2020版高中数学第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案北师大版 13页

§4　导数的四则运算法则学习目标　1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数．知识点一　导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二　导数的乘法与除法法则1．若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(2)′＝.2．[kf(x)]′＝kf′(x)．1．若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　×　)2．运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．(　×　)3．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．(　×　)题型一　利用导数四则运算法则求导例1　求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xsinx－.n考点　导数的运算法则题点　导数乘除法则的混合运用解　(1)∵y＝－＋x－1＋，∴y′＝＋－x－2－.(2)方法一　y′＝＝＝.方法二　y＝＝＝1－，y′＝′＝′＝＝.(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.(4)y′＝(xsinx)′－′＝x′sinx＋x(sinx)′－＝sinx＋xcosx－.反思感悟　1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)f(x)＝xlnx；n(2)y＝；(3)y＝2x3＋log3x；(4)y＝x－sincos.解　(1)f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.(2)方法一　y′＝′＝＝.方法二　y＝＝1－，∴y′＝′＝′＝－＝.(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.(4)y＝x－sincos＝x－sinx，∴y′＝′＝1－cosx.题型二　导数运算法则的综合应用命题角度1　利用导数求函数解析式例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，n由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)A．aB．±aC．－aD．a2考点　导数的运算法则题点　导数除法法则及运算答案　B解析　∵y′＝1－，在x＝x0处，函数y＝的导数是1－＝0，∴x0＝±a.3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　)A.B.C.D.n考点　导数的应用题点　导数的应用答案　D解析　∵s′＝2t－，∴在t＝2处，函数s＝t2＋的导数是4－＝.即物体在时刻t＝2时的速度为.4．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)A．－2B．－1C．1D．2考点　导数的应用题点　导数的应用答案　D解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx，由题意知f′·＝－1，∴a＝2.5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(　　)A．0B．1C.D．不存在考点　导数的应用题点　导数的应用答案　C解析　f′(x)＝，由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，即＋＝0，解得x0＝.6．函数y＝f(x)＝sinx＋ex的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为(　　)A．1B．2C．3D．0答案　B解析　因为函数y＝f(x)＝sinx＋ex的导数为y′＝cosx＋ex，所以f′(0)＝cos0＋e0＝2.所以函数y＝sinx＋ex的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为2.n7．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．不确定答案　B解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．8．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(－1)等于(　　)A.B．－C.D．－或考点　导数的应用题点　导数的应用答案　B解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图像开口向上．又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图像不关于y轴对称，故其图像必为③.由图像特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.二、填空题n9．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　1解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，∴f＝1.10．曲线y＝f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　3x－y＋1＝0解析　f′(x)＝ex＋xex＋2，k＝f′(0)＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.考点　导数的运算法则题点　导数乘法法则及运算答案　120解析　因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′，所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.三、解答题12．若曲线y＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．考点　导数的应用题点　导数的应用解　∵y＝x2－ax＋lnx，∴y′＝2x－a＋，由题意可知存在实数x>0使得2x－a＋＝0，n即a＝2x＋成立，∴a＝2x＋≥2.∴实数a的取值范围是[2，＋∞)．13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又g(0)＝3，所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．考点　导数的应用题点　导数的应用答案　解析　y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，n∴y′∈[－1,0)，α∈.15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点　导数的应用题点　导数的应用解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②由①②得解得故f(x)＝x－.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为××|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.