】 10 A．30 B． 45 C．60 D．67.5 9. （2012 福建南平 4 分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将 AB、 AD 分别和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为【 】 A． 3 2 B． 5 2 C． 9 4 D．3 10. （2012 广东汕头 4 分）如图，将△ABC 绕着点 C 顺时针旋转 50°后得到△A′B′C′．若 ∠A=40°．∠B′=110°， 则∠BCA′的度数是【 】 A．110° B．80° C．40° D．30° 三、执果索因法：执果索因法，又称分析法，它与由因导果法的解题思路相反。它的解题方 法是从要求解的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，根据定义、公理、定理等，把要求 解的结论归结为判定一个明显成立的条件——四个选项之一。 典型例题： 例 1：（2012 江苏南通 3 分）已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数 k 等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16 【答案】A。 【考点】完全平方式。 【分析】要使 x2＋16x＋k 是完全平方式，必须对应的一元二次方程 x2＋16x＋k=0 根的判别式△=0。 由△=162－4×1×k=0 解得 k=64。故选 A。 11 例 2：（2012 山东聊城 3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是【 】 A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥2 . 【答案】A。 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为 0 的条件，要使 1 x2 在实数范围内有意 义，必须 x 2 0 x 2 x2x 2 0 x 2 >     。故选 A。 例 4：（2012 广西柳州 3 分）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离，如果 △PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是【 】 A．PO B．PQ C．MO D．MQ 【答案】B。 【考点】全等三角形的应用。 12 【分析】要想求得 MN 的长，根据全等三角形对应边相等可知只需求得其对应边 PQ 的长即可。故选 B。 例 5：（2012 天津市 3 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E， 使 ME=MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为【 】 A． 31 B．35 C． 5+1 D． 51 【答案】D。 【考点】正方形的性质，勾股定理。 【分析】要求 DG 的长，由正方形的性质 DG=DE，从而只要求得 DE 的长即可；由于 DM= 1 2 DC=1，故只 要求得 ME 的长即可；由 ME=MC，故只要求得 MC 的长即可；因此，利用勾股定理求出 CM 的长： 2 2 2 2CM DC DM 2 +1 = 5   。 ∴DG=ED=EM－DM=CM－DM = 51 。故选 D。 例 6：（2012 江苏泰州 3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，OD⊥BC 于 D，∠A=50°，则 ∠OCD 的度数是【 】 A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】A。 【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。 【分析】要求∠OCD 的度数，由 OD⊥BC，根据三角形内角和定理，只要求得∠COD 的度数即可；根据 圆周角定理和垂径定理，知∠DOC=∠A=50°；从而∠OCD=1800－900－500=400。故选 A。 练习题： 1. （2012 四川南充 3 分）在函数 1 2xy 1x 2   中，自变量的取值范围是【 】 13 A. x≠ 2 1 B.x≤ 2 1 C.x﹤ D.x≥ 2. （2012 湖南长沙 3 分）下列四个角中，最有可能与 70°角互补的是【 】 A． B． C． D． 3. （2012 辽宁本溪 3 分）如图 在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE 是 AB 边的垂直平分 线，垂足为 D，交边 BC 于点 E，连接 AE，则△ACE 的周长为【 】 A、16 B、15 C、14 D、13 4. （2012 广西贵港 3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，1）和点 B（3，0），则 sin∠AOB 的 值等于【 】 A． 5 5 B． 5 2 C． 3 2 D．1 2 5. （2012 山东泰安 3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 的直线 CE⊥AB，垂足为 E，若 ∠EAD=53°， 则∠BCE 的度数为【 】 A．53° B．37° C．47° D．123° 6. （2012湖北黄冈3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于E，已知CD=12，则 ⊙O 的直径为【 】 A. 8 B. 10 C.16 D.20 14 四、代入检验法：代入检验法的解题方法是将四个选项分别代入题设中或将题设代入选项中检 验，从而确定答案。当遇到定量命题时，常用此法。 典型例题： 例 1：（2012 江苏苏州 3 分）若 m m 213 9 27 3   ，则 m 的值为【 】 A.3 B.4 C.5 D. 6 【答案】B。 【考点】幂的乘方，同底数幂的乘法。 【分析】将各选项代入，等式的左边与右式比较即可： 当 m=3 时， m m 3 3 6 9 163 9 27 3 9 27 3 3 3 3         ； 当 m=4 时， m m 4 4 8 12 213 9 27 3 9 27 3 3 3 3         ； 当 m=5 时， m m 5 5 10 15 263 9 27 3 9 27 3 3 3 3         ， 当 m=6 时， m m 6 6 12 18 313 9 27 3 9 27 3 3 3 3         。 故选 B。 例 2：（2012 江苏淮安 3 分）方程 2x 3x 0的解为【 】 A、 x0 B、 x3 C、 12x 0,x 3   D、 12x 0,x 3 【答案】D。 【考点】方程的解，因式分解法解一元二次方程。 【分析】将 0，－ 3，3 分别代入方程 2x 3x 0，使等式成立的是 0，3。根据方程解的定义知方程 的解为 12x 0 x 3， 。故选 D。 例 3：（2012 浙江义乌 3 分）在 x=﹣4，﹣1，0，3 中，满足不等式组 x2 2(x 1) 2      的 x 值是【 】 A．﹣4 和 0 B．﹣4 和﹣1 C．0 和 3 D．﹣1 和 0 【答案】D。 【考点】解一元一次不等式组，不等式的解集。 【分析】解出不等式组，再检验所给四个数是否在不等式的解集的解集即可： 由 2（x＋1）＞－2 得 x＞﹣2。∴此不等式组的解集为：﹣2＜x＜2。 x=﹣4，﹣1，0，3 中只有﹣1，0 在﹣2＜x＜2 内。故选 D。 15 例4：（2012山东菏泽3分）在算式 33 33              的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是【 】 A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号 【答案】D。 【考点】实数的运算，实数大小比较。 【分析】分别填上运算符号计算后比较大小： 当填入加号时： 3 3 2 3+=3 3 3                ，当填入减号时： 33=033                ； 当填入乘号时： 3 3 1=3 3 3                ；当填入除号时： 33=133                。 ∵ 2 3 10133< < < ，∴这个运算符号是除号。故选 D。 例 5：（2012 福建厦门 3 分）已知两个变量 x 和 y，它们之间的 3 组对应值如下表所示. x －1 0 1 y －1 1 3 则 y 与 x 之间的函数关系式可能是【 】 A．y＝x B．y＝2x＋1 C．y＝x2＋x＋1 D．y＝3 x 【答案】B。 【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式： A．根据表格对应数据代入不能全得出 y=x，故此选项错误； B．根据表格对应数据代入均能得出 y=2x+1，故此选项正确； C．根据表格对应数据代入不能全得出 y＝x2＋x＋1，故此选项错误； D．根据表格对应数据代入不能全得出 y＝3 x ，故此选项错误。 故选 B。 例 6：（2012 四川巴中 3 分）如图，已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件 是【 】 16 A. AB=AC B. ∠BAC=90° C. BD=AC D. ∠B=45° 【答案】A。 【考点】全等三角形的判定。 【分析】添加 AB=AC，符合判定定理 HL。 而添加∠BAC=90°，或 BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。故选 A。 例 7：（2012 山东聊城 3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在边 BC 上，如果点 F 是边 AD 上 的点，那么△CDF 与△ABE 不一定全等的条件是【 】 A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE 【答案】C。 【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可： A、当 DF=BE 时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利 用 SAS 可判定△CDF≌△ABE； B、当 AF=CE 时，由平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD， ∠B=∠D，利用 SAS 可判定△CDF≌△ABE； C、当 CF=AE 时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用 SSA 不能可判定 △CDF≌△ABE； D、当 CF∥AE 时，由平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用 AAS 可判定△CDF≌△ABE。 