《走向高考》高考总复习·数学 55页

Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n命题预测：本章内容高考命题形式比较稳定，难易适中，每年都是1～2道选择题，1道填空题，1道解答题，具体地说：1．利用组合选考查空间概念．所谓组合选就是将多重选择题进行组合，改编成单选题．利用组合选考查直线与平面的位置关系，可以使试题更全面地考查立体几何的基础知识和基本方法．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2．以多面体为载体，重点考查空间距离和角．因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质，又能够考查空间的线面关系，并将论证和计算有机地结合在一起，可以比较全面、准确地考查学生的空间想象能力、思维能力以及分析问题和解决问题的能力．3．利用开放题检测考生的素质和能力．在连续两年的高考立体几何填空题中都出现了开放题．这种题型在考查考生思维能力、推动素质教育健康发展的过程中具有独特的功效和导向作用，应予以重视．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n4．以多面体和旋转体为载体，重点考查直线和平面的位置关系、几何体中角和距离的计算以及体积的求法和应用．5．要重视立体几何中的最值问题．这类问题综合性强，对能力要求较高，可以全面地考查考生的数学基础知识和数学素质．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n备考指南：本章的定义、定理多，要注意把握主要知识的系统化，在本章复习中要注意以下几点：1．归纳总结，理线串点，从知识上可分为：①平面的基本性质；②两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；③三个角、三个距离，根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2．抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关．因此对于这部分内容复习时要强化．3．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想(即化空间问题到平面图形中去解决)，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，这些无不体现着化归转化的思想．因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\nEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n●基础知识一、平面的基本性质平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，即三个公理和公理3的三个推论．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且所有这些公共点的集合是．所有的点过这个公共点的一条直线Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n公理3：经过不在同一条直线上的三点，，即不共线的三点．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，．推论2：经过两条相交直线，．推论3：经过两条平行直线，．有且只有一个平面确定一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面有且只有一个平面Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n二、空间两条直线(1)空间两条直线的位置关系有．(2)平行直线①公理4：平行于同一条直线的两条直线．②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)．相交、平行、异面互相平行这两个角相等相等Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(3)异面直线①定义：叫做异面直线．②两条异面直线所成的角(或夹角)对于两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．若两条异面直线所成的角是，则称这两条异面直线互相垂直．异面直线所成的角的范围是(0，]．不同在任何一个平面内的两条直线锐角(或直角)直角Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n③两条异面直线的距离：，叫做两条异面直线的公垂线．，叫做两条异面直线的距离．和两条异面直线都垂直相交的直线两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n●易错知识一、异面直线判断失误1．设a，b是异面直线，给出下列命题：①存在平面α、β使a⊂α，b⊂β，α∥β.②存在唯一平面α，使a，b与α距离相等．③对任意的相异两点A、B(A∈a，B∈a)，相异两点C、D(C∈b，D∈b)，直线AC与BD是异面直线．④存在直线c，使c上任一点到a，b的距离相等．其中，正确的命题为________．答案：①②③Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n二、异面直线所成的角的范围出错2．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，则AD、BC所成的角为______．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n解题思路：取BD的中点G，连结EG、GF，则EG∥AD，GF∥BC，故∠EGF是AD与BC所成的角(或其补角)．在△EGF中，∴∠EGF＝120°，故AD与BC所成的角为60°.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n失分警示：根据异面直线所成的角的定义，选点平移线是解决问题的关键，而学生在选点方面出现问题对解决该题就会带来困难，另一方面知识模糊，误把120°看成异面直线所成的角．答案：60°Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n●回归教材1．空间四点中，无三点共线是这四点不共面的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n解析：若四点中无三点共线，则可能四点共面．如在互相平行的两条直线a、b上各取两点，则这四点共面，但三点不共线；反之若四点不共面必有无三点共线的情况．答案：BEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n2．(教材P112题改编)在空间内，可以确定一个平面的条件是()A．两两相交的三条直线B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C．三个点D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点解析：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面；对于B，可确定一个平面、两个平面或三个平面；对于C，可确定一条直线或一个平面；对于D，可确定一个平面．答案：DEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n3．(教材P83题改编)已知命题：“直线a上两点A、B在α内”，那么与命题等价的命题是()A．a⊄αB．平面α与直线a相交C．直线a上只有这两个点在平面α内D．直线a上所有的点都在平面α内解析：由公理1可知，选D.答案：DEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n4．(教材P183题改编)空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结各边中点所得四边形为()A．梯形B．矩形C．正方形D．平行四边形Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n∴EF綊GF，∴四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，而EF∥AC，EF∥BD，∴EH⊥EF，∴四边形EFGH为矩形．又AC＝BD，EF＝AC，EH＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为正方形．答案：CEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若M为棱BB1的中点，则异面直线B1D与AM所成角的余弦值为________．解析：设底面ABCD的中心为O，连结MO，则MO∥B1D，∴∠AMO即为所求角或其补角．设正方体棱长为2，则B1D＝Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n∴AM2＝OM2＋AO2，∴∠AOM＝90°(也可用三垂线定理证得)．