[高考]高考数学试卷分析 49页

北京市近五年高考数学试题分析一．在模块的交汇处设计试题“在知识点的交汇处设计试题”，基本确定了高考数学试题命制的理论。这一提法得到了命题专家的认同，更得到了广大中学数学教师的赞许。在这一理论框架指导下，数学试题避免了在难度上大起大落的现象发生，保持了一定的稳定性。纵观北京近五年的高考数学试卷，在这方面的特点尤其显著：二．重点知识与数学思想方法------常考常新高考命题，不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，这是当前高考数学试题的另一个特色。重点知识：是那些在整个高中数学知识体系中的主干；重要方法：就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法。将这些“陈旧”的知识点与思想方法设计成新颖的数学试题，整个试卷才会显得“骨骼强大”、“肌肉丰满”。三．承上启下的明显特点：数学考试，要发挥数学作为基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能。所以高中数学学习既是初中的延续也是大学学习的起点，北京高考数学试题具有这些特点，初、高中知识与方法的衔接，尤其是二次函数、二次方程、二次不等式的结合，因式分解应用，韦达定理在解析几何中的运用。四．擦边球：数学竞赛中的思想和方法49\n高考是一种选拔性的考试，这就决定了以能力为意的命题原则。新的课程标准提倡不同的人学不同的数学，那么数学科考试也应该有“不同的人考不同的数学”的特点，这类题目就是俗称的“压轴题”。近几年，北京数学试卷的“压轴题”往往与数学竞赛中的思想与方法相关联：49\n北京市近五年高考数学试题分析三角函数部分（06年高考）已知函数．（I）求的定义域；（II）设是第四象限的角，且，求的值．解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),故f(x)的定义域为｛|x|x≠kπ+,k∈Z｝.(Ⅱ)因为tanα=,且α是第四象限的角,所以sinα=,cosα=,故f(α)====.【解析】本题第一问考察的是三角函数图像，利用图像求定义域问题。第二问考察了三角函数求值，象限角符号以及二倍角的应用。本题属于简单题，主要是考察简单的运算能力。（08年高考）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．解：（Ⅰ）．49\n因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以．因此，即的取值范围为．【解析】本题第一问主要是考察诱导公式，正弦余弦二倍角公式，周期公式及化简。第二问考察的是三角函数图像求值问题。（09年高考）在中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m49\n又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面积【解析】本题问中主要考察解三角形三个内角和为180度，转换成已知角求未知角问题，还有三角函数的基本运算公式。第二问中主要是正弦定理及三角形面积公式的应用。属于简单题。（10年高考）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值解：（Ⅰ）=（Ⅱ）[来源:学_科_网]因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。【解析】考察了三角函数值的知识及利用诱导公式求值问题。第二小题考察了利用二倍角公式化简问题，根据三角函数值求值问题。主要考察的是三角函数的基本运算能力。【总结】：1.49\n.知识点：近五年三角函数考察的知识点大概有诱导公式，象限角，正余弦函数图像性质及转换，正余弦两角和与差公式，二倍角公式，三角函数求值，正余弦定理，三角形面积公式等。1.分析：函数的解答题大致分为两方面，一种是解三角形问题，这其中主要注意的就是三角形内角和，利用正余弦定理解题，计算量较多。第二类问题就是求值问题，已知三角函数值求值，代入解析式求值，以及化简求值，利用图像求值几种。2.建议：在已知正弦，余弦，正切中一个，求另外两个三角函数值主要是公式的应用，还有注意象限角符号。在化简中经常用到二倍角公式以及两角和差的正余弦公式。图像中就是图像的转换，上加下减，左加右减，上下伸长压缩，左右身长压缩等，观察函数的最大值最小值。三角函数题主要是利用基础知识来解题，因此掌握基本知识非常重要。北京市近五年高考数学试题分析立体几何部分1.(2006北京卷理)（17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的大小.解法：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD上的射影.又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，49\n∴AC⊥PB.（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点又E是PD的中点∴EO∥PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC.（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为,=.又是二面角的平面角二面角E-AC-B的大小为.【考查内容】本题主要考查两条异面直线垂直的证明、直线与平面平行的判定、平面与平面所成二面角等知识。2.(2007北京卷理)16．（本小题共14分）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（I）求证：平面平面；（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；（III）求与平面所成角的最大值．解法：（I）由题意，，，49\n是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．