小学数学精讲教案1_3_6 公式运用 教师版 11页

公式法计算 知识点拨 一、常用公式 1. ‎；‎ 2. ‎；‎ 3. ‎；‎ 4. ‎；‎ 5. 等比数列求和公式：()；‎ 6. 平方差公式：；‎ 7. 完全平方公式：，；‎ 用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的倍，两条公式也可以合写在一起：．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，倍乘积在中央”．‎ 二、常用技巧 1. ‎；‎ 2. ‎；‎ 3. ‎，，，‎ ‎ ，，；‎ 4. ‎，其中．‎ 例题精讲 一、前项和 【例 1】 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算：‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 计算：‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 计算：___________．‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 与公式相比，缺少偶数项，所以可以先补上偶数项．‎ 原式 ‎【答案】‎ 【例 3】 计算：‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算： 。‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】西城实验 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ 其中也可以直接根据公式得出 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算：‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分拆 ()，()再用公式 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 对自然数和，规定，例如，那么：‎ ‎⑴ ______________；‎ ‎⑵ ______________．‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ‎⑴ 原式 ‎⑵ 原式 ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 看规律 ，，……，试求 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 ‎【关键词】人大附中 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 计算： ‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 法一：利用等比数列求和公式。‎ 原式 法二：错位相减法．‎ 设 则，，整理可得．‎ 法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项 的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．‎ 由题设，，则运用“借来还去”的方法可得到，‎ ‎ 整理得到．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 计算的值。（已知，，，，，，，）‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 注意到式子的特点是从第一个加数开始，每一个加数比前一个加数的指数减少，的指数增加.所以每一个加数是前一个加数的倍，如果将题中加数按原来的顺序排列起来就是一个公比为的等比数列，于是按照错位减法进行运算即可。 记,‎ ‎ ‎ ‎ ，那么，即原式的值为.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎ ．‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【解析】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【解析】 ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算：‎ ‎【考点】公式法之求和公式 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设算式的值为，那么，‎ ‎　　　　，‎ ‎　　　　即，‎ 故，则，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎【答案】‎ 二、平方差与完全平方公式 【例 2】 ‎⑴________；‎ ‎ ⑵________．‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营 【解析】 ‎⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设，‎ 原式 ‎⑵ 原式 ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 ‎ ‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 方法一：原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 方法二：原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎ ‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算：＝ 。‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，6年级，决赛 【解析】 题目分析：答案为100000。记原式为X，则 ‎10X=314×314+628×686+686×686‎ ‎=3142+2×314×686+6862‎ ‎=(314+686)2=1000000，所以，X=100000。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 有一串数，，，，，……它们是按一定规律排列的，那么其中第个数与第个数相差多少？‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 这串数中第个数是，而第个数是，它们相差 ‎【答案】‎ 【巩固】 代表任意数字，若，这个公式在数学上称为平方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧． ‎ ‎⑴ 　 ⑵　　　⑶ 　 ⑷‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 这个公式可以给我们的计算带来很多便利,在以后的奥数学习中会经常遇到,同学们最好记住哦.我们就依据公式来进行下面的计算:‎ ‎⑴‎ ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎⑷‎ ‎【答案】⑴ ⑵ ⑶ ⑷‎ 【例 1】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，中年级组，决赛 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．‎ ‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 ‎ 进行计算．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎ ．‎ ‎【考点】公式法之平方差公式与完全平方公式 【难度】2星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，初赛 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 三、公式综合运用 【例 3】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】仁华学校 【解析】 观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为1，3，5，……，99，乘数依次为4，7，10，……，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可以表示为，乘数可以表示为，所以通项公式为．所以，‎ 原式 另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以先将这个差变为相等再进行计算．‎ 原式 而和都是我们非常熟悉的．‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以原式 小结：从上面的计算过程中可以看出，，而，‎ 所以有 ‎【答案】‎ 【例 1】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以原式 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算：‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 ‎【关键词】北京二中，入学测试 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算 ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这个题目重新整理得：‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 计算：．‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 做这道题的时候，可能有些以前记住了20以内平方数的同学就高兴了，但是其实并不需要，大家看，利用平方差公式：，，，．‎ 于是，原式 ‎【答案】‎ 【例 1】 ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式．‎ ‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯，4年级 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 计算：‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【巩固】 计算： ．‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 原式 ‎【答案】‎ 【例 2】 计算：‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 计算：‎ ‎【考点】公式法之综合运用 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式 ‎【答案】‎