高考数学复习第八章解析几何课下层级训练43圆的方程文新人教a版 5页

课下层级训练(四十三)　圆的方程[A级　基础强化训练]1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　)A．相切　　　　　　　　B．相交C．相离D．随a的变化而变化B　[∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．]2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2B　[由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)A．－B．－C．D．2A　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]4．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程为(　　)A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0B　[根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.]5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)A．6　　　B．4　　　C．3　　　D．2B　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]n6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是__________，半径是__________．(－2，－4)　5　[由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．]7．已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，则Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C的方程为__________．2＋y2＝1　[设M(x，y)，则Q(2x＋1,2y)，∵Q在圆x2＋y2＝4上，∴(2x＋1)2＋4y2＝4，即2＋y2＝1，∴轨迹C的方程为2＋y2＝1.]8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是__________．3－　[lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝，则AB边上的高的最小值为－1.故△ABC面积的最小值是×2×＝3－.]9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解　(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.　①又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.　②由①②解得或∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40．10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B．(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．(1)解　由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，n设P(a,2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2,4)或．(2)证明　设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0．由解得或所以该圆必经过定点(0,4)和．[B级　能力提升训练]11．(2019·浙江温州月考)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)A．4B．3C．2D．C　[圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.]12．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)A．2＋y2＝B．2＋y2＝C．x2＋2＝D．x2＋2＝C　[由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a),半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋2＝.]13．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为__________．n(x－2)2＋(y－1)2＝5　[由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.]14．设点M(x0,1)，若在圆O∶x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是__________．[－1,1]　[如图所示，过点O作OP⊥MN交MN于点P．在Rt△OMP中，|OP|＝|OM|·sin45°，又|OP|≤1，得|OM|≤＝.∴|OM|＝≤，∴x≤1．因此－1≤x0≤1.]15．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．解　(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，则解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2．(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2．令x＝cosθ，y＝sinθ，所以·＝x＋y－2＝(sinθ＋cosθ)－2＝2sin－2，又min＝－1，所以·的最小值为－4．16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝xn相切于坐标原点O．(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8．因为直线y＝x与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有解得或由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8．(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x＝或x＝0(舍去)．所以存在点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．