故选 C。 例 8：（2012 海南省 3 分）如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条 件，不正确．．．的是【 】 17 A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． AB CB BD CD D． AD AB AB AC 【答案】C。 【考点】相似三角形的判定。 【分析】由∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC，加上∠A 是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定， 可得△ADB∽△ABC；由 AD AB AB AC ，加上∠A 是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等 的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但 AB CB BD CD ，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB 与△ABC 相似。故选 C。 例 9：（2012 北京市 4 分） 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为 t （单位：秒），他与教练的距离为 y（单位：米），表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个 固定位置可能是图 1 中的【 】 A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象. 【分析】分别在点 M、N、P、Q 的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案： A、在点 M 位置，则从 A 至 B 这段时间内，弧 AB 上每一点与点 M 的距离相等，即 y 不随时间 的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误； B、在点 N 位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，且最大，与函数图象不符，故本 选项错误； C、在点 P 位置，则 PC 最短，与函数图象不符，故本选项错误； D、在点 Q 位置，如图所示，①以 Q 为圆心，QA 为半径画圆交 于点 E，其中 y 最大的点是 18 AE 的中垂线与弧 AB 的交点 H；②在弧 上，从点 E 到点 C 上，y 逐渐减小；③QB=QC，即 BCy =y ， 且 BC 的中垂线 QN 与 BC 的交点 F 是 y 的最小值点。经判断点 Q 符合函数图象，故本选项正确。 故选 D。 练习题： 1. （2011 湖南邵阳 3 分）如果□×3 a b＝3 2b，则□内应填的代数式是【 】 A． b B．3 b C． D．3 2.（2012 广西桂林 3 分）二元一次方程组 x+y=3 2x=4    的解是【 】 A． x=3 y=0    B． x=1 y=2    C． x=5 y= 2    D． x=2 y=1    3. （2012 福建莆田 4 分）方程  x 1 x 2 0   的两根分别为【 】 A． 1x ＝－1， 2x ＝2 B． ＝1， ＝2 C． ＝―l， ＝－2 D． ＝1， ＝－2 4. （2012 福建三明 4 分）分式方程 52=x+3 x 的解是【 】 A．x=2 B．x=1 C．x= 1 2 D．x=－2 5. （2012 福建泉州 3 分）若 y kx 4的函数值 y 随着 x 的增大而增大，则 k 的值可能是下列的【 】. A . 4 B. 2 1 C.0 D.3 6. （2012 湖南娄底 3 分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】 A． 1y 2x B． 2y x C． 2y x D． 1y x 7. （2012 海南省 3 分）一个三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是【 】 A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 8. （2012 湖北黄石 3 分）有一根长 40mm 的金属棒，欲将其截成 x 根7mm 长的小段和 y 根9mm长的小 段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数 ， 应分别为【 】 19 A. x1 ， y3 B. x3 ， y2 C. x4 ， y1 D. x2 ， 9.（2012 山东威海 3 分）如图，在 ABCD 中，AE，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线。添加一个条 件，仍无法判断四边形 AECF 为菱形的是【 】 A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC 是∠EAF 的平分线 五、特殊元素法：特殊元素法的解题方法是在有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围 有关，在解决这类解答题，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定 答案。 典型例题： 例 1：（2012 四川宜宾 3 分）将代数式 x2+6x+2 化成（x+p）2+q 的形式为【 】 A． （x﹣3）2+11 B． （x+3）2﹣7 C． （x+3）2﹣11 D． （x+2）2+4 【答案】B。 【考点】配方法的应用。 【分析】除用配方法求解外，可取值 x=0，分别代入： x2+6x+2=2；（ x﹣3）2+11=20；（ x+3）2﹣7=2；（ x+3）2﹣11=﹣2；（ x+2）2+4=8。 ∴x2+6x+2=（x+3）2﹣7。故选 B。 例 2：（2012 山东青岛 3 分）点 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数 3y= x 的图象上，且 x1＜x2＜0＜x3，则 y1、y2、y3 的大小关系是【 】 A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】A。 【考点】反比例函数的图象和性质。 【分析】取满足 x1＜x2＜0＜x3 的 x1=－3，x2=－1，x3=1，则 y1=1，y2=3，y3=－3。 ∵-3＜1＜3，∴y2＜y1＜y3。故选 A。 例 3：（2011 黑龙江龙东五市 3 分）当 1＜a＜2 时，代数式︱a－2︱+︱1－a︱的值是【 】 A、－1 B、1 C、3 D、－3 20 【答案】B。 【考点】代数式求值，绝对值。 【分析】根据 a 的取值范围，取 a=1.5，则︱a－2︱+︱1－a︱=︱1.5－2︱+︱1－1.5︱=0.5+0.5=1。故选 B。 例 4：（2011 四川泸州 2 分）设实数 a，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a a b+ 的结果是【 】 A、－2a＋b B、2a＋b C、－b D、b 【答案】D。 【考点】实数与数轴，二次根式的性质，绝对值。 【分析】根据数轴上 a，b 的值取 a=－1，b=3， ∴  22a a b = 1 + 1+3 =1+2=3  + ；－2a＋b=5；2a＋b=1；－b=－3。故选 D。 例 5：（2011 山东淄博 3 分）由方程组 x+m=6 y 3=m    ，可得出 x 与 y 的关系式是【 】 A． + =9 B． + =3 C． + =－3 D． + =－9 【答案】A。 【考点】方程组的解。 【分析】取 m=0，则 x=6 y=3    ，∴ x + y =9。故选 A。 练习题： 1. （2012 浙江衢州 3 分）已知二次函数 y=﹣ x2﹣7x+ ，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0＜x1＜x2 ＜x3，则对应的函数值 y1，y2，y3 的大小关系正确的是【 】 A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 2. （2011 山东菏泽 3 分）实数a 在数轴上的位置如图所示，则    22a 4 a 11   化简后为【 】 A、7 B、﹣7 C、2a﹣15 D、无法确定 3. （2011 黑龙江大庆 3 分）若a ＋ b ＞0，且 ＜0，则 、 、― 、― 的大小关系为【 】 A．― ＜― ＜ ＜ B．― ＜ ＜ ＜― C．― ＜ ＜― ＜ D． ＜― ＜― ＜ 21 4. (2011 江苏无锡 3 分) 若 a ＞ b ，则【 】 A． ＞－ B． ＜― C．－2 ＞－2 D．―2 ＜―2 5. （2011 山东淄博 3 分）若 ＞ ，则下列不等式成立的是【 】 A． －3＜ －3 B．－2 ＞－2 C． ab 44< D． ＞ －1 六、筛选排除法：筛选排除法是解选择题的一种常用方法，它的解题方法是根据题设条件， 结合选项，通过观察、比较、猜想推理和计算，进行排查，从四个选项中把不正确的答案一一淘汰，最后 得出正确答案的方法。筛选排除法可通过观察、比较、分析和判断，进行简单的推理和计算选出正确的答 案，特别对用由因导果法解之较困难而答案又模棱两可者更有用。 典型例题： 例 1：（2012 山西省 2 分）下列运算正确的是【 】 A． B． C． a2a4=a8 D． （﹣a3）2=a6 【答案】D。 【考点】算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方。 【分析】根据算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的概念应用排它法作出判 断： A． 4 =2，故本选项错误；B．2+ 3 不能合并，故本选项错误； C．a2a4=a6，故本选项错误；D．（﹣a3）2=a6，故本选项正确。故选 D。 例 2：（2012 安徽省 4 分）下面的多项式中，能因式分解的是【 】 A. 2mn B. 2m m 1 C. 2mn D. 2m 2m 1 【答案】D。 【考点】因式分解的条件。 【分析】在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式，三项用完全 平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，分解到每个因式不能再分为止。