小学奥数知识点梳理 13页

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  • 2022-06-21 发布

小学奥数知识点梳理

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小学奥数知识点梳理学而思教材编写组侍春雷前言  小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系(其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题),原则上简明扼要,努力刻画小学奥数知识的主树干。概述一、计算1.四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言:①加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式;②乘除运算中,统一以分数形式。  ⑶带分数与假分数的互化  ⑷繁分数的化简2.简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质\n④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数    形如:3.估算  求某式的整数部分:扩缩法4.比较大小①通分a.通分母b.通分子②跟"中介"比③利用倒数性质    若,则c>b>a.。形如:,则。5.定义新运算6.特殊数列求和   运用相关公式:①②③④⑤⑥⑦1+2+3+4...(n-1)+n+(n-1)+...4+3+2+1=n二、数论1.奇偶性问题奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶2.位值原则\n形如:=100a+10b+c3.数的整除特征:整除数特征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数8和125末三位数是8(或125)的倍数7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数4.整除性质①如果c|a、c|b,那么c|(ab)。②如果bc|a,那么b|a,c|a。③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。5.带余除法一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r当r=0时,我们称a能被b整除。\n  当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q......r,0≤r<ba=b×q+r6.唯一分解定理  任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即       n=p1×p2×...×pk7.约数个数与约数和定理  设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么:n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和:(1+P1+P1+...p1)(1+P2+P2+...p2)...(1+Pk+Pk+...pk)8.同余定理①同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm)②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。9.完全平方数性质①平方差:A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。④平方和。10.孙子定理(中国剩余定理)11.辗转相除法12.数论解题的常用方法:枚举、归纳、反证、构造、配对、估计\n三、几何图形1.平面图形⑴多边形的内角和   N边形的内角和=(N-2)×180°⑵等积变形(位移、割补) ①三角形内等底等高的三角形 ②平行线内等底等高的三角形 ③公共部分的传递性 ④极值原理(变与不变)⑶三角形面积与底的正比关系S1︰S2=a︰b;S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4⑷相似三角形性质(份数、比例)①;S1︰S2=a2︰A2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=(a+b)2⑸燕尾定理   S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△GEC=BE:EC;   S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC;   S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB;⑹差不变原理知5-2=3,则圆点比方点多3。⑺隐含条件的等价代换\n例如弦图中长短边长的关系。⑻组合图形的思考方法①化整为零②先补后去③正反结合2.立体图形   ⑴规则立体图形的表面积和体积公式   ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法   ⑶体积的等积变形①水中浸放物体:V升水=V物②测啤酒瓶容积:V=V空气+V水   ⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题   ⑸染色问题几面染色的块数与"芯"、棱长、顶点、面数的关系。四、典型应用题1.植树问题①开放型与封闭型②间隔与株数的关系2.方阵问题外层边长数-2=内层边长数(外层边长数-1)×4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3.列车过桥问题 ①车长+桥长=速度×时间 ②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间\n ③车长甲+车长乙=速度差×追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和×相遇时间 车长=速度差×追及时间4.年龄问题 差不变原理5.鸡兔同笼 假设法的解题思想6.牛吃草问题 原有草量=(牛吃速度-草长速度)×时间7.平均数问题8.盈亏问题 分析差量关系9.和差问题10.和倍问题11.差倍问题12.逆推问题还原法,从结果入手13.代换问题列表消元法等价条件代换五、行程问题1.相遇问题路程和=速度和×相遇时间2.追及问题路程差=速度差×追及时间3.流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速\n船速=(顺水速度+逆水速度)÷2水速=(顺水速度-逆水速度)÷24.多次相遇  线型路程:甲乙共行全程数=相遇次数×2-1  环型路程:甲乙共行全程数=相遇次数  其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数5.环形跑道6.行程问题中正反比例关系的应用  路程一定,速度和时间成反比。  速度一定,路程和时间成正比。  时间一定,路程和速度成正比。7.钟面上的追及问题。①时针和分针成直线;②时针和分针成直角。8.结合分数、工程、和差问题的一些类型。9.行程问题时常运用"时光倒流"和"假定看成"的思考方法。六、计数问题1.加法原理:分类枚举2.乘法原理:排列组合3.容斥原理:①总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC②常用:总数量=A+B-AB4.抽屉原理:  至多至少问题5.握手问题  在图形计数中应用广泛①角、线段、三角形,②长方形、梯形、平行四边形③正方形\n七、分数问题1.量率对应2.以不变量为"1"3.利润问题4.浓度问题倒三角原理例:5.工程问题①合作问题②水池进出水问题6.按比例分配八、方程解题1.等量关系①相关联量的表示法例:甲+乙=100甲÷乙=3x100-x3xx  ②解方程技巧恒等变形2.二元一次方程组的求解代入法、消元法3.不定方程的分析求解    以系数大者为试值角度4.不等方程的分析求解九、找规律⑴周期性问题\n①年月日、星期几问题②余数的应用⑵数列问题①等差数列      通项公式an=a1+(n-1)d      求项数:n=求和:S=②等比数列求和:S=③裴波那契数列⑶策略问题①抢报30②放硬币⑷最值问题 ①最短线路a.一个字符阵组的分线读法   b.在格子路线上的最短走法数 ②最优化问题   a.统筹方法   b.烙饼问题十、算式谜1.填充型2.替代型3.填运算符号4.横式变竖式5.结合数论知识点十一、数阵问题\n1.相等和值问题2.数列分组  ⑴知行列数,求某数  ⑵知某数,求行列数3.幻方  ⑴奇阶幻方问题:     杨辉法罗伯法  ⑵偶阶幻方问题:双偶阶:对称交换法单偶阶:同心方阵法十二、二进制1.二进制计数法 ①二进制位值原则 ②二进制数与十进制数的互相转化 ③二进制的运算2.其它进制(十六进制)十三、一笔画1.一笔画定理:   ⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点;   ⑵两个奇点进必须从一个奇点进,另一个奇点出;2.哈密尔顿圈与哈密尔顿链3.多笔画定理笔画数=十四、逻辑推理1.等价条件的转换\n2.列表法3.对阵图竞赛问题,涉及体育比赛常识十五、火柴棒问题1.移动火柴棒改变图形个数2.移动火柴棒改变算式,使之成立十六、智力问题1.突破思维定势2.某些特殊情境问题十七、解题方法(结合杂题的处理)1.代换法2.消元法3.倒推法4.假设法5.反证法6.极值法7.设数法8.整体法9.画图法10.列表法11.排除法12.染色法13.构造法14.配对法\n15.列方程⑴方程⑵不定方程⑶不等方程另外补充说明:  在华校课本六年级中有"棋盘上的数学"三讲,其实是找规律类型,知识点涉及棋盘格,几何,数论等,属于综合性问题。

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