在中，，，．又．在中，．异面直线与所成角的大小为．（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．【考查内容】49\n本题主要考查平面和平面垂直的判定、两异面直线所成的角、直线与平面所成角等基础知识，考查学生运算能力和推理论证能力．3．(2008北京卷理)16．（本小题共14分）ACBP如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．解法：（Ⅰ）取中点，连结．ACBEP，．，．，平面．平面，．（Ⅱ），，．又，49\n．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．ACBDPH在中，，，，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．49\n在中，，，．．点到平面的距离为．【考查内容】本题主要考查两异面直线垂直的证明、两平面所成二面角面所成角，点到平面距离，棱锥体积等知识。4.（2009北京卷理）（本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.解法：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，49\n∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.【考查内容】本题主要考查直线和平面垂直的判定、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力．5.（2010北京卷理）16（本小题共14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF49\n所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。解法：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=，AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，，1）。所以=（，，1），=（0，－，１），＝（－，0，１）。所以·=0-1+1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x,y,z）,则·=0，·=0。即49\n所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=（），从而cos（，）=因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。【考查内容】本题主要考查直线和平面平行的判定、直线与平面垂直的判定、二面角等基础知识，考查空间向量和运算能力。总结1.知识点：此部分是高中数学必修2中的内容，近几年高考中立体几何部分主要考查在简单几何体中证明线面垂直关系.线面平行关系。直线和平面平行关系、主要通过线面垂直的。判定定理、性质定理，线面平行的判断定理、性质定理来推理证明。同时异面直线垂直的证明和平面与平面垂直和平行的证明也会有不同程度的考查。求异面直线所成的角、两平面所成二面角的大小也是主要考查的内容。偶尔也会考查几何体的表面积和体积。2.分值分析：立体几何部分的考查主要处于第二道大题的位置，有时选择题和填空题中也会有相应的考查，分值基本在13～19分之间,占总分的10%左右.3.学习建议:此题型属于容易题，是应得分的题。学生在学习过程中应注意对各判定定理和性质定理的理解，在理解的基础上加强其应用，拓展空间想象力，最重要的是运用空间向量解决二面角的问题，计算一定要准确。49\n北京市近五年高考数学试题分析概率部分2010年(17)(本小题共13分)www.@ks@5u.com某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ。（17）（共13分）www.@ks@5u.com解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知，，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，（II）由题意知整理得，49\n由，可得，.（III）由题意知===2009北京卷理（5）（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为49\n.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），∴，∴即的分布列是02468∴的期望是.2008年17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．17．（共13分）49\n解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则．所以，的分布列是132007年18．（本小题共13分）1231020304050参加人数活动次数某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．49\n（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．2007年18．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知；；的分布列：01249\n的数学期望：．2006年（18）（本小题共13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）（18）（共13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则（Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率应聘者用方案二考试通过的概率49\n.