2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案 15页

3.2.1　直线的方向向量与直线的向量方程学习目标　1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一　用向量表示直线或点在直线上的位置1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a，对于直线l上的任意一点P，则有＝ta或＝＋ta或＝(1－t)＋t(＝a)，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a称为该直线的方向向量．2．线段AB的中点M的向量表达式＝(＋)．知识点二　用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2.2．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.3．已知两个不共线向量v1，v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β.知识点三　用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v1和v2分别是l1和l2的方向向量，则l1⊥l2⇔v1⊥v2，cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cos〈v1，v2〉＝.但要注意，两直线的夹角与〈v1，v2〉并不完全相同，当〈v1，v2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．n1．直线l的方向向量是唯一的．(　×　)2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　√　)3．若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　×　)4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(　×　)题型一　空间中点的位置确定例1　已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1.求点P和点Q的坐标．解　(1)由已知，得＝2，即－＝2(－)，＝＋.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，即x＝＋＝，y＝＋＝，z＝0＋1＝1.因此，P点的坐标是.(2)因为AQ∶QB＝2∶1，所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2，n设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6.因此，Q点的坐标是(0,2,6)．反思感悟　确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1　已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且＝，∴＝，即(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)，∴x＝，y＝－1，z＝.题型二　向量方法处理平行问题例2　如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′，点M，N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点．求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝AD′.证明　设＝a，＝b，＝c，则＝(a＋c)，＝c＋(a＋b)，n所以＝－＝(b＋c)．因为MN不在平面AD′内，所以MN∥平面AD′.又因为b＋c＝，所以＝，所以MN∥AD′，MN＝AD′.反思感悟　(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2　在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2.点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS.证明　方法一　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝c－a＋b，＝＋＋＝b－a＋c，∴＝，∴∥，又∵R∉MN，∴MN∥RS.方法二　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S.n∴＝，＝，＝，∴∥，∵M∉RS，∴MN∥RS.题型三　两直线所成的角的求解例3　已知三棱锥O—ABC(如图)，OA＝4，OB＝5，OC＝3，∠AOB＝∠BOC＝60°，∠COA＝90°，M，N分别是棱OA，BC的中点．求直线MN与AC所成角的余弦值．解　设＝a，＝b，＝c，直线MN与AC所成的角为θ，则＝－＝(b＋c)－a＝(b＋c－a)，＝c－a，所以||2＝(b＋c－a)2＝(|a|2＋|b|2＋|c|2＋2b·c－2a·b－2a·c)＝(42＋52＋32＋15－20－0)＝，||2＝(c－a)2＝|a|2＋|c|2－2a·c＝42＋32－02＝25，·＝(b＋c－a)·(c－a)＝(b·c＋|c|2－a·b－2a·c＋|a|2)＝＝.cosθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.所以直线MN与AC所成角的余弦值为.反思感悟　n向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0.跟踪训练3　长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是平面A1B1C1D1与平面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值．解　如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，∴E(1,2,2)，F(1,4,1)，＝(－1,4,1)，＝(－1，－2,2)，∴||＝＝3，||＝＝3，·＝1－8＋2＝－5，∴cos〈，〉＝＝－.∵异面直线所成角的范围是，设AF与BE所成角为θ，则cosθ＝|cos〈，〉|＝.即异面直线AF与BE所成角的余弦值为.1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则(　　)A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直D．不能确定答案　B解析　∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2．设l1的方向向量a＝(1,3，－2)，l2的方向向量b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则mn等于(　　)A．1B.C.D．3答案　B解析　因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，所以2m＝9－4＝5，即m＝.3．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)答案　A解析　∵＝(2,4,6)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选A.4．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)，b＝(4,2－2m,2－2m)，若a∥b，则实数m的值为(　　)A．1B．3C．1或3D．以上答案都不正确答案　C解析　因为b＝(4,2－2m,2－2m)≠0，所以“a∥b的充要条件是a＝λb”，得显然m＝1符合题意，当m≠1时，由m－1＝λ(2－2m)，得λ＝－，代入4－2m＝4λ，得m＝3.5．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝______，y＝______.答案　－14　6解析　∵l1∥l2，∴＝＝(x≠0，y≠0)，∴x＝－14，y＝6.1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．n3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．一、选择题1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝答案　D解析　由l1∥l2得，＝＝(xD＝/0，yD＝/0)，解得x＝6，y＝.2．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　)A．－B.C．－D.答案　B解析　设l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)A．60°B．90°C．105°D．75°答案　B解析　建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，设BB1＝1，则A(0,0,1)，B1，C1(0，，0)，B.∴＝，n＝，∴·＝－－1＝0，即AB1与C1B所成角的大小为90°.4．已知A(3,0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2,4，－2)，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．以上都不对答案　C解析　∵＝(－3，－2，－5)，＝(2,6,4)，＝(－1,4，－1)．∴·＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形．又||≠||，故选C.5．已知点A(3,3，－5)，B(2，－3,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　设C点坐标为(x，y，z)，则＝(x－3，y－3，z＋5)，＝(－1，－6,6)．由＝，得解得x＝，y＝－1，z＝－1.即C点坐标为.6．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为(　　)A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)n答案　B解析　设B(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)A．ACB．BDC．A1DD．A1A答案　B解析　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，∴＝，＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.8.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；n③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上结论中正确的是(　　)A．①③④B．①②③④C．①③D．③④答案　A解析　∵＝－＝－＝，∴A1M∥D1P.∵D1P⊂平面D1PQB1，A1M⊄平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.又D1P⊂平面DCC1D1，A1M⊄平面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．二、填空题9．设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1，4)确定的平面上，则a＝________.答案　16解析　＝(－1，－3,2)，＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设＝x＋y(x，y∈R)，则(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)，∴　解得x＝－7，y＝4，a＝16.10．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为____________．答案　解析　设M(x，y，z)，则由已知，得＝λ＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)．又＝(x，y，z－1)，∴x＝－λ，y＝λ，z＝1.又·＝0，＝(－λ－1，λ－2,4)，n∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0，∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝.∴M点坐标为.11．已知两点A(1，－2,3)，B(2,1，－1)，则AB连线与xOz平面的交点坐标是____________．答案　解析　设交点坐标为P(x,0，z)，则由A，P，B三点共线可设＝λ，得(x－1,2，z－3)＝λ(1,3，－4)，即　解得故AB连线与xOz平面的交点坐标是.三、解答题12.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明：EF∥平面SAD.证明　如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F.所以＝.n取SD的中点G，连接AG，则＝.因为＝，所以EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD.13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．解　以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t－2)＋0＝×·cos60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．14．已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．答案　解析　因为＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，＝(－x,1，－z)，由·＝0，·＝0，得n得x＝，z＝－，所以P.15.如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.解　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则O，P，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，则Q(0,1，z)，则＝，＝(－1，－1,1)，∴∥，∴OP∥BD1.＝，＝(－1,0，z)，当z＝时，＝，即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，则有平面PAO∥平面D1BQ，∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.n