2020版高中数学第三章导数及其应用章末复习学案新人教b版 10页

第三章导数及其应用章末复习学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握基本初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．1．在x＝x0处的导数(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝C(C为常数)y′＝0y＝xny′＝nxn－1(n为自然数)y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlnay＝exy′＝exy＝logax(a>0且a≠1，x>0)y′＝y＝lnxy′＝3.导数的运算法则和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数′＝(g(x)≠0)n4.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内单调递增；f′(x)<0，则f(x)在此区间内单调递减．(2)函数的极值与导数已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点．(2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．题型一　导数几何意义的应用例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．考点　切线方程求解及应用题点　求曲线的切线方程解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，∴f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1.∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.n反思感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1　已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)A.B．－C．－eD．e考点　切线方程求解及应用题点　根据切点或切线斜率求值答案　D解析　∵y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则∴x0＝1，∴k＝e.题型二　函数的单调性与导数例2　已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．解　(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点．(2)因为f′(x)＝x－＝，x∈(0，＋∞)，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；单调递减区间为(0，)．综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．反思感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．n(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在R上是增函数，所以f′(x)≥0在R上恒成立．即3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．所以a的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意．所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．题型三　函数的极值、最值与导数例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．(1)求f(x)的表达式；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f′(1)＝3＋2a＋b，故过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，已知该切线方程为y＝3x＋1，所以即因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，即－4a＋b＝－12，n解方程组得所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为[－3，－2)和，单调递减区间为.又f(－2)＝13，f＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.反思感悟　(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．跟踪训练3　已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5，无极大值．n题型四　生活中的优化问题例4　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．考点　题点　解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又由题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得00，故V(r)在(0,5)上为增函数．当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．反思感悟　利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．n(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．跟踪训练4　一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每销售1万件该产品的收入为4－x万元，且每生产1万件国家给予补助万元(e为自然对数的底数)．(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；(2)当月生产量在[1,2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大值(万元)及此时的月生产量(万件)．(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本)考点　题点　解　(1)∵月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本，∴f(x)＝x－1＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2(x>0)．(2)f′(x)＝－2x＋2(e＋1)－＝－(x>0)，当x∈[1,2e]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x[1，e)e(e,2e]f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘由上表得f(x)＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2在[1,2e]上的最大值为f(e)，且f(e)＝e2－2.即月生产量在[1,2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e2－2(万元)，此时的月生产量为e万件．导数中不等式证明问题典例　已知函数f(x)＝x－ax2－lnx(a>0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.考点　n题点　(1)解　∵f′(x)＝－(x>0，a>0)，不妨设φ(x)＝2ax2－x＋1(x>0，a>0)，(*)则关于x的方程2ax2－x＋1＝0的判别式Δ＝1－8a.①当a≥时，Δ≤0，φ(x)≥0，故f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当00，方程f′(x)＝0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x10，∴f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．(2)证明　由(1)知当且仅当a∈时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程(*)的两个正根，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴f(x1)＋f(x2)＝(x1＋x2)－a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(lnx1＋lnx2)＝ln(2a)＋＋1＝lna＋＋ln2＋1，令g(a)＝lna＋＋ln2＋1，当a∈时，g′(a)＝<0，∴g(a)在内单调递减，故g(a)>g＝3－2ln2，∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.[素养评析]　(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决．(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推n理素养的充分体现．1．已知曲线y＝f(x)＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　)A．(－1,3)B．(－1，－3)C．(－2，－3)D．(－2,3)答案　B解析　令f′(x)＝2x＋2＝0，解得x＝－1.又f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3，∴M(－1，－3)．2．如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)答案　A解析　由f(x)与f′(x)的关系可知选A.3．体积为16π的圆柱，它的半径为时，圆柱的表面积最小．答案　2解析　设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴16π＝πr2l，即l＝，则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，由S′＝4πr－＝0，得r＝2.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．n4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为．答案　3解析　由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值为3.5．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．解　(1)f′(x)＝－＋.由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x>0)，则f′(x)＝－－＋＝＝.令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．