高考数学复习第八章解析几何课下层级训练47双曲线文新人教a版 7页

课下层级训练(四十七)　双曲线[A级　基础强化训练]1．(2019·江西新余摸底)双曲线－＝1(a≠0)的渐近线方程为(　　)A．y＝±2x　　　　　　B．y＝±xC．y＝±4xD．y＝±xA　[根据双曲线的渐近线方程知，y＝±x＝±2x.]2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1A　[已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1.]3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)A．　　　B．2　　　C．　　　D．2D　[由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为＝2.]4．(2019·河南开封月考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)A．B．C．2D．C　[由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0n＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2.]5．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1C　[如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3．又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝．∴双曲线的方程为－＝1.]6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝__________；b＝__________．1　2　[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2．又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]7．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为__________．2　[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.]8．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，nB两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．10　[由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.]9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5．设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3．∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1．10．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0．(1)解　∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线的方程为x2－y2＝6．(2)证明　证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝－．∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0．n证法二：由证法一知1＝(－3－2，－m)，2＝(2－3，－m)，∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵点M在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴1·2＝0．[B级　能力提升训练]11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)A．B．3C．2D．4B　[由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x．设两渐近线夹角为2α，则有tanα＝＝，所以α＝30°．所以∠MON＝2α＝60°．又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝．则在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝·tan60°＝3.]12．(2019·湖北武汉调研)已知不等式3x2－y2>0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝x和直线y＝－x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为，则点P轨迹的一个焦点坐标可以是(　　)A．(2,0)B．(3,0)C．(0,2)D．(0,3)A　[∵直线y＝x与y＝－x的夹角为60°，且3x2－y2>0，∴PA与PB的夹角为120°，|PA||PB|＝·＝，S△PAB＝n|PA||PB|·sin120°＝(3x2－y2)＝，即P点的轨迹方程为x2－＝1，半焦距为c＝2，∴焦点坐标可以为(2,0)．]13．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为__________．　[如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝．又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.]14．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·＝__________．2　[由题意及正弦定理得＝＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝＝＝，∴·＝||·||cos∠PF2F1＝2×4×＝2.]15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(n，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．解　(1)∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，∴解得c＝3，b＝，∴双曲线的方程为－＝1．(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．联立得5x2＋6x－27＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－．所以|AB|＝×＝．16．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．解　(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0．由题意知解得