（Ⅱ）因为,所以故,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大.一:综述，概率与统计试题在解答题中位于17题或18题，属于中等难度试题，分值为13分，多数与实际生活密切相关，比如岗位分配，人员安排，产品检验，及其他数据统计类型，要求考生熟悉生活中一些基本常识，具备将文字转化为数学语言的能力，运用合理的概率类型求解。二：考察知识点互斥事件，相互独立事件，对立事件，离散型随机变量的分布列，数学期望，独立重复实验，排列组合与概率结合。其中相互独立事件，对立事件，分布列和数学期望属于必考知识点。相互独立事件，要求考生认识到各个事件之间彼此没有影响，但计算时要考虑全面，不可顾此失彼。对立事件，一般有标志词语，比如”至少，至多，不。。。。。。“49\n计算概率时可用1减去其对立事件的概率。离散型随机变量的分布列属于每年必考类型，要求考生正确选择随机变量的取值，不能多也不能少，计算每一个变量对应的概率都必须准确，要求熟记期望的计算公式，结果准确无误。独立重复试验，要求概率不变，各个事件彼此独立，要牢记其公式及期望np与排列组合结合试题要求排列组合运用准确，分开部分与总体的事件总数，排列与组合的数值不能出错。三：注意事项1.做题之前仔细审题，读懂题意，很多人概率题失分都是因为误解题意。2.文字表述必须完整准确，不能光秃秃几个数值，否则造成无谓的失分。3.计算分布列时可以根据概率和为1检验，如果有问题及时改正。4.有时会出现统计学知识，要熟记几个统计学名词及含义，如平均数，方差，频率分布直方图，茎叶图，众数，中位数，总体及样本，频数与频率北京市近五年高考数学试题分析导数部分06北京1649\n已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上,在(1,2)上,在上,故在,上递增,在(1,2)上递减,因此在处取得极大值,所以.(Ⅱ)由得解得解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设又所以由,即得,所以.49\n06年北京卷的函数题是近几年最为简单的一次，放在大题第二题也是近五年最靠前的一次。本题主要考察利用导数研究函数单调性和极值，但对导数知识的考察比较到位，比较全面，但都是基础知识，不需要特殊技巧。本题提醒我们应注重基础，对基础知识和主干知识要提起足够的重视。07北京19如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是49\n的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．07年的函数题是以函数应用的形式出现的，是近五年唯一的一次，但问题的情境数学味浓了些，并不像有些外省那样接近生活，题目本身难度不大，只要学生有基本的数学建模能力正确解答本题不存在大的困难，但笔者认为这年还是比较成功的尝试，因为随着新课标的实施，数学越来越强调学以致用，学生要注意这方面的训练。08北京18已知函数，求导函数，并确定的单调区间．解：．令，得．当，即时，的变化情况如下表：49\n0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．08年的题目的题干非常简洁，看似很简单，但从考后得分统计来看并不是很理想，很多同学求导没有做对，也有些同学不知如何讨论，或讨论的不全。本题所涉及的知识点也很简单，主要是求导运算和利用导数研究函数的单调性，和分类讨论思想的应用。09北京18设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。49\n解（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是09年的导数题总体比较简单，前两问主要考察了复合函数求导，利用导数求函数单调性，和分类讨论，而第三问也只是简单的求参数的范围。在函数中属简单问题，得分情况好于08年，基础好的学生中等都应得满分。49\n10北京18已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。解：（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.49\n所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是08,09,10，三年的函数题都是考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．考查的知识点和数学思想相对固定，体现了高考考查基本方法，基本技能，稳中求变的出题原则，这三年的函数题基础知识扎实的同学得分情况会比较理想。总之近五年的函数题以考察导数的相关知识为主，分值13分或14分，是必考题型，难度中等偏难，一般放在第四道大题，解答本道大题要求学生理解导数的基本概念，掌握利用导数研究函数的单调性和极值的常用方法，熟练掌握常见函数的导函数，导数的运算法则。另外分类讨论思想近三年每年都有涉及，要注意分类讨论在函数题型的应用。学习建议：学生要熟练掌握常见函数的导函数和导数的求导法则，不在运算上出错；深入理解导函数和原函数的关系，注意问题的转化；对分类讨论思想要多练习多思考，避免对而不全的现象发生。北京市近五年高考数学试卷分析解析几何部分纵观2006—2010年北京卷解析几何考题内容，突出了对主干知识的考查，稳中有变，稳中有新，注重数学思想方法的考察；同时又考察了考生的综合能力，具体体现在以下几个方面：49\n一、突出主干知识，没有偏题、生题19（2006年）、已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解法一：（Ⅰ）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.又半焦距c=2。故虚半轴长b=，所以W的方程为（Ⅱ）设A、B的坐标分别为（x1y1），（x2y2）.当轴时，，从而。