2020版高考数学复习专题9平面解析几何第72练双曲线文 6页

第72练双曲线[基础保分练]1.(2018·盐城质检)经过点A(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为________.2.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为________.3.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，若A为线段F1F2的一个三等分点，则该双曲线的离心率为________.4.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于______.5.(2018·无锡模拟)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________.6.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，焦距为2c，以A为圆心，c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝120°，则C的离心率为________.7.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________.8.(2019·苏州模拟)P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2n是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值为________.9.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线C上一点P满足(＋)·＝0，且||·||＝2a2，则双曲线C的渐近线方程为____________.10.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为________.[能力提升练]1.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为________________.2.已知点F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且AF2＝3，BF2＝5，AB＝4，则△BF1F2的面积为________.3.已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)与双曲线－＝1(a2>0，b2>0)有公共的左、右焦点F1，F2.它们在第一象限交于点P，其离心率分别为e1，e2，以F1F2为直径的圆恰好过点P，则＋＝____.4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线C的右焦点F作C的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM与y轴交于点P，且FM＝4PM，则双曲线C的离心率为________.5.若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为__________.n6.已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为__________.答案精析基础保分练1.－＝1　2.　3.3　4.245.解析　根据“黄金椭圆”的性质是FB⊥AB，可得“黄金双曲线”也满足这个性质.如图，设“黄金双曲线”的方程为－＝1(a>0，b>0)，则A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，＝(c，b)，＝(－a，b)，∵FB⊥AB，∴·＝ac－b2＝0，∴ac＝b2＝c2－a2，∴e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，∴“黄金双曲线”的离心率e＝.6.　7.2　8.79.y＝±x解析　根据(＋)·＝0，可知OP＝OF2＝OF1，即△PF1F2为直角三角形.设PF1＝m，PF2＝n，依题意有n根据勾股定理得m2＋n2＝(m－n)2＋2mn＝8a2＝4c2，解得c＝a＝b，a＝b，故双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为y＝±x.10.解析　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则BM＝AB＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为(2a，a).∵点M在双曲线上，∴－＝1，∴a＝b，∴c＝a，e＝＝.能力提升练1.x2－＝1解析　根据题意画出草图如图所示.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝OF＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan60°＝.又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.n2.解析　∵AF2＝3，BF2＝5，又AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，∴AF2＋BF2－AB＝4a＝3＋5－4＝4，∴a＝1，∴BF1＝3，又AF＋AB2＝BF，则∠F2AB＝90°，∴sinB＝，∴＝×5×3×sinB＝×5×3×＝.3.2解析　由椭圆定义得PF1＋PF2＝2a1，①P在第一象限，由双曲线定义，得PF1－PF2＝2a2.②由①②得PF1＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，因为以F1F2为直径的圆恰好过点P，所以∠PF1F2＝90°，所以PF＋PF＝(2c)2，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，所以a＋a＝2c2，所以＋＝2，即＋＝2.4.解析　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，右焦点为F(c,0).过F与渐近线垂直的直线为y＝－(x－c).设M(xM，yM)，P(0，yP)，由可解得xM＝，yM＝，在y＝－(x－c)中，令x＝0，可得yP＝，∵FM＝4PM，∴＝4，n∴－c＝4，整理得5a2＝c2，则e2＝5，∴e＝，即双曲线C的离心率为.5.2解析　设双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，则圆心到该直线的距离d＝＝，根据已知得12＋2＝4，即＝3，所以b2＝c2，所以e＝＝＝＝2.6.12解析　由已知得a＝1，c＝3，则F(3,0)，AF＝15.设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有PF－PF1＝2，所以PA＋PF＝PA＋PF1＋2≥AF1＋2＝17，即点P是线段AF1与双曲线左支的交点时，PA＋PF＝PA＋PF1＋2最小，即△APF周长最小，此时sin∠OAF＝，cos∠PAF＝1－2sin2∠OAF＝，即有sin∠PAF＝.由余弦定理得PF2＝PA2＋AF2－2PA·AF·cos∠PAF，即(17－PA)2＝PA2＋152－2PA×15×，解得PA＝10，于是S△APF＝PA·AF·sin∠PAF＝×10×15×＝12.