2020版高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和（第2课时）等比数列前n项和的性质及应用学案 10页

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用学习目标　1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.知识点一　等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．知识点二　等比数列前n项和的性质等比数列{an}前n项和的三个常用性质(1)若数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍构成等比数列．(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．(3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．1．等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(　√　)2．若{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2.(　√　)3．若{an}的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.(　√　)4．等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列．(　×　)题型一　等比数列前n项和公式的函数特征应用例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋)．求{an}的通项公式．解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．n∴an＝反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________.答案　－解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.题型二　等比数列前n项和的性质命题角度1　连续n项之和问题例2　已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．证明　方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．当q≠1时，Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．方法二　根据等比数列的性质有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．n反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．跟踪训练2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解　因为S2n≠2Sn，所以q≠1，由已知得②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③将③代入①得＝64，所以S3n＝＝64×＝63.命题角度2　不连续n项之和问题例3　一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．解　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.故所求通项公式为an＝12×n-1，n∈N＋.反思感悟　注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．跟踪训练3　设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则＝________.答案　126解析　∵，∴{}是首项为b2，公比为2的等比数列．∴＝＝126.n等比数列前n项和的分类表示典例　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an，n∈N＋.求{an}的前n项和Sn.解　由an≠0，所以＝3，于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n-1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n-1)＋2(1＋3＋…＋3n-1)＝3(1＋3＋…＋3n-1)＝，从而S2n－1＝S2n－a2n＝－2×3n－1＝(5×3n－2－1)．综上所述，Sn＝[素养评析]　数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出{a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.1．已知等比数列{an}的公比为2，且其前5项和为1，那么{an}的前10项和等于(　　)A．31B．33C．35D．37答案　B解析　设{an}的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)A.B．－C.D．－答案　C解析　方法一　∵Sn＝x·3n-1－＝·3n－，n由Sn＝A(qn－1)，得＝，∴x＝，故选C.方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n-2，∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n-2，即2x·3-1＝x－，解得x＝.3．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c，等比数列{bn}的前n项和Tn＝3n＋d，则向量a＝(c，d)的模为(　　)A．1B.C.D．无法确定答案　A解析　由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于(　　)A．24B．12C．18D．22答案　B解析　设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)A．8B．6C．4D．2答案　C解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．2．等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,00且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理．一、选择题1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于(　　)A．2B.C．4D.答案　C解析　∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝＝4.2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　)A．1B．0C．1或0D．－1答案　A解析　∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N＋)，又{Sn}是等差数列，∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝＝1(n≥2且n∈N＋)．3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)A.B．－C.D.答案　A解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为(　　)A.B．2C.D．17n答案　C解析　＝q3＝，∴q＝.∴＝＝1＋＝1＋q4＝.5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)A．90B．70C．40D．30答案　C解析　由S30＝13S10，知q≠1，由得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)，故选C.6．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)A．－2B．2C．－3D．3答案　B解析　设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∴＝＝qm＝8＝，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.7．已知等比数列{an}的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则S＝a3＋a6＋a9＋a12的值为(　　)A．580B．585C．590D．595答案　B解析　设等比数列{an}的公比为q，则由题意有得∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9)＝a1q2·＝585.8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于(　　)nA．2B.C.D．3答案　B解析　由题意知q≠1，否则＝＝2≠3.∴＝＝1＋q3＝3，∴q3＝2.∴＝＝＝＝.二、填空题9．若等比数列{an}的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50，则它的前15项和S15＝________.答案　210解析　由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，若对任意n∈N＋，有an＋1＝Sn，则Sn＝________.答案　n-1解析　由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，则数列{Sn}是以S1＝1为首项，公比q为的等比数列，所以Sn＝S1·qn-1＝n-1.11．已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列，Sn是{an}的前n项和，且＝5，则数列的前5项和为________．答案　解析　＝＝1＋q2＝5，q＝±2.∵{an}是摆动数列，∴q＝－2.n∴的首项为1，公比为－，前5项和为＝＝.三、解答题12．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解　(1)设等差数列{an}公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2，所以an＝2n－1(n∈N＋)．(2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒q·q3＝9，所以q2＝3，所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝.13．已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)设数列{an}的公比为q，由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.∴q＝2，即an＝2·2n-1＝2n，n∈N＋.(2)由题意得，bn＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n+1＝－2－(n－1)·2n+1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n+1，n∈N＋.14．等比数列{an}中，a1－a3＝3，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为________．答案　4解析　设公比为q，n由解得当n为奇数时，Sn＝≤＝4，当n为偶数时，Sn＝<.综上，Sn的最大值为4.15．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明　当n＝1时，S1－2S1＝1－4，故S1＝3，得S1－1＋2＝4.n≥2时原式转化为Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4，即Sn＝2Sn－1－n＋4，所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解　由(1)知，Sn－n＋2＝2n+1，所以Sn＝2n+1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n+1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝.