2020版高考数学复习第八单元第45讲椭圆练习理新人教a版 5页

第45讲椭圆1.[2018·安徽合肥三模]已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点A(5,0),B(0,3),则椭圆E的离心率为(　　)A.23B.53C.49D.592.已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为(　　)A.x24+y22=1B.x28+y24=1C.x216+y24=1D.x232+y216=13.[2018·四川凉山一检]以椭圆的短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是(　　)A.13B.33C.34D.2234.[2018·湖南怀化模拟]已知椭圆x24+y2m=1的离心率为22,则实数m=　　　　. 5.[2018·湖南湘潭四模]已知F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P为椭圆C上一点,A1,43,则|PA|+|PF|的最小值为　　　　. 6.已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点A1,32在椭圆C上,且|AF1|+|AF2|=4,则椭圆C的离心率是(　　)A.12B.54C.23D.327.[2018·河南商丘二模]已知椭圆x26+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l:y=kx+m与椭圆相切,记F1,F2到直线l的距离分别为d1,d2,则d1·d2的值为(　　)A.1B.2C.3D.48.[2018·河南豫南九校一联]已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(　　)A.55B.105C.255D.21059.[2018·湖南永州二模]已知F1,F2是椭圆x2+3y2=12的左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,那么|PF1+PF2|的最小值是(　　)A.0B.4C.42D.4310.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1,过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2n相交的弦长为3b,则椭圆的离心率e为(　　)A.12B.22C.33D.3211.[2018·福建三明质检]已知中心是坐标原点的椭圆C过点1,255,且它的一个焦点为(2,0),则椭圆C的标准方程为　　　　. 12.P为椭圆C:x22+y2=1上一动点,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,延长F1P至点Q,使得|PQ|=|PF2|,记动点Q的轨迹为Ω,设B为椭圆C的上顶点,直线BF2与Ω交于M,N两点,则|MN|=　　　　. 13.[2018·吉林实验中学六模]已知椭圆W:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:x24+y2=1的短轴长相等,且W与Ω的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为A,直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA(O为坐标原点)垂直,l与Ω的另一个交点为C,l与W交于M,N两点.(1)求椭圆W的标准方程;(2)求|BC||MN|.14.[2018·黑龙江齐齐哈尔一模]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,上、下顶点分别为B1,B2,两个焦点分别为F1,F2,|A1B2|=27,四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍.(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于P,Q两点(点P位于第一象限),A,B是椭圆C上位于直线PQ两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且∠APQ=∠BPQ,求直线AB的方程.15.[2018·江西南昌摸底]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;n(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=54,求原点O到直线l的距离的取值范围.课时作业(四十五)1.A　[解析]由题意得,9a2=1,5b2=1,a>b>0,所以a=3,c=9-5=2,其离心率e=23,故选A.2.B　[解析]∵圆O:x2+y2=4经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,∴b=2,c=2,则a2=b2+c2=8,∴椭圆C的标准方程为x28+y24=1,故选B.3.D　[解析]设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,根据题意,以椭圆的短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则2b=2a3,即a=3b,所以c=a2-b2=22b,所以椭圆的离心率e=ca=223.故选D.4.2或8　[解析]若焦点在x轴上,则04,即a2=m,b2=4,∴c2=a2-b2=m-4,∴c2a2=m-4m=12,即m=8.综上可得,m=2或m=8.5.133　[解析]设椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F'(2,0),F(-2,0),由A1,43,则|AF'|=(2-1)2+0-432=53,根据椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|≥6-|AF'|=6-53=133.6.D　[解析]由题意可知2a=4,即a=2,∵点A1,32在椭圆C上,∴14+34b2=1,解得b2=1,∴c=a2-b2=3,则椭圆C的离心率e=ca=32,故选D.7.B　[解析]由y=kx+m,x2+3y2=6,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,由Δ=0⇒m2=2+6k2,则d1·d2=|-2k+m|·|2k+m|1+k2·1+k2=|4k2-m2|1+k2=|-2-2k2|1+k2=2,故选B.8.A　[解析]点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A'(-3,2),连接A'B,交直线l于点P,则椭圆C的长轴长的最小值为|A'B|=(-3-1)2+(2-0)2=25,所以椭圆C的离心率的最大值为ca=15=55.故选A.9.B　[解析]∵原点O是线段F1F2的中点,∴PF1+PF2=2PO,即|PF1+PF2|=2|PO|.设P(x,y),则x23+y2=4,即y2=4-x23,∴|PO|2=x2+y2=4+23x2≥4,∴|PO|≥2,2|PO|≥4,即|PF1+PF2|的最小值为4,故选B.n10.B　[解析]过点F1且倾斜角为30°的直线方程为y=33(x+c),即x-3y+c=0,则圆心(0,0)到该直线的距离d=|c|1+3=c2,由弦长公式可得2b2-c24=3b,整理可得b2=c2,∴a2-c2=c2,即a2=2c2,∴e2=12,即e=22.故选B.11.x25+y2=1　[解析]由题意,椭圆C的焦点位于x轴,则设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵椭圆C过点1,255,∴1a2+45b2=1①,∵它的一个焦点为(2,0),∴a2-b2=4②,联立①②,可得a2=5,b2=1,则椭圆C的标准方程为x25+y2=1.12.26　[解析]∵|PF1|+|PF2|=2a=22,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=|QF1|=22,∴动点Q的轨迹Ω是以F1为圆心,半径为22的圆.∵|BF1|=|BF2|=2,|F1F2|=2,∴BF1⊥BF2,即BF1⊥MN,则|MN|=2(22)2-(2)2=26.故答案为26.13.解:(1)由题意可得a2=4,a2-b2=1,∴a2=4,b2=3,故椭圆W的标准方程为y24+x23=1.(2)由y24+x23=1,x24+y2=1,得x2=3613,y2=413,∴y2x2=19,∴kOA=13,易知B(0,1),∴直线l的方程为y=-3x+1.由y=-3x+1,x24+y2=1,得37x2-24x=0,解得x=0或x=2437,∴|BC|=1+(-3)2×2437-0=241037.由y=-3x+1,y24+x23=1,得31x2-18x-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=1831,x1x2=-931,∴|MN|=1+(-3)2×18312+4×931=12031,故|BC||MN|=3110185.14.解:(1)因为|A1B2|=27,所以a2+b2=27①,由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍,可得12×2a×2b=2×12×2c×2b,即a=2c②.n由①②可得a2+b2=a2+a2-c2=8c2-c2=7c2=28,即c2=4,所以a2=4c2=16,所以b2=12,所以椭圆C的方程为x216+y212=1.(2)由(1)易知点P,Q的坐标分别为(2,3),(2,-3).因为∠APQ=∠BPQ,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA的方程为y-3=k(x-2).由y-3=k(x-2),x216+y212=1,可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以x1+2=8k(2k-3)3+4k2.同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2.所以x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,所以kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,因为直线AB过点(1,-1),所以直线AB的方程为y+1=12(x-1),即x-2y-3=0.15.解:(1)设焦距为2c,由已知得e=ca=32,2b=2,∴b=1,c2a2=34,又∵a2=1+c2,解得a=2,∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依题意,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1①,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOM·kON=54,则y1y2x1x2=54,即4y1y2=5x1x2,∴4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,∴(4k2-5)·4(m2-1)4k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=54②,由①②得0≤m2<65,120