2020版高中数学阶段训练一新人教b版选修 6页

阶段训练一(范围：§1.1～§1.3)一、选择题1．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是(　　)A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”答案　B解析　若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．故选B.2．下列命题中为真命题的是(　　)A．若x≠0，则x＋≥2B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件D．若命题p：∃x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1>0考点　命题的概念题点　判断命题的真假答案　B解析　选项A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；选项B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D中，求含有一个量词的命题的否定时，要特别注意不等号的变化，错误．3．已知p和q是两个命题，若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件nC．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　充分、必要条件的概念及判断题点　充分不必要条件的判断答案　A解析　根据逆否命题的等价性知，若綈p是綈q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.4．给出下列三个命题：①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R,2x＞0，则綈p：∃x∈R,2x≤0.其中正确的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确；②不正确．③根据含量词的命题的否定方式，可知命题③正确．5．“x＞1”是“成立”的(　　)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　由x＞1，得x＋2＞3，则，充分性成立．由，得x＋2＞1，即x＞－1，必要性不成立．故“x＞1”是“成立”的充分不必要条件．故选B.6．已知p：|x＋1|＞2，q：5x－6＞x2，则綈p是綈q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　充分、必要条件的概念及判断题点　充分不必要条件的判断答案　A7．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)B．[－2,0)C．(－2,0)D．(0,2)n考点　“p∧q”形式命题真假性的判断题点　由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围答案　C解析　由题意可知，若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以当命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．故选C.8．设a，b都是非零向量，则在下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)A．|a|＝|b|且a∥bB．a＝－bC．a∥bD．a＝2b答案　D解析　对于A，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠；对于B，当a＝－b时，≠；对于C，当a∥b时，与可能不相等；对于D，当a＝2b时，＝＝.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b，故选D.二、填空题9．已知p：x2＋2x－3＞0；q：＞1.若“(綈q)∧p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．考点　简单逻辑联结词的综合应用题点　由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案　(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析　因为“(綈q)∧p”为真，所以q假p真．而当q为真命题时，有＜0，即2＜x＜3，所以当q为假命题时，有x≥3或x≤2；当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由解得x＜－3或1＜x≤2或x≥3.10．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________．答案　(－∞，－2)n解析　因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，所以若命题“∃x＞0，f(x)＜0”为真，则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，所以Δ＝m2－4＞0，且－＞0，所以m＜－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．11．已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．考点　充分、必要条件的概念及判断题点　由充分、必要条件求取值范围答案　[4，＋∞)解析　由x2－3x－4≤0，得－1≤x≤4，若|x－3|≤m有解，则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，则－m≤x－3≤m，得3－m≤x≤3＋m，设A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．∵綈q是綈p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴p⇒q成立，但q⇒p不成立，即AB，则或即或得m≥4，故m的取值范围是[4，＋∞)．三、解答题12．判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，q：0＜a＜4；(2)p：AB，q：A∪B＝B.考点　充分、必要条件的概念及判断题点　充分、必要条件的判断解　(1)∵当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，∴当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，故q⇒p.而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，∴p⇏q，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵AB⇒A∪B＝B，∴p⇒q.n而当A∪B＝B时，A⊆B，即q⇏p，∴p是q的充分不必要条件．13．设集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3}，若“B是A的子集”是真命题，求实数n的取值范围．考点　命题的真假判断题点　由命题的真假求参数的取值范围解　①当B＝∅，即n＋1＞2n－3时，B⊆A.此时解得n＜4.②当B≠∅时，由B⊆A，得解得4≤n≤5.综上所述，实数n的取值范围是(－∞，5]．14．给出下列命题：①若△ABC的三边分别为a，b，c，则该三角形是等边三角形的充要条件为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc；②若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)是数列{an}为等差数列的必要不充分条件；③在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充要条件．其中正确的是(　　)A．①②B．①②③C．②③D．①③答案　D解析　在△ABC中，由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，得(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，则a＝b＝c；若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，故①正确；Sn＝An2＋Bn是数列{an}为等差数列的充要条件，故②错误；当A＝B时，可得出sinA＝sinB；在△ABC中，当sinA＝sinB时，可得出A＝B或A＋B＝π(舍去)．故在△ABC中，A＝B是sinA＝sinB的充要条件，③正确．15．已知c＞0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．考点　命题的真假判断题点　由命题的真假求参数的取值范围解　若命题p为真，则0＜c＜1；若命题q为真，因为2≤x＋≤，要使此式恒成立，需＜2，即c＞.因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假．n当p真q假时，c的取值范围是；当p假q真时，c的取值范围是(1，＋∞)．综上可知，c的取值范围是∪(1，＋∞)