因此，根 据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解： A、 2mn 不能分解因式，故本选项错误； B、 2m m 1不能分解因式，故本选项错误； C、 2mn 不能分解因式，故本选项错误； 22 D、  22m 2m 1= m 1   是完全平方式，故本选项正确。 故选 D。 例 3： （2012 天津市 3 分）若关于 x 的一元二次方程（x－2）（ x－3）=m 有实数根 x1,x2，且 x1≠x2，有下 列结论： ①x1 =2，x2=3； ② 1m 4>  ； ③二次函数 y=（x－x1）（ x－x2）＋m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）． 其中，正确结论的个数是【 】 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 例 4：（2012 重庆市 4 分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是【 】 A．调查市场上老酸奶的质量情况 B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命 C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率 【答案】C。 【考点】调查方法的选择。 【分析】A、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查； B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查； C、事关重大的调查往往选用普查； 23 D、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查。 故选 C。 例 5：（2012 天津市 3 分）某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴 360km 外的农村采访，全程的前一 部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车 行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是【 】 （A）汽车在高速公路上的行驶速度为 100km/h （B）乡村公路总长为 90km （C）汽车在乡村公路上的行驶速度为 60km/h （D）该记者在出发后 4.5h 到达采访地 【答案】C。 【考点】函数的图象的分析。 【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案： A、汽车在高速公路上的行驶速度为 180÷2=90（km/h），故本选项错误； B、乡村公路总长为 360－180=180（km），故本选项错误； C、汽车在乡村公路上的行驶速度为 180÷3=60（km/h），故本选项正确； D、该记者在出发后 5h 到达采访地，故本选项错误。 故选 C。 例 6：（2012 安徽省 4 分）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C。 【考点】判断立体图形的三视图。 24 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。因此，根据这几个 常见几何题的视图可知：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱 柱的主视图是宽相等两个相连的矩形。故选 C。 例 7：（2012 山东淄博 4 分）已知一等腰三角形的腰长为 5，底边长为 4，底角为 β．满足下列条件的三角 形不一定与已知三角形全等的是【 】 (A)两条边长分别为 4，5，它们的夹角为 β (B)两个角是 β，它们的夹边为 4 (C)三条边长分别是 4，5，5 (D)两条边长是 5，一个角是 β 【答案】D。 【考点】全等三角形的判定，等腰三角形的性质。 【分析】(A)由 SAS 知两三角形全等：(B)由 ASA 知两三角形全等：(C) 由 SSS 知两三角形全等：(D) 当 顶角为 β 时，两三角形不一定全等。故选 D。 例 8：（2012 四川巴中 3 分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【 】 A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等 C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别相等 【答案】B。 【考点】平行四边形的判定 【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四 边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边 形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 A、D、C 均符合是平行四边形的条件，B 则不能判 定是平行四边形。故选 B。 例 9：（2012 浙江嘉兴、舟山 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，动点 P 从点 A 出发，沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动，回到点 A 时运动停止．设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关 于 x 的函数图象大致是【 】 25 A． B． C． D． 【答案】D。 【考点】动点问题的函数图象。 【分析】因为动点 P 按沿折线 A→B→D→C→A 的路径运动，因此，y 关于 x 的函数图象分为四部分：A→B， B→D，D→C，C→A。 当动点 P 在 A→B 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，且 y=x，四个图象均正确。 当动点 P 在 B→D 上时，函数 y 在动点 P 位于 BD 中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项 B 错误。 当动点 P 在 D→C 上时，函数 y 随 x 的增大而增大，故选项 A，C 错误。 当动点 P 在 C→A 上时，函数 y 随 x 的增大而减小。故选项 D 正确。故选 D。 练习题： 1，（2012 宁夏区 3 分）下列运算正确的是【 】 A． 2 23a a =3 B． 2 3 5(a ) =a C． 3 6 9a a =a D． 2 2 2(2a ) =4a 2. （2012 青海西宁 3 分）下列分解因式正确的是【 】 A．3x2－6x＝x(3x－6) B．－a2＋b2＝(b＋a)(b－a) C．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y) D．4x2－2xy＋y2＝(2x－y)2 3. （2012 山东烟台 3 分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4 的是【 】 A．x2+2x﹣4=0 B．x2﹣4x+4=0 C．x2+4x+10=0 D．x2+4x﹣5=0 4. （2012 广东肇庆 3 分）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为 2：3：5，如图所示的扇形图 表示上述分布情况．已知来自甲地区的为 180 人，则下列说法不正确的是【 】 A．扇形甲的圆心角是 72° 26 B．学生的总人数是 900 人 C．丙地区的人数比乙地区的人数多 180 人 D．甲地区的人数比丙地区的人数少 180 人 5. （2012 湖北武汉 3 分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点 的人原地休息．已知甲先出发 2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间 t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是【 】 A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 6. （2012 浙江义乌 3 分）下列四个立体图形中，主视图为圆的是【 】 A． B． C． D． 7. （2012 广西来宾 3 分）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， 3 ，2．分别以每组数据中的三 个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有【 】 A．② B．①② C．①③ D．②③ 8. （2012 湖北孝感 3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60º，E、F 分别是 AB、AD 的中点，DE、BF 相交于点 G，连接 BD、CG．给出以下结论，其中正确的有【 】 ①∠BGD＝120º；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④ 2 ADE 3S = AB4 ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 27 9. （2012 四川乐山 3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合），且保持 AE=CF，连接 DE、DF、EF．在此运动变化的过程 中，有下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形 CEDF 不可能为正方形； ③四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化； ④点 C 到线段 EF 的最大距离为 ． 其中正确结论的个数是【 】 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 七、图象解析法：图象解析法的解题方法解选择题的一种常用方法，它是根据数形结合的原理, 先画出示意图,再观察图象的特征作出选择的方法。 典型例题： 例 1：（2012 重庆市 4 分）在﹣3，﹣1，0，2 这四个数中，最小的数是【 】 A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】A。 【考点】有理数大小比较。 【分析】画数轴，这四个数在数轴上的位置如图所示： 由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3。