2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算学案新人教b版 16页

3.1.4　空间向量的直角坐标运算学习目标　1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．知识点一　空间向量的坐标表示1．空间直角坐标系及空间向量的坐标建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k}，这个基底叫做单位正交基底．单位向量i，j，k都叫做坐标向量．2．空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标．上式可简记作a＝(a1，a2，a3)．知识点二　空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3知识点三　空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|＝|a|＝夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝n1．若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标是(x，y，z)．(　×　)2．若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)．(　×　)3．若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．(　√　)4．设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.(　×　)5．四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(　√　)题型一　空间向量的坐标表示与运算命题角度1　空间向量的坐标表示例1　如图，在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标．(1)，，；(2)，，.解　(1)＝＋＝＋＝＋＝，＝＋＝＋＝，＝＋＋＝＋＋＝.n(2)＝－＝－＝＋＝，＝－＝－＝－－＝，＝－＝＋－＝－＝.引申探究本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标．解　＝＋＝－＋＝，＝＋＝＋＝－＋＝，＝＋＝.反思感悟　用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练1　设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．解　如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上．n∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)．在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)．又|SP1|＝2，|OP1|＝，∴在Rt△SOP1中，|SO|＝，∴S(0,0，)．∴＝－＝(1,1，－)，＝－＝(0，－2,0)．命题角度2　空间向量的坐标运算例2　已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)答案　A解析　依题意，得b＝a－(－1,2，－1)＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．反思感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．跟踪训练2　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.答案　2解析　由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示例3　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.(1)若|c|＝3，c∥，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.n解　(1)因为＝(－2，－1,2)，且c∥，所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－.引申探究若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值．解　由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)，∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝，故所求k的值为－2或.反思感悟　(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程．②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．跟踪训练3　正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，zn轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQ⊥AE，所以·＝0，所以·＝0，即－－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为.因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，所以＝－1，故λ＝－4.题型三　空间向量的夹角与长度的计算例4　棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长．解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，nF，G.所以＝，＝，＝，＝.(1)证明　因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.(2)解　因为·＝×1＋×0＋×＝，||＝＝，||＝＝，所以cos〈，〉＝＝＝.(3)解　|CE|＝||＝＝.反思感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．跟踪训练4　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．解　(1)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，n∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2.在Rt△POB中，∠PBO＝60°，∴PO＝OB·tan60°＝.∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.(2)如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，A(0，－，0)，P(0,0，)．∴E，∴＝，＝.∴·＝0＋0＋×(－)＝－，||＝，||＝.∴cos〈，〉＝＝＝－.∵异面直线所成的角为锐角或直角，∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为.空间向量在平行与垂直中的应用典例　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；n(2)AM⊥平面BDF.考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量在立体几何中的应用证明　(1)∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC，所以EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC，如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)．∴＝.又点A，M的坐标分别是，，∴＝.∴＝.又NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝.∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴⊥.同理，⊥.又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.n[素养评析]　解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题．通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　)A．(16,0,4)B．(8，－16,4)C．(8,16,4)D．(8,0,4)答案　D解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为(　　)A．0B.C.D．π答案　C解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0，〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝.3．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(　　)A．4B．15C．3D．7答案　C解析　∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)A．1B.C.D.答案　D解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．答案　解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，∴||＝3，||＝，n·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝，又∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.1．在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．2．两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝＝.3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则(　　)A.＝(－1,2,1)B.＝(1,3,4)C.＝(2,1,3)D.＝(－2，－1，－3)答案　C解析　＝－＝(2,1,3)．2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　AB的中点M，又C(0,1,0)，n所以＝，故M到C的距离为|CM|＝||＝＝.3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)A．0B．6C．－6D．±6答案　B解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)A．3B．2C.D．5答案　A解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3.5．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案　A解析　＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)．由·>0，得A为锐角；由·>0，得C为锐角；由·>0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b为共线向量，则(　　)A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝答案　C解析　∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，∴＝＝(y≠0)，∴x＝，y＝－.n7．设＝(cosα＋sinα，0，－sinα)，＝(0，cosα，0)，则||的最大值为(　　)A．3B.C．2D．3答案　B解析　∵＝＋＝(cosα＋sinα，cosα，－sinα)，∴||2＝(cosα＋sinα)2＋cos2α＋(－sinα)2＝2＋sin2α≤3，∴||的最大值为.8．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　)A.B.C．4D．8答案　B解析　∵|a|＝＝3，|b|＝＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴sin〈a，b〉＝，∴S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝.二、填空题9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.答案　0解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由题意得∥，所以＝＝，所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.10．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________．答案　解析　＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，n·＝－7，||＝，||＝，∴cosθ＝＝－，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.11．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________．答案　(－1,1,2)解析　设点D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)，因为DB∥AC，DC∥AB，所以∥，∥，则解得所以D(－1,1,2)．三、解答题12．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.(1)求向量a，b，c；(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值．考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算解　(1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又由b⊥c得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得，a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为cosθ＝＝＝－.13．已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值．解　∵s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，n∴cos〈s1，s2〉＝＝＝－＜0，∴〈s1，s2〉＞，∴直线l1与直线l2的夹角为π－〈s1，s2〉，∴直线l1与直线l2夹角的余弦值为.14．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　)A.B.C.D.考点　空间向量运算的坐标表示题点　空间向量的坐标运算答案　C解析　方法一　设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2.当λ＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为.方法二　设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ≠0，因为λ∶λ∶2λ＝1∶1∶2，观察选项只有C符合．15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.n解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，设M(1,1，m)．连接AC，则＝(－1,1,0)．而E，F分别为AB，BC的中点，所以＝＝.又因为＝，＝(1,1，m－1)，而D1M⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，即·＝0，且·＝0.所以解得m＝，即M为B1B的中点．