2020版高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时速度与导数学案新人教b版 11页

3.1.2　瞬时速度与导数学习目标　1.理解从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数.3.掌握函数在某一点处的导数的定义．知识点一　瞬时变化率1．物体运动的瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当t0到t0＋Δt时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt的平均变化率趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．2．函数的瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．知识点二　函数的导数1．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝.2．导函数定义如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或yx′、y′)．3．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝.1．函数在某一点处的导数即是函数在该点处的瞬时变化率．(　√　)2．平均变化率刻画函数在区间上的变化的快慢，瞬时变化刻画的是函数在某一点处的变化情况．(　√　)3．f(x)在x＝x0处的导数就是导数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　√　)n题型一　求函数在某一点处的导数例1　求y＝x2在点x＝1处的导数．解　Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，＝＝2＋Δx，∴＝(2＋Δx)＝2，∴y′|x＝1＝2.反思感悟　求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝.跟踪训练1　(1)若＝k，则等于(　　)A．2kB．kC.kD．以上都不是答案　A解析　，＝2＝2k.(2)求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16，＝(2Δx＋16)＝16，所以y′|x＝3＝16.题型二　求物体运动的瞬时速度例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋tn＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．解　∵＝＝＝3＋Δt，∴＝(3＋Δt)＝3.∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究　1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．解　∵＝＝＝1＋Δt，∴＝(1＋Δt)＝1.∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s，∵＝＝2t0＋1＋Δt.∴＝(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．②求平均速度＝.n③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均变化率＝＝＝4a＋aΔt，∴＝4a＝8，即a＝2.题型三　导数的实际意义例3　一条水管中流出的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算2s和6s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义．解　在2s和6s时，水管流量函数的导数为f′(2)和f′(6)，当x＝2时，＝＝＝＝Δx＋11，所以f′(2)＝＝(Δx＋11)＝11，即在2s时的水流速度为11m3/s.同理可得在6s时的水流速度为19m3/s.在2s与6s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在2s时附近，水流大约以11m3/s的速度流出，在6s时附近，水流大约以19m3/s的速度流出．反思感悟　导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化，例如位移s关于时间t的导数就是运动物体的瞬时速度，气球体积V关于半径r的导数就是气球的瞬时膨胀率．跟踪训练3　服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)关于时间t(单位：min)的函数为y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，试解释它们的实际意义．解　f′(10)＝1.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/(mL·min)．nf′(100)＝－0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL·min)．1．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为(　　)A．－4.8m/sB．－0.88m/sC．0.88m/sD．4.8m/s答案　A解析　物体运动在1.2s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．2．设函数f(x)可导，则等于(　　)A．f′(1)B．3f′(1)C. f′(1)D．f′(3)答案　A解析　＝f′(1)．3．函数f(x)在x0处可导，则(　　)A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h均无关答案　B4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)A．f′(x)＝aB．f′(x)＝bC．f′(x0)＝aD．f′(x0)＝b考点　函数在某一点处的导数题点　根据定义求函数在某点处的导数答案　C解析　f′(x0)＝＝(a＋b·Δx)＝a.n5．已知函数f(x)＝在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．答案　2解析　f′(1)＝＝＝－a.由题意知，－a＝－2，∴a＝2.利用导数的定义求导数三步曲(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)作比求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝.简记为一差，二比，三极限．一、选择题1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)A．－3B．3C．6D．－6答案　D解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝(－3Δt－6)＝－6.2．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　)A．2B．－2C．3D．－3答案　C解析　∵f′(1)＝＝＝a，又∵f′(1)＝3，∴a＝3.3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于(　　)A．－2B．－1C．1D．2n答案　B解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝＝＝－1.4．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻为(　　)A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4答案　B解析　设在t0时刻速度为0，∵s′(t0)＝＝＝(－8t0＋16－4Δt)＝－8t0＋16＝0，∴t0＝2.5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于(　　)A．Δx－3B．(Δx)2－3ΔxC．－3D．0答案　C解析　f′(0)＝＝＝(Δx－3)＝－3.6．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f′(x0)等于(　　)A．1B．－1C．－D.答案　C解析　因为＝－＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－，故选C.7．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝f(x)＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点Pn的坐标为(　　)A．(1,10)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1,10)答案　B解析　＝＝＝3Δx＋6x0＋6，∴f′(x0)＝＝(3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y0＝－2.∴点P的坐标为(－1，－2)．二、填空题8．已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，则＝________.答案　8解析　＝＝[2＋]＝2＋3＝2－3＝2－3f′(3)＝8.9．对于函数y＝，其导数值等于函数值的点是________．答案　解析　设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，则f′(x0)＝＝＝－.n由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－＝，解得x0＝－2，从而y0＝.所以导数值等于函数值的点是.10.如图所示，水波的半径以1m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，则水波面的圆面积的膨胀率是________．答案　10π解析　＝＝(10π＋πΔr)＝10π.11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则＝________.答案　－22解析　＝－2＝－2f′(x0)＝－22.三、解答题12．某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.(1)求在第1s内的平均速度；(2)求在1s末的瞬时速度；(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14m/s?解　(1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为＝m/s.(2)＝＝＝6＋3Δx＋(Δx)2.n当Δx→0时，→6，所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s.(3)＝＝＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2或x＝－3(舍)，即经过2s该物体的运动速度达到14m/s.13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值．解　由导数的定义知，f′(x0)＝＝2x0，g′(x0)＝＝3x.因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0，解得x0＝或x0＝.14．已知函数f(x)＝，则f′(1)等于(　　)A．－B．1C．2D.答案　A解析　f′(1)＝＝＝＝－.n15．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．解　＝＝＝＋＝＋，所以当x＝100时，＝＝0.105(万元/m2)，即f′(100)＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2，也就是说当建筑面积为100m2时，每增加1m2的建筑面积，成本就要增加1050元．