故选 A。 例 2：（2012 青海西宁 3 分）如图，将矩形沿图中虚线(其中 x＞y)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一 个正方形．若 y＝2，则 x 的值等于【 】 28 A．3 B．2 5－1 C．1＋ 5 D．1＋ 2 【答案】C。 【考点】一元二次方程的应用（几何问题），图形的剪拼。 【分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为 x， 根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。 ∵y=2，∴2（x+2）=x2，整理得，x2－2x－4=0，解得 x1=1＋ 5，x2=1－ 5（舍去）。故选 C。 例 3：（2012 江苏南通 3 分）线段 MN 在直角坐标系中的位置如图所示，线段 M1N1 与 MN 关于 y 轴对称， 则点 M 的对应的点 M1 的坐标为【 】 A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 【答案】D。 【考点】平面坐标系与坐标，关于 y 轴对称的点的坐标特征。 【分析】作出线段 M1N1 与 MN 关于 y 轴对称的图形，关于 y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐 标互为相反数，从而点 M(－4，－2)关于 y 轴对称的点 M1 的坐标是(4，－2)。故选 D。 例 4：（2012 江苏常州 2 分）已知二次函数    2y=a x 2 +c a 0> ，当自变量 x 分别取 2 ，3，0 时，对应 的值分别为 1 2 3y y y， ， ，则 的大小关系正确的是【 】 A. 3 2 1y y y<< B. 1 2 3y y y<< C. 213y y y<< D. 3 1 2y y y<< 29 【答案】 B。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】由二次函数    2y=a x 2 +c a 0> 知， 它的图象开口向上，对称轴为 x=2，如图所示。 根据二次函数的对称性，x=3 和 x=1 时，y 值相等。 由于二次函数 在对称轴 x=2 左侧，y 随 x 的增 大而减小，而 0＜1＜ 2 ，因此， 1 2 3y y y<<。故选 B。 例 5：（2012 浙江嘉兴、舟山 4 分）定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为 2，则从 1，3，4，5 中任选两数，能与 2 组成“V 数”的概 率是【 】 A． 1 4 B． 3 10 C． 1 2 D． 3 4 【答案】C。 【考点】列表法或树状图法，概率。 【分析】画树状图得： ∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425， 其中是“V 数”的有：423，523，324，524，325，425 六个， ∴从 1，3，4，5 中任选两数，能与 2 组成“V 数”的概率是： 61=12 2 。故选 C。 例 6：（2012 山东德州 3 分）如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 30 【考点】几何体的展开。 【分析】将 A、B、C、D 分别展开，能和原图相对应的即为正确答案： A、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误； B、展开得到 ，能和原图相对，故本选项正确； C、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误； D、展开得到 ，不能和原图相对应，故本选项错误。 故选 B。 例 7：（2012 江苏泰州 3 分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；② 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既 是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题．．．共有【 】 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B。 【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。 【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作 出判断： ①如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC， 连接 BD，则 ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD（等量减等量，差相等）。 ∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）。 ∴四边形 ABCD 是平行四边形（平行四边形定义）。因此命题①正确。 ②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。 ③如图，矩形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 连接 AC，BD。 ∵E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点， 31 ∴EF= 1 2 AC，HG= AC，EF= BD，FG= BD（三角形中位线定理）。 又∵矩形 ABCD，∴AC=BD（矩形的对角线相等）。 ∴EF=HG=EF=FG（等量代换）。 ∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形）。因此命题③正确。 ④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命 题④错误。 综上所述，正确的命题即真命题有①③。故选 B。 例 8：（2012 四川广元 3 分）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两 个拐弯的角度可能为【 】 A. 先向左转 130°，再向左转 50° B. 先向左转 50°，再向右转 50° C. 先向左转 50°，再向右转 40° D. 先向左转 50°，再向左转 40° 【答案】B。 【考点】平行线的性质。 【分析】根据题意画出图形，然后利用同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行，即可判定： 如图： A、∵∠1=130°，∴∠3=50°=∠2。∴a∥b，且方向相反； B、∵∠1=∠2=50°，∴a∥b； C、∵∠1=50°，∠2=40°，∴∠1≠∠2，∴a 不平行于 b； D、∵∠2=40°，∴∠3=140°≠∠1，∴a 不平行于 b。 故选 B。 例 9：（2012 山东烟台 3 分）如图是跷跷板示意图，横板 AB 绕中点 O 上下转动，立柱 OC 与地面垂直， 设 B 点的最大高度为 h1．若将横板 AB 换成横板 A′B′，且 A′B′=2AB，O 仍为 A′B′的中点，设 B′点的最大 高度为 h2，则下列结论正确的是【 】 32 A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 D．h2= 1 2 h1 【答案】C。 【考点】三角形中位线定理。 【分析】直接根据三角形中位线定理进行解答即可： 如图所示：∵O 为 AB 的中点，OC⊥AD，BD⊥AD， ∴OC∥BD，∴OC 是△ABD 的中位线。∴h1=2OC。 同理，当将横板 AB 换成横板 A′B′，且 A′B′=2AB，O 仍为 A′B′的中点，设 B′点的最大高度为 h2，则 h2=2OC。 ∴h1=h2。故选 C。 练习题： 1. （2012 浙江衢州 3 分）下列四个数中，最小的数是【 】 A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣ 33 2. （2012 湖北孝感 3 分）如图，△ABC 在平面直角坐标系中的第二象限内，顶点 A 的坐标是(－2，3)， 先把△ABC 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1 关于 x 轴的对称图形△A2B2C2，则顶点 A2 的坐标是【 】 A．(－3，2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1) 3. （2012 四川巴中 3 分） 对于二次函数 y 2(x 1)(x 3)   ，下列说法正确的是【 】 A. 图象的开口向下 B. 当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小 C. 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 x=－1 4. （2012 浙江义乌 3 分）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语， 三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两 种语言的概率是【 】 A． B． C． D． 5. （2012 山东潍坊 3 分）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白 棋再下一子，使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形，白棋的 5 个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正 确的是【 】． [说明：棋子的位置用数对表示，如 A 点在(6，3)] A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2) C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6) 34 6. （2012 江西南昌 3 分）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东 60°方向，那么太阳相对于你的方向 是【 】 A． 南偏西 60° B． 南偏西 30° C． 北偏东 60° D． 北偏东 30° 7. （2012 广东广州 3 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C 到 AB 的距离是【 】 A． B． C． D． 