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- 2022-04-12 发布
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厦门市湖滨中学2018---2019学年第二学期期中考高二理科数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i2．设命题p：∀x>0，2x>log2x，则¬p为( )A．∀x>0，2x0，2x≤log2xC．∃x>0，2x0，2x≥log2x3.已知，若=8，则( )A．1 B．－2 C．－2或4 D．44．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A．B．C．D．5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩6．若p：≤0，q∶x2－5x＋6＜0，则¬q是¬p的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表．根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”．（ ）优秀非优秀合计n甲班105060乙班203050合计3080110K2≥k0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828参考公式与临界值表：．A．90%B．95%C．99%D．99.9%8．方程(x＋y－3)＝0表示的曲线是( )A．两条射线B．抛物线和一条线段C．抛物线和一条直线D．抛物线和两条射线9．已知＝2，＝3，＝4，…，＝6(a，b均为实数)，则推测a，b的值分别是( )A．a＝6，b＝18B．a＝6，b＝25C．a＝6，b＝30D．a＝6，b＝3510．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图(9)所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)图(9）C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)11．已知椭圆C:＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )A.B.C.D.12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )A．－ B．－2C．－2或－D．2或－第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内n作答．13．已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝____________．14．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．15．已知整数对的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，按规律，第600个整数对为________．16．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0.由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分8分）已知椭圆过点M(2，)，且与椭圆9x2＋5y2＝45有相同的焦点,求椭圆的标准方程．18．（本小题满分12分）．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19.（本小题满分12分）设非等腰△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且A，B，C成等差数列，用分析法证明：＋＝.20．（本小题满分14分）新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号12345销量(万辆)0.50.611.41.7(Ⅰ)经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2018n年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；(Ⅱ)2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整．已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间(万元)[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)频数206060302010求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值x的方差s2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1)；附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：②.21.（本小题满分14分）设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点的距离比点P到x轴的距离大.(Ⅰ)求点P的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且＝2，求实数k的值．22.（本小题满分14分）函数（＞0，e是自然常数）.（1）当x∈[0，1]时，函数的最大值是，求的值；（2）当x∈（0，1]时，证明：．nn厦门市湖滨中学2018---2019学年第二学期期中考高二理科数学试卷参考答案一，选择题：（每小题5分}1-5BBDDD6-10BCDDD11-12AA二．填空题13.514.-115.（5,31）16.x＝三．.解答题17.（本小题满分8分）解：(法一)由9x2＋5y2＝45，得＋＝1，其焦点分别为F1(0，2)，F2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵点M(2，)在所求椭圆上，∴|MF1|＋|MF2|＝2a，即2a＝＋＝4，解得a＝2.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝8，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.(法二)∵所求椭圆与椭圆＋＝1有相同的焦点，∴可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ>－5)．又∵所求椭圆过点(2，)，∴＋＝1，解得λ＝3或λ＝－7(舍去)，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.18.（本小题满分12分）解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]n上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2，∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.19.（本小题满分12分）证明：要证明＋＝，只要证明＝，只要证明(a＋c－2b)(a－b＋c)＝3(a－b)(c－b)，只要证明(a＋c－b)2－b(a＋c－b)＝3(ac＋b2－bc－ab)，只要证明a2＋c2－b2＝ac，只要证明cosB＝＝，只要证明B＝60°，考虑到A＋B＋C＝180°，所以只要证明A＋C＝2B，即证A，B，C成等差数列．因为A，B，C成等差数列，故结论成立．20（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由表格数据可知，＝＝3，＝＝1.04，n∴＝1.04－0.32×3＝0.08，∴y关于t的线性回归方程为＝0.32t＋0.08.根据t的含义，2018年5月时，t＝6，代入可得＝0.32×6＋0.08＝2(万辆)，即2018年5月销量的预测值为2万辆．(Ⅱ)(ⅰ)由表中数据可知各组频率依次为0.1，0.3，0.3，0.15，0.1，0.05，平均值x＝1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.3＋4.5×0.15＋5.5×0.1＋6.5×0.05＝3.5，∴s2＝(1.5－3.5)2×0.1＋(2.5－3.5)2×0.3＋(3.5－3.5)2×0.3＋(4.5－3.5)2×0.15＋(5.5－3.5)2×0.1＋(6.5－3.5)2×0.05＝1.7.∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.4＋0.3＝0.7>0.5，∴中位数在区间[3，4)内．设中位数为m，有20＋60＋×60＝100，解得m≈3.3，∴中位数m≈3.3万元．21.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)设点P(x，y)，过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则＝y，由题意知－＝，∴＝y＋，化简得x2＝2y.故点P的轨迹方程为x2＝2y.(Ⅱ)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与点P的轨迹方程，得消去y，化简得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵＝·＝·＝2，∴k4＋3k2－4＝0，(11分)又k2≥0，∴k2＝1，解得k＝±1.n22.（本小题满分14分）解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）ex，a＞0时，由f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减，a≥1时，f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e=，解得：a=+＜1，不合题意，舍，0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，∴f（x）max=f（a）=aea=，解得：a=，符合题意，综上，存在a=，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是；（2）当x∈（0，1]时，要证：2x3﹣x2﹣x＞，即证（﹣x2+x+）ex＜（1﹣），设g（x）=﹣x2+x+）ex，由（1）可得g（x）max=g（）=，设h（x）=（1﹣），h′（x）=，h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）=，∴（﹣x2+x+）ex＜（1﹣），即2x3﹣x2﹣x＞．
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