当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得，故所以又因为，所以，从而.49\n综上，当轴时，取得最小值2.解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设、的坐标分别为，则令，则，且，，所以当且仅当，即时“=”成立.所以的最小值是2.主要考察了双曲线定义、直线与双曲线的位置关系等基础知识，同时又考察了圆锥曲线与向量函数的综合问题17（2007年）、矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，49\n所以边所在直线的方程为．．（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．考察了直线和圆，重点考察了两直线的垂直关系、两点间距离公式、两条直线的交点、轨迹方程等知识点19（2008年）、已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．49\n因为四边形为菱形，所以．于是可设直线的方程为．由得．因为在椭圆上，所以，解得．设两点坐标分别为，则，，，．所以．所以的中点坐标为．由四边形为菱形可知，点在直线上，所以，解得．所以直线的方程为，即．（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，所以．所以菱形的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当时，菱形的面积取得最大值．49\n考察了两条直线垂直关系、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、设而不求方法及函数最值等基础知识和方法，这些都是课堂上老师重点强调的内容。但此题目有个大陷阱，稍不谨慎就掉进去，菱形不是所有顶点都在椭圆上！而且第一问就考查直线与圆锥曲线的位置关系，有一定难度；第二问结合几何、函数等内容，不容易！所以此题得分率不是很高，比2007年有难度19（2009年）、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（I）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解法一：（Ⅰ）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m圆在点处的切线方程为，化简得.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m49\n由及得，∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∵，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.∴的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点在圆上，49\nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m圆在点处的切线方程为，化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴，∴的大小为..w.k.s.5.u.c.o.m（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.主要考察圆锥曲线的离心率、准线等基本量，及双曲线的标准方程、圆的切线方程、利用向量求角度等基础知识和方法，考察曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考察推理运算能力19（2010年）、49\n在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积又直线的方程为，，点到直线的距离.49\n于是的面积当时，得又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.49\n主要考察球轨迹方程等基础方法，直线和椭圆，考察了设而不求的常规思路，但由于运算量大，容易使学生产生为难情绪，突出数学思想方法的考察一、突出数学思想方法的考察纵观2006—2010年解析几何考题，分别考察了设而不求方法、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等二、注重对学生综合能力的考查通过对五年解析几何试题的分析，对学生能力的考查主要体现在运算能力、推理能力、分析问题和解决问题的能力，例如2010年考题计算量较大，强化数学思维和计算能力，是区分度较高的题，能将优秀学生与普通学生区分开来总之，通过对2006—2010年解析几何试题浅析，对广大师生提出一点建议：一是在2011年对解析几何进行复习时，仍然重视对基础知识、基本方法，常规思路要夯实；二是对于直线和圆锥曲线的位置关系在应用时不但要理清思路，作为老师一定要亲力亲为，一定要和学生一起运算，让学生真正学会、体会计算技能与技巧，不要把大量的计算扔给学生！三是对于圆锥曲线与不等式、函数、向量等知识的联系，一定要分类琢一分析，一定让学生把这类题的思路和计算方法学得其精髓，领会其精神。祝愿全体考生在今年的考试中能看清历史，把握未来，抓住现在。北京市近五年高考数学试题分析数列部分2006年（20）（本小题共14分）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.49\n（20）（共14分）（Ⅰ）解：,（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,,即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，的极限不存在.当时,,所以（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而当时,;当时,即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与()矛盾.