8. （2012 浙江绍兴 4 分）如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作法分 别是： 甲：1、作 OD 的中垂线，交⊙O 于 B，C 两点， 2、连接 AB，AC，△ABC 即为所求的三角形 乙：1、以 D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于 B，C 两点。 2、连接 AB，BC，CA．△ABC 即为所求的三角形。 对于甲、乙两人的作法，可判断【 】 A． 甲、乙均正确 B． 甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 9. （2012 湖南张家界 3 分）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是【 】 A． 正方形 B． 矩形 C． 菱形 D． 等腰梯形 10. （2012 四川宜宾 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 1 2 AB，点 E、 F 分别为 AB．AD 的中点，则△AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为【 】 35 A． 1 7 B． 1 6 C． 1 5 D． 1 4 八、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果 具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和 结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数。对于待定 系数法方法的使用，笔者将另文详细解析。 典型例题： 例 1：（2012 湖南永州 3 分）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其 中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于 1056 年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑 建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总 和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在【 】 A．朝阳岩 B．柳子庙 C．迥龙塔 D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置 【答案】B。 【考点】数轴。144 【分析】设朝阳岩距离柳子庙的路程为 a，柳子庙距离迥龙塔的路程为 b（由图知 b＞a），则朝阳岩距离 柳子庙的路程为 a＋b，然后对四个答案进行比较即可： A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为 a＋a＋b=2a＋b a+b> ； B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为 a＋b； C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为 b＋a＋b=a＋2b a+b> ； D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程为 a+b a+b a+b b a+ + a =a+b+ a+b2 2 2 2 > 。 36 故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总 和最短。故选 B。 例 2：（2012 四川凉山 4 分）已知 b5 a 13 ，则 ab ab   的值是【 】 A． 2 3 B． 3 2 C． 9 4 D． 4 9 【答案】D。 【考点】比例的性质。 【分析】∵ b5 a 13 ，∴设出 b=5k，得出 a=13k，把 a，b 的值代入 ab ab   ，得， a b 13k 5k 8k 4= = =a b 13k 5k 18k 9   。故选 D。 例 3：（2012 湖北荆州 3 分）如图，点 A 是反比例函数 2y= x （x＞0）的图象上任意一点，AB∥x 轴交反 比例函数 3y= x 的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为【 】 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】D。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质。 【分析】设 A 的纵坐标是 a，则 B 的纵坐标也是 a． 把 y=a 代入 2y= x 得， 2a= x ，则 2x= a ，即 A 的横坐标是 2 a ；同理可得：B 的横坐标是： 3 a 。 ∴AB= 2 3 5=a a a  。∴S□ABCD= 5 a ×a=5。故选 D。 例 4：（2012 山东聊城 3 分）在如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数分 别是 3 和﹣1，则点 C 所对应的实数是【 】 A．1+ B．2+ C．2 ﹣1 D．2 +1 【答案】D。 37 【考点】实数与数轴，一元一次方程的应用。 【分析】设点 C 所对应的实数是 x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有  x 3= 3 1   ，解得 x=2 3+1。故选 D。 例 5：（2012 湖北恩施 3 分）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 10%，假设不计 超市其他费用，如果超市要想至少获得 20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 【 】 A．40% B．33.4% C．33.3% D．30% 【答案】B。 【考点】一元一次不等式的应用。 【分析】设购进这种水果 a 千克，进价为 b 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高 x，则售价为 （1+x）b 元/千克，根据题意得：购进这批水果用去 ab 元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a 千克， 售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b 元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100% 可列出不等式： [0.9a（1+x）b－ab]÷ab·100%≥20%，解得 x≥ 1 3 。 ∵超市要想至少获得 20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高 33.4%。 故选 B。 例 6：（2012 江西南昌 3 分）已知一次函数 y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象 不经过【 】 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】C。 【考点】待定系数法求一次函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系，一次函数的性质。 【分析】将（2，﹣1）、（﹣3，4）代入一次函数 y=kx+b 中得， 2k+b= 1 3k+b=4   ，解得， k= 1 b=1    。 ∴一次函数解析式为 y=﹣x+1。 对于一次函数 y=kx+b，当 k＜0，b＞0 时，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。 故选 C。 练习题： 1. （2012 甘肃白银 3 分）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余 38 部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为 3，则另一边长是【 】 A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6 2. （2012 青海省 3 分）通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低 a 元后，再次下调了 20%，现在收费标准是每分钟 b 元，则原收费标准每分钟是【 】 A． 5a+ b4   元 B． 5ab4  元 C．（ a+5b）元 D．（ a﹣5b）元 3. （2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果 分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不 足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【 】 A．29 人 B．30 人 C．31 人 D．32 人 4. （2012 黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）为庆祝“六·一”国际儿童节，龙沙区某小学组织 师生共 360 人参加公园游园活动，有 A、B 两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为 45 人、30 人， 要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有【 】 A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 5. （2012 黑龙江龙东地区 3 分）某校团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派 20 名学生 分三组到 120 个店铺发传单，若第一、二、三小组每人分别负责 8、6、5 个店铺，且每组至少有两人，则 学生分组方案有【 】 A. 6 种 B. 5 种 C. 4 种 D. 3 种 6.（2012 湖南娄底 3 分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】 A． 1y 2x B． 2y x C． 2y x D． 1y x 8. （2012 湖南长沙 3 分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I（A）与电阻 R（Ω）成反比例．