高考数学复习第六章不等式、推理与证明课下层级训练34合情推理与演绎推理文新人教a版 6页

课下层级训练(三十四)　合情推理与演绎推理[A级　基础强化训练]1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)A．分析法　　　　　　　B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法B　[结合推理及分析法和综合法的定义可知，B正确．]2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　　　D．3B　[(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立，如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝，故②错误．由向量的运算公式知③正确．]3．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的(　　)A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确A　[若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．]4．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2014次操作后得到的数是(　　)A．25B．250C．55D．133D　[由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为13＋33＋33＝55，….因为每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，又2014＝671×3＋1，故第2014次操作后得到的数是133.]5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}n也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)A．dn＝B．dn＝C．dn＝D．dn＝D　[若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列．]6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照图中的规律，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为__________.6n＋2　[由题意知，第1个图中有8根火柴棒，第2个图中有8＋6根火柴棒，第3个图中有8＋2×6根火柴棒，……，依此类推，第n个“金鱼”需要火柴棒的根数为8＋6(n－1)＝6n＋2.]7．已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.nn　[第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.]8．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为__________.A　[由甲、乙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或B城市，结合丙的回答可得乙去过A城市．]9．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC．证明　∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＞，∴A＞－B，n∵y＝sinx在上是增函数，∴sinA＞sin＝cosB，同理可得sinB＞cosC，sinC＞cosA，∴sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC．10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．(1)证明　∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB．∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)解　∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立．∴cosB的最小值为.[B级　能力提升训练]11．(2018·宁夏银川期末)将正整数排列如下：12　3　45　6　7　8　910　11　12　13　14　15　16…则图中数2016出现在(　　)A．第44行第81列B．第45行第81列C．第44行第80列D．第45行第80列D　[由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1936,452＝2025，且1936＜2016＜2025，所以2016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2016－1936＝80，故2016在第45行第80列．]12．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程n＝x确定x＝2，则1＋＝(　　)A．B．C．D．C　[设1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝.]13．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________.1和3　[由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．]14．(2019·浙江绍兴月考)已知cos＝，coscos＝，coscoscos＝，……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是__________；(2)若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，a3＝coscoscos，…，前n项和Sn＝，则n＝__________.(1)coscos·…·cos＝(n∈N*)　(2)10　[(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为cos·cos·…·cos＝n(n∈N*)．(2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－＝＝，解得n＝10.]15．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解　如图，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝DC·BC，故＋＝＋＝＝＝.在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.则＝＋＋.证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE.∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，＝＋①又易证CD⊥AE，故在Rt△ACD中，＝＋②把②式代入①式，得＝＋＋.16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；n②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解　(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.　证明如下：法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.