2020版高中数学模块综合检测新人教b版 10页

模块综合试卷(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“∃x∈R,3x≤0”的否定是(　　)A．∀x∈R,3x≤0B．∀x∈R,3x＞0C．∃x∈R,3x＞0D．∀x∈R,3x≥0答案　B2．x＝1是x2－3x＋2＝0的(　　)A．充分不必要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件答案　A解析　若x＝1，则x2－3x＋2＝1－3＋2＝0成立，即充分性成立，若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，此时x＝1不一定成立，即必要性不成立，故x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．3．函数f(x)＝exlnx在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)A．y＝2e(x－1)B．y＝ex－1C．y＝x－eD．y＝e(x－1)答案　D解析　因为f′(x)＝ex，所以f′(1)＝e.又f(1)＝0，所以所求的切线方程为y＝e(x－1)．4．下列说法中正确的是(　　)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真答案　Dn解析　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心离为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±4xD．y＝±x答案　A解析　由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.6．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是(　　)A．f(－1)＝f(1)B．f(－1)>f(1)C．f(－1)f(1)．7．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案　C解析　由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)，选C.8．点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　)A.B．2C.D．3答案　Cn解析　∵△ABF2是等边三角形，∴|BF2|＝|AB|，根据双曲线的定义，可得|BF1|－|BF2|＝2a，∴|BF1|－|AB|＝|AF1|＝2a，又∵|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝|AF1|＋2a＝4a.∵在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，∴|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×＝28a2，解得c＝a，由此可得双曲线C的离心率e＝＝.9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2的面积最大，则m＋n的值是(　　)A．41B．15C．9D．1答案　B解析　由S△F1PF2＝|F1F2|·|yP|＝3|yP|，知当P为短轴端点时，△F1PF2的面积最大．此时∠F1PF2＝，得a＝＝2，b＝＝，故m＋n＝15.10．设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点答案　C解析　由题意得f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得00，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，所以f()f(1)＞0，f(1)f(e)＜0，故函数在(1，e)上有零点，在(，1)上无零点．故选C.11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)答案　B解析　由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]．12．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(O＋)·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)A.B.＋1C.D.＋1答案　D解析　设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由(O＋)·＝0，得(O＋)·(O－)＝0，∴2＝2，∴|O|＝||，故△F1PF2是直角三角形，又|PF1|＝|PF2|，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，n由双曲线的定义知c－c＝2a，e＝＝＝＋1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析　由题意知原命题为真，∴Δ＝a2－4>0，∴a>2或a<－2.14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2＝2py(p>0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2，则p＝________.答案　2解析　由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离，得1＋＝2，即p＝2.15．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________．答案　解析　f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x.当k<0时，f′(x)<0在区间(0,4)上恒成立，即f(x)在区间(0,4)上是减函数，故k<0满足题意．当k≥0时，则由题意，知解得0≤k≤.综上，k的取值范围是.16．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为____________．答案　解析　如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，ncos∠ABF＝，由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos∠ABF＝100＋64－2×10×8×＝36.∴|AF|＝6，∠BFA＝90°.设F′为椭圆右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性，可得四边形AFBF′是矩形，∴|BF′|＝6，|FF′|＝10，∴2a＝8＋6＝14,2c＝10，则e＝＝.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知命题p：方程＋＝1(a>0)表示双曲线，命题q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解　(1)∵命题q为真命题，∴2－m>m－1>0，∴10)表示双曲线，则(m－3a)(m－4a)<0(a>0)，解得3aln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知，f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值2(1－ln2＋a)↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知，当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．所以当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.20．(12分)已知函数f(x)＝ax2－lnx，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；n(2)讨论f(x)的单调性；(3)是否存在a，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解　(1)当a＝1时，f(x)＝－lnx(x>0)，则f′(x)＝x－(x>0)，∴f′(1)＝0，f(1)＝，∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－＝(x>0)．①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(3)存在a∈(0，e3)，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根．理由如下：由(2)可知，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根；当a>0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根，等价于函数f(x)的极小值f<2，即f＝＋lna<2，解得0f，即函数f(x)在上的最大值为f＝＋b＝，∴b＝0.(2)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x.∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，∴lnx0，∴a≤恒成立，即a≤min，令t(x)＝，x∈[1，e]，求导得，t′(x)＝，当x∈[1，e]时，x－1≥0，lnx≤1，x＋2(1－lnx)>0，从而t′(x)≥0，∴t(x)在[1，e]上为增函数，∴t(x)min＝t(1)＝－1，∴a≤－1.22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．①若线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；②若点M，求证·为定值．(1)解　因为＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，则椭圆C的方程为＋＝1.(2)①解　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．n由(1)将y＝k(x＋1)代入＋＝1，得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，Δ＝36k4－4(3k2＋1)(3k2－5)＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－.因为AB中点的横坐标为－，所以－＝－，解得k＝±.②证明　由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，所以·＝·＝＋y1y2＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2＝(1＋k2)＋＋＋k2＝＋＋k2＝＋＋k2＝.即·为定值．