图 表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象，则用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为【 】 A． 2I= R B． 3I= R C． 6I= R D． 6I= R 39 九、分类讨论法：在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐 类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也 是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数 学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我 们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进 行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获 取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论。对于分类讨论法方法的使用，笔者将另文详细解析。 典型例题： 例 1：（2012 湖北襄阳 3 分）如果关于 x 的一元二次方程 2kx 2k 1x 1 0    有两个不相等的实数根，那 么 k 的取值范围是【 】 A．k＜ 1 2 B．k＜ 且 k≠0 C．﹣ ≤k＜ D．﹣ ≤k＜ 且 k≠0 【答案】D。 【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。 【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条 件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣ 1 2 ≤k＜ 且 k≠0。 故选 D。 例 2：（2012 重庆市 4 分）2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘 了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开 车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现场的距离为 S．下面能反映 S 与 t 的函数 关系的大致图象是【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】函数的图象。 【分析】根据题意可得，S 与 t 的函数关系的大致图象分为四段： 第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小， 第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大， 40 第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变， 第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为 0。 纵观各选项，只有 B 选项的图象符合。故选 B。 例 3：（2012 福建福州 4 分）如图，过点 C(1，2)分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y＝－x＋6 于 A、B 两点，若反比例函数 y＝k x(x＞0)的图像与△ABC 有公共点，则 k 的取值范围是【 】 A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8 【答案】A。 【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。 【分析】∵ 点 C(1，2)，BC∥y 轴，AC∥x 轴， ∴ 当 x＝1 时，y＝－1＋6＝5；当 y＝2 时，－x＋6＝2，解得 x＝4。 ∴ 点 A、B 的坐标分别为 A(4，2)，B(1，5)。 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点 C 相交时，k＝1×2＝2 最小。 设与线段 AB 相交于点(x，－x＋6)时 k 值最大， 则 k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9。 ∵ 1≤x≤4，∴ 当 x＝3 时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)。 因此，k 的取值范围是 2≤k≤9。故选 A。 例 4：（2012 湖南衡阳 3 分）掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为 11 的概率为【 】 A． 1 18 B． 1 36 C． 1 12 D． 1 15 【答案】A。 【考点】列表法或树状图法，概率。 【分析】根据题意列表或画树状图，然后根据图表求得所有等可能的情况与所得点数之和为 11 的情况， 然后利用概率公式求解即可求得答案： 列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 41 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∵共有 36 种等可能的结果，所得点数之和为 11 的有 2 种情况， ∴所得点数之和为 11 的概率为： 21=36 18 。故选 A。 例 5：（2012 安徽省 4 分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连 线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为 2、4、3，则原直角三角形纸 片的斜边长是【 】 A.10 B. 54 C. 10 或 54 D.10 或 172 【答案】C。 【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理 【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾 股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长： ①如左图： ∵ 2 2 2 2CE CD DE 4 +3 =5   ，点 E 是斜边 AB 的中点，∴AB=2CE=10 。 ②如右图： 42 ∵ 2 2 2 2CE CD DE 4 +2 =2 5   ，点 E 是斜边 AB 的中点，∴AB=2CE= 45。 因此，原直角三角形纸片的斜边长是 10 或 。故选 C。 例 6：（2012 福建三明 4 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O， A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有【 】 A． 2 个 B． 3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C。 【考点】等腰三角形的判定。 【分析】如图，分 OP=AP（1 点），OA=AP（1 点），OA=OP（2 点） 三种情况讨论。 ∴以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件 的点 P 共有 4 个。故选 C。 例 7：（2012 湖北武汉 3 分）在面积为 15 的平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE 垂直于直线 BC 于点 E， 作 AF 垂直于直线 CD 于点 F，若 AB＝5，BC＝6，则 CE＋CF 的值为【 】 A．11＋11 3 2 B．11－ C．11＋ 或 11－ D．11－ 或1＋ 3 2 【答案】C。 【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。 【分析】依题意，有如图的两种情况。设 BE=x，DF=y。 如图 1，由 AB＝5，BE=x，得 2 2 2AE AB BE 25 x    。 由平行四边形 ABCD 的面积为 15，BC＝6，得 26 25 x =15 ， 解得 53x= 2 （负数舍去）。 由 BC＝6，DF=y，得 2 2 2AF AD DF 36 y    。 43 由平行四边形 ABCD 的面积为 15，AB＝5，得 25 36 y =15 ， 解得 y= 3 3 （负数舍去）。 ∴CE＋CF=（6－ 53 2 ）＋（5－33）=11－11 3 2 。 如图 2，同理可得 BE= 53 2 ，DF= 。 ∴CE＋CF=（6＋ ）＋（5＋ ）=11＋ 。 故选 C。 例 8：（2012 湖北襄阳 3 分）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是【 】 A．80° B．160° C．100° D．80°或 100° 【答案】D。 【考点】圆周角定理。1028458 【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC 的度数，又由圆的内接四边四边形性质， 即可求得∠AB′C 的度数： 如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC= 1 2 ∠AOC= ×160°=80°。 ∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°。 ∴∠ABC 的度数是：80°或 100°。故选 D。 例 9：（2012 四川南充 3 分）如图，平面直角坐标系中，⊙O 半径长为 1.点⊙P（a,0）， ⊙P 的半径长为 2， 把⊙P 向左平移，当⊙P 与⊙O 相切时，a 的值为【 】 （A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1 ，±3 【答案】D。 【考点】两圆的位置关系，平移的性质。 【分析】⊙P 与⊙O 相切时，有内切和外切两种情况： ∵⊙O 的圆心在原点，当⊙P 与⊙O 外切时，圆心距为 1+2=3， 当⊙P 与⊙O 第内切时，圆心距为 2-1=1， 当⊙P 与⊙O 第一次外切和内切时，⊙P 圆心在 x 轴的正半轴上， 44 ∴⊙P（3,0）或（1,0）。 ∴a=3 或 1。 当⊙P 与⊙O 第二次外切和内切时，⊙P 圆心在 x 轴的负半轴上， ∴⊙P（-3,0）或（-1,0）。 ∴a =-3 或-1 。故选 D。 例 10：（2012 甘肃兰州 4 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC＝2cm，F 是弦 BC 的中点，∠ABC＝60°．若 动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 方向运动，设运动时间为 t(s)(0≤t＜3)，连接 EF，当 △BEF 是直角三角形时，t(s)的值为【 】 A． 7 4 B．1 C． 或 1 D． 或 1 或 9 4 【答案】D。 【考点】动点问题，圆周角定理，含 30 度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理。 【分析】若△BEF 是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°，分别讨论如下： ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°。 Rt△ABC 中，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4cm。 ①当∠BFE＝90°时； Rt△BEF 中，∠ABC＝60°，则 BE＝2BF＝2cm。 ∴此时 AE＝AB－BE＝2cm。 ∵E 点沿着 A→B→A 方向运动，∴E 点运动的距离为：2cm 或 6cm。 ∵点 E 以 2cm/s 的速度运动，∴t＝1s 或 3s。 ∵0≤t＜3，∴t＝3s 不合题意，舍去。 ∴当∠BFE＝90°时，t＝1s。 ②当∠BEF＝90°时， 同①可求得 BE＝ 1 2 cm，此时 AE＝AB－BE＝ 7 2 cm。 45 ∵E 点沿着 A→B→A 方向运动，∴E 点运动的距离为：3.5cm 或 4.5cm。 ∵点 E 以 2cm/s 的速度运动，∴t＝ 7 4 s 或 9 4 s（二者均在 0≤t＜3 内）。 综上所述，当 t 的值为 1、 或 s 时，△BEF 是直角三角形。故选 D。 练习题： 1. （2012 四川广安 3 分）已知关于 x 的一元二次方程（a﹣l）x2﹣2x+l=0 有两个不相等的实数根，则 a 的 取值范围是【 】 A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2 且 a≠l D．a＜﹣2 2. （2012 湖南长沙 3 分）小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故 障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程 s（m）关于时间 t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是【 】 A． B． C． D． 3. （2012 福建三明 4 分）在一个不透明的盒子里有 3 个分别标有数字 5，6，7 的小球，它们除数字外其 他均相同．充分摇匀后，先摸出 1 个球不放回，再摸出 1 个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率 为【 】 A． 2 3 B． 5 9 C． 4 9 D． 1 3 4. （2012 湖南长沙 3 分）现有 3cm，4cm，7cm，9c m 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那 么可以组成的三角形的个数是【 】 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5. （2012 宁夏区 3 分）一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，那么这个三角形的周长是【 】 A．13 B．17 C．22 D．17 或 22 6. （2012 四川广安 3 分）已知等腰△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD= 1 2 BC，则△ABC 底角的度数为 【 】 A．45° B．75° C．45°或 75° D．60° 7. （2012 山东东营 3 分） 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上， OC 在 y 轴上，如果矩形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA′B′C′的面积等于矩形 OABC 面 46 积的 1 4 ，那么点 B′的坐标是【 】 A．（－2，3） B．（ 2，－3） C．（ 3，－2）或（－2，3） D．（－2，3）或（2，－3） 8. （2012 江苏无锡 3 分）已知⊙O 的半径为 2，直线 l 上有一点 P 满足 PO=2，则直线 l 与⊙O 的位置关 系是【 】 A． 相切 B． 相离 C． 相离或相切 D． 相切或相交 9. （2012 广西柳州 3 分）定圆 O 的半径是 4cm，动圆 P 的半径是 2cm，动圆在直线 l 上移动，当两圆相 切时，OP 的值是【 】 A．2cm 或 6cm B．2cm C．4cm D．6cm 10. （2012 四川广元 3 分） 一组数据 2，3，6，8，x 的众数是 x，其中 x 又是不等式组 2 4 0x 70x    的整数 解，则这组数据的中位数可能是【 】 A. 3 B. 4 C. 6 D. 3 或 6 十、探索规律法：分类归纳法的解题方法是直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、 归纳和判断，从而选出正确的结果。当遇到寻找规律的命题时，常用此法。对于寻找规律的命题，笔者将 另文详细解析。 典型例题： 例 1：（2012 江苏扬州 3 分）大于 1 的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…若 m3 分裂后，其中有一个奇数是 2013，则 m 的值是【 】 A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C。 【考点】分类归纳（数字的变化类）。 47 【分析】分析规律，然后找出 2013 所在的奇数的范围，即可得解： ∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19， … ∴m3 分裂后的第一个数是 m(m－1)＋1，共有 m 个奇数。 ∵45×(45－1)＋1＝1981，46×(46－1)＋1＝2071， ∴第 2013 个奇数是底数为 45 的数的立方分裂后的一个奇数， ∴m＝45。故选 C。 例 2：（2012 四川自贡 3 分）一质点 P 从距原点 1 个单位的 M 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OM的 中点 M3 处，第二次从 M3 跳到 OM3 的中点 M2 处，第三次从点 M2 跳到 OM2 的中点 M1 处，如此不断跳 动下去，则第 n 次跳动后，该质点到原点 O 的距离为【 】 A． n1 2 B． n1 1 2  C． n11()2  D． n 1 2 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类），数轴。 【分析】∵OM=1，∴第一次跳动到 OM 的中点 M3 处时，OM3= 1 2 OM= 。 同理第二次从 M3 点跳动到 M2 处，即在离原点的（ ）2 处， 同理跳动 n 次后，即跳到了离原点的 n 1 2 处。故选 D。 例 3：（2012 山东潍坊 3 分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3 个位置相邻的 9 个数(如 6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为 192，则这 9 个 数的和为【 】． A．32 B．126 C．135 D．144 48 【答案】D。 【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。 【分析】由日历表可知，圈出的 9 个数中，最大数与最小数的差总为 16，又已知最大数与最小数的积为 192，所以设最大数为 x，则最小数为 x－16。 ∴x（x－16）=192，解得 x=24 或 x=－8（负数舍去）。 ∴最大数为 24，最小数为 8。 ∴圈出的 9 个数为 8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为 144。故选 D。 例 4：（2012 重庆市 4 分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有 2 个五角星，第②个图形一共有 8 个五角星，第③个图形一共有 18 个五角星，…，则第⑥个图形中五角星 的个数为【 】 A．50 B．64 C．68 D．72 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的， 第①个图形一共有 2＝2×1 个五角星， 第②个图形一共有 8＝2×（1+3）＝2×22 个五角星， 第③个图形一共有 18＝2×（1+3+5）＝2×32 个五角星， …， 则第⑥个图形中五角星的个数为 2×62=72。故选 D。 例 5：（2012 浙江绍兴 4 分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有 3 棵树，相 邻的树与树，树与灯间的距离是 10cm，如图，第一棵树左边 5cm 处有一个路牌，则从此路牌起向右 510m～ 550m 之间树与灯的排列顺序是【 】 49 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。 【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为 10 米， 第二个灯的里程数为 50， 第三个灯的里程数为 90 米 … 第 n 个灯的里程数为 10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米， 由510 40n 30 550﹣ ，解得 1113 n 1422 ，∴n=14。 当 n=14 时，40n﹣30=530 米处是灯， 则 510 米、520 米、540 米处均是树。 ∴从此路牌起向右 510m～550m 之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。 故选 B。 例 6：（2012 浙江绍兴 4 分）如图，直角三角形纸片 ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边 BC 中点，第 1 次 将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与 AD 交与点 P1；设 P1D 的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点 D1 重合，折痕与 AD 交于点 P2；设 P2D1 的中点为 D2，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2 重合， 折痕与 AD 交于点 P3；…；设 Pn﹣1Dn﹣2 的中点为 Dn﹣1，第 n 次将纸片折叠，使点 A 与点 Dn﹣1 重合，折 痕与 AD 交于点 Pn（n＞2），则 AP6 的长为【 】 A． 