2020版高中数学阶段训练六新人教b版选修 9页

阶段训练六(范围：§3.1～§3.2)一、选择题1．(2018·上海市奉贤区模拟)若直线l的一个方向向量为d＝(6,2,3)，平面α的一个法向量为n＝(－1,3,0)，则直线l与平面α的位置关系是(　　)A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面平行答案　D解析　∵d·n＝－6＋2×3＋0＝0，∴d⊥n，∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．2．设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　)A．4B．－4C．2D．－2考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直答案　B解析　由题意得，u∥v，∴＝，即t＝－4.3．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　　)A．－3或1B．3或－1C．－3D．1考点　向量法求解直线与直线的位置关系题点　方向向量与线线垂直答案　A解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4.∵l1⊥l2，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，即y＝－1－.∴x＋y＝－1＝1或－3.n4．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是(　　)A．成30°角B．垂直C．成45°角D．成60°角考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直答案　B解析　设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，则y＝－2，z＝1，∴平面ABCD的一个法向量为n＝(1，－2,1)，而∥n，∴PA⊥平面ABCD，故选B.5．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为(　　)A.B．－C.D.或－考点　向量法求平面与平面所成的角题点　向量法求平面与平面所成的角答案　D解析　∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.6.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A.B.C.D.考点　向量法求解直线与直线所成的角题点　向量法求解直线与直线所成的角n答案　A解析　不妨设CB＝1，则CA＝CC1＝2，由题中图知，A(2，0,0)，B(0,0,1)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，所以＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，所以cos〈，〉＝＝.7．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)A．60°B．90°C．45°D．以上都不对考点　向量法求解直线与平面所成的角题点　向量法求解直线与平面所成的角答案　B解析　以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，cos〈n，〉＝＝＝－1，所以〈n，〉＝180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.二、填空题8．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，βn的位置关系为____________．考点　向量求解平面与平面的位置关系题点　向量法解决面面平行答案　平行解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴α∥β.9．(2018·广安期末)已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________________.考点　向量法求解直线与平面的位置关系题点　向量法解决线面垂直答案　解析　∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，∴即解得故＝.10．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．考点　向量法求解直线与平面所成的角题点　向量法求解直线与平面所成的角答案　解析　直线l与平面α所成角的正弦值为|cos〈n，a〉|＝＝.11．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，点A(2,6,3)在平面α内，则点D(－1,6,2)到平面α的距离为________．考点　向量法求空间距离题点　向量法求点到平面的距离答案　解析　∵＝(－3,0，－1)，n∴点D(－1,6,2)到平面α的距离d＝＝＝.三、解答题12.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的余弦值．考点　向量法求平面与平面所成的角题点　向量法求平面与平面所成的角(1)解　如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，射线AB，AD，AF分别为x轴，y轴，z轴的正方向，设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，于是cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明　由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.而CE⊂平面CDE，n所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解　设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则即令x＝1，可得y＝1，z＝1，即u＝(1,1,1)．又由题设知，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．所以cos〈u，v〉＝＝＝.因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.13.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值．考点　向量法求平面与平面所成的角题点　向量法求平面与平面所成的角(1)证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD，因为AB∥CD，所以AB⊥PD.又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD.因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解　在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以点F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C，所以＝，＝(，0,0)，n＝，＝(0,1,0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n＝(0，－1，－)．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝＝－.又二面角A－PB－C的平面角为钝角．所以二面角A－PB－C的余弦值为－.14.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论错误的是(　　)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．向量与的夹角为60°考点　向量法求解直线与直线所成的角题点　向量法求解直线与直线所成的角答案　D解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1,0,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(1,0,1)，对于选项A，由＝知结论正确；对于选项B，由·＝0知结论正确；对于选项C，由·＝0，·＝0，且B1D1∩CB1＝B1n，知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝－，知结论不正确．15．(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．考点　向量法求解直线与平面所成的角题点　向量法求解直线与平面所成的角(1)证明　因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)解　由(1)知OP，OB，OC两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，n＝(0,2,2)．由(1)知平面PAC的一个法向量为＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由·n＝0，·n＝0，得可取y＝a，得平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈，n〉＝.由已知可得|cos〈，n〉|＝cos30°＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝.所以n＝.又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.