2020版高中数学阶段训练四新人教b版 7页

阶段训练四(范围：§3.1～§3.2)一、选择题1．某物体的运动方程为s＝3＋t2，则在t∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为(　　)A．4.11B．4.01C．4.0D．4.1考点　题点　答案　D解析　根据题意可得平均速度＝＝＝4.1.2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2考点　题点　答案　C解析　＝＝＝＝2Δx＋4.3．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于(　　)A.B．－C.D．－考点　题点　n答案　B解析　f′(x)＝＝＝－.4．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是(　　)A．1B．2C．4D．8考点　题点　答案　C解析　∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)．令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.5．点P0(x0，y0)是曲线y＝3lnx＋x＋k(k∈R)上一个定点，且曲线在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为(　　)A．2B．－2C．－1D．－4考点　切线方程的求解及应用题点　根据切点或切线斜率求值答案　A解析　y′＝＋1，令＋1＝4，得x0＝1，代入切线方程得y0＝3，代入y＝3lnx＋x＋k，得k＝2.6．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)A.B．[－1,0]C．[0,1]D.n考点　题点　答案　A解析　设点P的横坐标为x0，∵y＝x2＋2x＋3，∴＝2x0＋2，利用导数的几何意义，得2x0＋2＝tanα(α为曲线在点P处切线的倾斜角)，又∵α∈，∴0≤2x0＋2≤1，∴x0∈.7．如图，有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　　)A.B．－C.D．－或考点　题点　答案　B解析　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象．由图(3)知f′(0)＝0，由根与系数的关系，得－(a＋1)－(a－1)>0，则a<0，又解得a＝－1.故f(x)＝x3－x2＋1，所以f(－1)＝－.8．过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为(　　)A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0B．x－y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0考点　切线方程的求解及应用n题点　求曲线的切线方程答案　A解析　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－2x0，曲线在(x0，y0)处的切线斜率为k＝3x－2.当x0＝1时，斜率为1，切线方程为x－y－2＝0；当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0.故选A.二、填空题9．已知f(x)＝tanx，则f′＝________.考点　题点　答案　4解析　∵f(x)＝tanx，∴f′(x)＝′＝＝＝，∴f′＝＝＝4.10．已知函数f(x)＝ax2＋3，若＝2，则实数a的值为________．考点　题点　答案　1解析　∵＝2，∴f′(1)＝2.∵f(x)＝ax2＋3，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.11.如图，函数g(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.n考点　题点　答案　－5解析　因为g(5)＝f(5)＋5＝3，所以f(5)＝－2.因为g′(x)＝f′(x)＋x，所以g′(5)＝f′(5)＋×5＝－1，f′(5)＝－3，所以f(5)＋f′(5)＝－5.三、解答题12．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，求在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程．考点　切线方程求解及应用题点　求曲线的切线方程解　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，又a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5，又f(1)＝－＋2＋3＝，∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．即15x－3y－2＝0.13．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．n考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.14．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为(　　)A．y＝x3－x2－xB．y＝x3＋x2－3xC．y＝x3－xD．y＝x3＋x2－2x答案　A解析　A选项中，令y＝f(x)，y′＝f′(x)＝x2－x－1，f′(0)＝－1，f′(2)＝3.曲线在(0,0)和(2,0)处分别与直线y＝－x，y＝3x－6相切，且在上单调递减，在上单调递增，符合题意．对B，C，D选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线y＝－x，y＝3x－6相切．故选A.15．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝g(x)＝x2＋a都相切，求a的值．n考点　题点　解　易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．(1)当O(0,0)是切点时，由f′(x)＝3x2－6x＋2，得f′(0)＝2，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，依题意知，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则f(x0)＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①又k＝＝x－3x0＋2，②联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，故直线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0，依题意知，Δ＝－4a＝0，得a＝.综上，a＝1或a＝.