从而必有零项.若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值0，,,即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项.2007年20．已知集合，其中，由49\n中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；（II）对任何具有性质的集合，证明：；（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．20．（共13分）（I）解：集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合和是，．（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素的个数最多为，即．（III）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与49\n中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由（1）（2）可知，．2008年20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；49\n（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．20．（共13分）（Ⅰ）解：，，；，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，，，，，从而．又，所以，故．（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则．49\n当存在，使得时，若记数列为，则．所以．从而对于任意给定的数列，由可知．又由（Ⅱ）可知，所以．即对于，要么有，要么有．因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．即存在正整数，当时，．2010年（20）（本小题共13分）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：，且;（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).49\n证明：（P）≤.（20）（共13分）www.@ks@5u.com证明：（I）设，，因为，，所以,www.@ks@5u.com从而又由题意知，，.当时，;当时，所以(II)设，，，，.记，由（I）可知所以中1的个数为，的1的个数为。设是使成立的的个数，则49\n由此可知，三个数不可能都是奇数，即,,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于所以从而纵观北京市2006—2010年高考试卷数列部分，本人有如下观点，写出来以求抛砖引玉吧。一．题型新颖，年年有创新。第一问设置题型都是新定义数列，对学生平时学习提高了自学的能力要求，年年都是新定义，但年年题不同。二.入手容易得高分难，具有很强的区分度。考题第一问较易，大部分学生都能完成。2006年举出符合新定义的前十项。2007-2010年判断给定的数列是否具有某性质。第二问.第三问难度较大，灵活性较强，能有效区分不同层次学生群体。49\n三.稳重有变，适度创新，凸显学科能力。2006-2010年第一问都是新定义，但定义的角度不同。无论是题目条件的叙述.设问的方式.解题的方法都符合一道良好把关题的要求。四.关注特点，发展思维数学高考要求关注数学的学科特点，而概念性强，充满思辨性，应用的广泛性是数学学科的主要特点。如：2008年第20题对概念的理解有较高的要求，要完成本题的求解，没有思辨的能力，没有清晰的概念，没有应用意识是万万不行的。设计这样的试题与“多考一点想，少考一点算”命题要求是合拍的，它可以有效的检测考生的理性思维水平。2011年高考命题趋势和备考建议：明年北京市将进入新课标高考的第二年，从2010高考试题上来看，可以肯定的是明年高考在命题风格，题型设置，核心考点上都没有太大变化，一定会是平稳过渡。针对2011年高考备考我提一下建议：1、 紧扣课本，课本是高考复习的根本，是高考命题的源泉，因此教材的作用不可忽视！2、 重视基本概念，基本思想，基本方法的学习。基本概念，就是指定义，定理的涵义和延伸，比如说映射函数充要条件等等49\n；基本思想，即我们在高中阶段要学会分类讨论，数形结合，方程与函数的思想方法，并将这些数学思想方法转化成数学手段来解决实际问题；基本方法，比如在解析几何里的动点问题我们可以考虑消参法，数列中的构造法，不等式证明中的放缩法，等等，这都是很好的方法，在备考中通过掌握这一种方法就可以很顺利做一类题目，触类旁通，举一反三！只有我们在平时不断积累，就能不断进步，高考中就会得心应手，游刃有余！3、 重视高考的第二、三的轮复习，第二轮复习要做重大调整，要将各个模块知识重新组合成若干专题，避免“深挖洞”：控制难度，应该“广积粮”：进行模块的交叉与综合。要注重模块的综合与交叉。从北京市近五年试题来看，在模块的交汇处命制的题目不一定是难题，甚至是命题专家眼中的“容易题”，所以同学们要进行针对性训练，不要让这种“容易题”成了同学们升学道路上的“拦路虎”。4、 养成做笔记的习惯，第一轮复习基本上结束，在二轮复习中记笔记无疑是提高效率最有效的方法，我们的笔记应该包含以下几个部分：（1）专题训练（哪些不太容易学会在考试可以拉开差距？）（2）典型例题分析（考点，方法，易错点引伸和变形）（3）错题分析（为什么错？错在哪？启示和教训）（4）本章小结（高考命题趋势，考察形式等）。5、 要有吃苦的准备，坚持到底。高考就像是场马拉松，能坚持到底的就成功了一大半，高考复习过程枯燥、艰辛，以此要经常自我激励，自我鼓舞，遇到困难要及时解决，切忌半途而废！49\n希望以上建议能对同学们有所帮助！祝即将经历高考的同学们满怀信心，2011高考圆梦！49