5 12 53 2  B． 6 9 3 52 C． 6 14 53 2  D． 7 11 3 52 【答案】A。 【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。 50 【分析】由题意得，AD= 1 2 BC= 5 2 ，AD1=AD﹣DD1=15 8 ，AD2= 2 5 53 2  ，AD3= 3 7 53 2  ，…∴ADn= 21 53 2 n n  。 故 AP1= 5 4 ，AP2=15 16 ，AP3= 2 6 53 2  …APn= 1 2 53 2 n n  。 ∴当 n=14 时，AP6= 5 12 53 2  。故选 A。 例 7：（2012 江苏镇江 3 分）边长为 a 的等边三角形，记为第 1 个等边三角形。取其各边的三等分点，顺 次连接得到一个正六边形，记为第 1 个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一 个等边三角形，记为第 2 个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第 2 个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。则第 6 个正六边形的边长是【 】 A. 511a32  B. 511a23  C. 611a32  D. 611a23  【答案】A。 【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。 【分析】如图，双向延长 EF 分别交 AB、AC 于点 G、H。 根据三角形中位线定理，得 GE=FH= 1 1 1a= a2 3 6 ，GB=CH= 1 a6 。 ∴AG=AH= 5 a6 。 又∵△ABC 中，∠A=600，∴△AGH 是等边三角形。 ∴GH=AG=AH= 。EF= GH－GE－FH= 5 1 1 1a a a= a6 6 6 2 。 ∴第 2 个等边三角形的边长为 1 a2 。 同理，第 3 个等边三角形的边长为 21 a2   ，第 4 个等边三角形的边长为 31 a2   ，第 5 个等边三角 51 形的边长为 41 a2   ，第 6 个等边三角形的边长为 51 a2   。 又∵相应正六边形的边长是等边三角形的边长的 1 3 ， ∴第 6 个正六边形的边长是 511a32  。故选 A。 例 8：（2012 湖北荆门 3 分） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形 各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图 ③；如此反复操作下去，则第 2012 个图形中直角三角形的个数有【 】 A． 8048 个 B． 4024 个 C． 2012 个 D． 1066 个 【答案】B。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律： 第 1 个图形，有 4 个直角三角形，第 2 个图形，有 4 个直角三角形， 第 3 个图形，有 8 个直角三角形，第 4 个图形，有 8 个直角三角形， …， 依次类推，当 n 为奇数时，三角形的个数是 2（n+1），当 n 为偶数时，三角形的个数是 2n 个， 所以，第 2012 个图形中直角三角形的个数是 2×2012=4024。故选 B。 例 9：（2012 湖南常德 3 分）若图 1 中的线段长为 1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形， 然后去掉这一段，得到图 2，再将图 2 中的每一段作类似变形，得到图 3，按上述方法继续下去得到图 4， 则图 4 中的折线的总长度为【 】 A. 2 B. 27 16 C. 9 16 D. 27 64 52 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质。 【分析】寻找规律，从两方面考虑： （1）每个图形中每一条短线段的长：图 2 中每一条短线段的长为 1 3 ，图 3 中每一条短线段的长为 1 9 ，图 4 中每一条短线段的长为 1 27 。 （2）每个图形中短线段的根数：图 2 中有 4 根，图 3 中有 16 根，图 4 中有 64 根。 ∴图 4 中的折线的总长度为 1 6464=27 27 。故选 D。 例 10：（2012 贵州铜仁 4 分）如图，第①个图形中一共有 1 个平行四边形，第②个图形中一共有 5 个平行 四边形，第③个图形中一共有 11 个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】 A．54 B．110 C．19 D．109 【答案】D。 【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律： 第①个图形中有 1 个平行四边形； 第②个图形中有 1+4=5 个平行四边形； 第③个图形中有 1+4+6=11 个平行四边形； 第④个图形中有 1+4+6+8=19 个平行四边形； … 第 n 个图形中有 1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形； 则第⑩个图形中有 1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109 个平行四边形。故选 D。 练习题： 1. （2012 江苏盐城 3 分）已知整数 1 2 3 4, , , ,a a a a 满足下列条件： 1 0a  , 21| 1|aa   , 32| 2|aa   , 43| 3|aa   ,…,依次类推，则 2012a 的值为【 】 A． 1005 B． 1006 C． 1007 D． 2012 53 2. （2012 山东滨州 3 分）求 1+2+22+23+…+22012 的值，可令 S=1+2+22+23+…+22012，则 2S=2+22+23+24+…+22013，因此 2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+…+52012 的值为【 】 A．52012﹣1 B．52013﹣1 C． 201351 4  D． 201251 4  3. （2012 广西南宁 3 分）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划 安排 10 场比赛，则参加比赛的球队应有【 】 A．7 队 B．6 队 C．5 队 D．4 队 4. （2012 广东深圳 3 分）如图，已知：∠MON=30o，点 A1、A2、A3 在射线 ON 上，点 B1、B2、B3…．．在 射线 OM 上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若 OA1=l，则 △A6B6A7 的边长为【 】 A．6 B．12 C．32 D．64 5. （2012 浙江丽水、金华 3 分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1 中棋子围城三角形，其棵数 3， 6，9，12，…称为三角形数．类似地，图 2 中的 4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数 又是正方形数的是【 】 A．2010 B．2012 C．2014 D．2016 6. （2012 江苏南通 3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC 在直线 l 上．将 △ABC 绕点 A 顺时针旋转到位置①，可得到点 P1，此时 AP1＝2；将位置①的三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置②， 可得到点 P2，此时 AP2＝2＋ 3；将位置②的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置③，可得到点 P3，此时 AP3 ＝3＋ 3；…，按此规律继续旋转，直到得到点 P2012 为止，则 AP2012＝【 】 A．2011＋671 3 B．2012＋671 3 C．2013＋671 3 D．2014＋671 3 7. （2012 福建莆田 4 分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)． 把一条长为 2012 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点 A 处，并按 A—B—C 54 －D—A 一…的规律紧绕在四边形 ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】 A．(1，－1) B．(－1，1) C．(－1，－2) D．(1，－2) 8. （2012 湖北鄂州 3 分）在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，第 2012 个正方形的面积为【 】 A. 2010)2 3(5 B. 2010)4 9(5 C. 2012)4 9(5 D. 4022)2 3(5 9. （2012 湖南永州 3 分）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第 0 号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其 各步依次移动 1，2，3，…，n 个角，如第一步从 0 号角移动到第 1 号角，第二步从第 1 号角移动到第 3 号角，第三步从第 3 号角移动到第 6 号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的 角的个数是【 】 A．0 B．1 C．2 D．3 10. （2012 山东烟台 3 分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分 的小菱形的个数可能是【 】 55 A．3 B．4 C．5 D．6 综上所述，在解中考数学选择题时，由因导果法是最基本和使用率最高的一种方法。当题目具备一定 的条件和特征时，可考虑采用其他方法。有时解一个选择题需要几种方法配合使用。要充分利用题干和选 项两方面所提供的信息，全面审题。不但要审清题干给出的条件，还要考察四个选项所提供的信息（它们 之间的异同点及关系、选项与题干的关系等），通过审题对可能存在的各种解法（直接的、间接的）进行 比较，包括其思维的难易程度、运算量大小等，确定解题的切入点。