北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习（二模）试题文 13页

北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习（二模）试题文本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值分别为（A）（B）（C）（D）（4）若满足，则点到点距离的最小值为（A）（B）（C）（D）（5）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为n（A）（B）（C）（D）（6）已知为正整数，且，则在数列中，“”是“是等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB.射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是（A）（B）（C）（D）（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的，和满足一个线性关系，即（其中是正数），则以下说法正确的是（A）随着车流密度增大，车流速度增大n（B）随着车流密度增大，交通流量增大（C）随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大（D）随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（ 9 ）双曲线的渐近线方程为.（10）复数的实部为；虚部为.（11）在中，，，，则；____________.（12）已知，，，则满足的一个正整数为.（13）如图，矩形中，，，为的中点.当点在边上时，的值为；当点沿着，与边运动时，的最小值为.（14）已知直线过点，过点作直线，垂足为，则点到点距离的取值范围为.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）设数列满足：，．（Ⅰ）求的通项公式及前项和；（Ⅱ）若等差数列满足，，问：与的第几项相等？n[Z,X,X,K]（16）（本小题13分）已知函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的最大值.（17）（本小题13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修.现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.[日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日甲维修的元件数3[546463784乙维修的元件数4745545547（I）从这天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（II）试比较这10天中甲维修的元件数的方差与乙维修的元件数的方差的大小.（只需写出结论）；（III）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人.n（18）（本小题14分）如图所示的五面体中，平面平面,,,∥，,，．（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）求证：∥平面；（Ⅲ）设点为线段上的动点，求证：与不垂直．（19）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：.（20）（本小题14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.为椭圆的左顶点，为椭圆上异于的两个动点，直线与直线分别交于两点.（I）求椭圆的方程；（II）若与的面积之比为，求的坐标；n（III）设直线与轴交于点，若三点共线，求证：.n北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学（文科）参考答案及评分标准2019.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）D（4）C（5）C（6）B（7）C（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）；（11）；（12）0（答案不唯一）（13）；（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解:（Ⅰ）依题意，数列满足：，，所以是首项为1，公比为的等比数列.则的通项公式为，前项和.……………………….7分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，，，因为为等差数列，.所以的通项公式为.所以.令，解得.所以与数列的第项相等.…………………..13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，.因为，所以.n所以.解得.又因为函数的图象经过点，所以.解得.又因为，所以.所以.………………………………………………………….7分（Ⅱ）因为，所以，当时，即时，单调递增，所以，符合题意；当时，即时，单调递减，所以，符合题意；当时，即时，单调递减，所以，不符合题意；综上，若对于任意的，有恒成立，则必有，所以的最大值是.………………………………………..13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设表示事件“从这天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，．…………………………………………………….4分（Ⅱ）.……………………………………………………………………………………….8分（Ⅲ）设增加工人后有名工人.n因为每天维修的元件的平均数为所以这名工人每天维修的元件的平均数为.令.解得.所以的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人……….13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）取中点，连接．在△中，，所以.因为平面平面，平面平面，平面,所以平面．又因为，，所以.因为∥，，，，所以.所以.…………….5分（Ⅱ）因为∥，平面，平面，所以∥平面．又因为平面，平面平面，所以∥．因为平面，平面，所以∥平面．…………….10分（Ⅲ）连接，假设.由（Ⅰ）知平面，因为平面,所以．n因为,且，所以平面．因为平面，所以．在△中，，所以.所以．这与矛盾．所以假设不成立，即与不垂直．…………….14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）定义域为，...所以曲线在处的切线方程为.即.…………….5分（Ⅱ）记..由解得．与在区间上的情况如下：[]↘极小↗所以在时取得最小值．所以.所以.n所以在上单调递增.又由知，当时，，，所以；当时，，，所以.所以.………………………………13分（20）（共14分）解：（I）由题意得解得因为，所以.所以椭圆的方程为.………………………………4分（II）因为与的面积之比为，所以.所以.设，则，解得.将其代入，解得.所以的坐标为或.………………………………8分（III）设，n若，则为椭圆的右顶点，由三点共线知，为椭圆的左顶点，不符合题意.所以.同理.直线的方程为.由消去，整理得.成立.由，解得.所以.所以.当时，，，即直线轴.由椭圆的对称性可得.又因为，所以.当时，，直线的斜率.同理.因为三点共线，n所以.所以.在和中，，，所以.因为均为锐角，所以.综上，若三点共线，则.………………………………14分