2020版高中数学第三章导数及其应用微专题突破五利用导数求切线方程学案新人教b版 6页

专题突破五　利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．一、已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．例1　已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．考点　题点　答案　2x－y＝0解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即y＝2x.点评　本题可以先利用分段型奇偶性原则，求出函数的解析式，再求函数切线，或者利用原函数与导函数的关系来求解．跟踪训练1　曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为(　　)A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1考点　题点　答案　D解析　由题意知，点(1，－1)在该曲线上，又y′＝＝，所以曲线在点(1，－1)处的切线的斜率k＝＝－2，故所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.二、已知过某点，求切线方程过某点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．n考点　题点　解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－.故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－＝，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．跟踪训练2　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．考点　题点　解　设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝－.所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即y－＝－(x－x0)．又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得－＝－(2－x0)．解得x0＝1，y0＝＝1，即切线方程为x＋y－2＝0.三、求两条曲线的公切线例3　(2018·河南南阳一中月考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－n9(a≠0)都相切．(1)求切线方程；(2)求实数a的值．考点　题点　解　(1)因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则在点(x0，x)处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.又点(1,0)在切线上，所以3x－2x＝0，解得x0＝0或x0＝.故所求的切线方程为y＝0或y＝x－.(2)由直线y＝0与曲线y＝ax2＋x－9相切可得方程ax2＋x－9＝0有一个实数根，此时Δ＝2－4a×(－9)＝0，解得a＝－；由直线y＝x－与曲线y＝ax2＋x－9相切，两方程联立消去y，得ax2－3x－＝0，此时Δ＝9－4×a×＝0，解得a＝－1.综上可得，a＝－1或a＝－.点评　本例是先求过某点的切线方程，由切线与另一曲线——抛物线相切，利用判别式Δ＝0即可求得参数．跟踪训练3　已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)A．－1B．－3C．－4D．－2考点　导数的运算法则题点　导数的运算法则的运用答案　Dn解析　∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2.1．函数f(x)＝exlnx的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)A．y＝2e(x－1)B．y＝ex－1C．y＝e(x－1)D．y＝x－e考点　题点　答案　C解析　∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋，∴f′(1)＝e，又f(1)＝0，∴在(1,0)处的切线方程为y＝e(x－1)．2．已知f(x)＝ex－x，则过原点与f(x)图象相切的直线方程是(　　)A．y＝(e－1)xB．y＝exC．y＝xD．y＝e2x考点　题点　答案　A解析　设切点坐标为(x0，－x0)，由题意可得切线斜率k＝f′(x0)＝－1，所以切线方程为y＝(－1)x，由－x0＝(－1)x0，解得x0＝1，所以切线方程为y＝(e－1)x.n3．过点P(3,9)与曲线y＝2x2－7相切的切线的方程为________．考点　题点　答案　8x－y－15＝0或16x－y－39＝0解析　令y＝f(x)＝2x2－7，则f′(x)＝4x，由点P(3,9)不在曲线上，设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)，将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或4，故切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.4．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__________．考点　题点　答案　2x＋y＋1＝0解析　设x>0，则－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.5．已知函数y＝x2lnx(x>0)．(1)求这个函数的图象在x＝1处的切线方程；(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数的图象相切，求直线l的方程．考点　题点　解　(1)函数y＝x2lnx的导数为y′＝2xlnx＋x，函数的图象在x＝1处的切线斜率为2ln1＋1＝1，切点为(1,0)，n可得切线的方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.(2)设切点为(m，m2lnm)，可得切线的斜率为2mlnm＋m，则切线的方程为y－m2lnm＝(2mlnm＋m)(x－m)，由于切线过点(0,0)，∴－m2lnm＝(2mlnm＋m)(－m)，由m>0，可得－lnm＝－2lnm－1，即lnm＝－1，解得m＝，所以直线l的方程为x＋ey＝0.6．已知双曲线C：y＝(m<0)与点M(1,1)．(1)求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C的两支相切；(2)设(1)中的两个切点分别为A，B，求证：直线AB的斜率为定值．考点　题点　证明　(1)设Q在双曲线C上，要证明命题成立，只需要证明关于t的方程y′|x＝t＝kMQ有两个符号相反的实根．y′|x＝t＝kMQ⇔－＝⇔t2－2mt＋m＝0，且t≠0，t≠1.因为Δ＝4m2－4m>0，所以方程t2－2mt＋m＝0有两个不相等实根，设两根分别为t1与t2，则由t1t2＝m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题得证．(2)设A，B，由(1)知kAB＝＝＝－1，即直线AB的斜率为定值－1.