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【例1】(2008·辽宁，11)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n[命题意图]本题考查空间想象能力及立体几何中的基本思想，本题对空间想象能力要求较高，对于K、M、N共线的证明，用推理论证的方法很难找到思路，因此可借助空间直角坐标系中两点间的距离公式证明三点共线．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n[解析]方法一：在A1D1上任取一点P.过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1、EF、CD都相交．故选D.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n方法二：分别在异面直线A1D1、CD上各任取一点M、N，则线段MN的中点的轨迹构成一个平面α，显然直线EF在平面α内．在EF上任取一点P，点P和直线A1D1确定的平面与直线CD交于点Q，显然直线QP与直线A1D1必有交点R，即这样的直线有无数条．故选D.[答案]DEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2009·湖南，6)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6答案：C解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．[分析](1)要证E、C、D1、F四点共面，可由这四点连成两条直线，证明它们平行或相交即可；对于(2)中证三点共线，可证两条直线的交点在第三条直线上．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n[证明](1)如右图，分别连结EF、A1B、D1C.∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴EF又∵A1D1綊B1C1綊BC，∴A1D1CB是平行四边形．∴A1B綊CD1，从而EF∥CD1.故E、C、D1、F四点共面．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)∵EF綊A1B，A1B綊CD1，∴EF綊CD1，∴直线D1F和CE必相交，令D1F∩CE＝P，∵D1F⊂平面A1ADD1，P∈D1F，∴P∈平面A1ADD1.同理P∈平面ADCB，又平面A1ADD1∩平面ADCB＝AD，∴P∈AD，故CE、D1F、DA三线共点．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2000·全国高考题)求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内．解析：已知a、b、c、d四条直线不共点但是两两相交，求证：a、b、c、d共面．a、b、c、d四条直线或者有三条共点或无三条共点，分两种情况证：Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(1)设有三条直线共点，不失一般性，可设此三条直线为a、b、c，它们均过P点(如下图甲)，此时d必不过点P(因四线不共点)因此过d和点P可以确定一个平面α，再设法证明其它三条直线a、b、c均在α内即可．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)设没有三条直线共点(如图乙)∵a∩b＝Q，∴a与b可确定一个平面β.再设法证明其余两线c、d均在β内即可．证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点P∉直线d.∴直线d和其外一点P可以确定一个平面α.又a∩d＝C，∴C∈α且点P∈α.∴直线a⊂平面α，同理可证：直线b上有两点B、P在平面α内，∴b⊂平面α，∴c⊂平面α，∴a、b、c、d四线共面．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点．∵a∩b＝Q，∴a与b可以确定一个平面β.又∵c∩b＝E，E∈b，又b⊂平面β，∴E∈β，同理c∩a＝F，∴F∈a，又a⊂平面β，∴F∈β.∴直线c上有两点E、F在β上，∴c⊂平面β.同理可证d⊂平面β，故a、b、c、d四线共面β.由(1)、(2)可知：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【例3】(2008·上海四校联测)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a，(1)求证：MN∥平面ADD1A1；(2)求异面直线AE和CD1所成角的余弦值．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n[解析](1)证明：取CD的中点K，连结MK，NK.∵M，N，K分别为AK，CD1，CD的中点，∴MK∥AD，NK∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1，∴面MNK∥面ADD1A1，又∵MN⊂面MNK，从而MN∥面ADD1A1.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)取A1D1的中点F，连结AF，EF，则D1F綊CE，从而四边形CEFD1为平行四边形，∴EF∥CD1，∴∠AEF为异面直线AE和CD1所成的角(或其补角)．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2008·北京崇文)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、C1D1的中点，则异面直线AB1与EF所成的角的大小为______________．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n答案：60°解析：取DD1的中点M，连结FM，则FM∥AB1，∴∠MFE为所求异面直线所成的角，又E为A1D1中点，∴△EFM为等边△.∴∠MFE＝60°.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2008·桂林重点)异面直线a，b成80°角，P为a，b外的一个定点，若过P有且仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于α，则角α属于集合()A．{α|0°＜α＜40°}B．{α|40°＜α＜50°}C．{α|40°＜α＜90°}D．{α|50°＜α＜90°}答案：BEvaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n解析：将两异面直线平移到P点，如图所示：a′，b′相交成80°，100°两对角．直线m、n为两对角的平分线，l为a′，b′确定平面的垂线，由图显见：过P作直线与两直线成40°角有一条，40°～50°之间有2条，50°有3条，50°～90°有4条．故选B.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n【例4】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a.求：(1)AB与B1C所成的角；(2)AB与B1C间的距离；(3)AB与B1D间的距离．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n[命题意图]主要考查异面直线所成的角及异面直线间的距离．[解答](1)∵AB∥CD，∴∠B1CD是AB与B1C所成的角．∵DC⊥平面BB1C1C，∴DC⊥B1C.于是∠DCB1＝90°，∴AB与B1C所成的角为90°.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)连BC1交B1C于O，则BO⊥B1C.又AB⊥平面BB1C1C，∴AB⊥BO.∴BO是异面直线AB和B1C的公垂线段，易得BO＝即AB与B1C间的距离为Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(3)∵AB∥DC，AB⊄平面B1DC，DC⊂平面B1DC，∴AB∥平面B1DC，从而AB与平面B1DC间的距离即为AB与B1D间的距离．∵BO⊥B1C，BO⊥CD，B1C∩DC＝C，∴BO⊥平面DB1C∴BO的长为B到平面B1DC间的距离．∵BO＝∴AB与B1D间的距离为Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n[总结评述]本题涉及的异面直线夹角与距离的求法是常用方法．这种“等价转化”的思想方法是数学中重要思想方法之一，也是考查的重点内容．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n如右图，在棱长都为a的四面体ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点．(1)求证：EF是AD和BC的公垂线，并求EF的长；(2)求异面直线AF与CE所成的角．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n解析：(1)连结BE，∵ABCD是正四面体，E为AD的中点，∴BE＝CE.又F为BC中点，∴EF⊥BC，同理EF⊥AD.∴EF为AD和BC的公垂线．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n(2)取FD的中点G，则EG∥AF，连结CG.∴∠CEG为异面直线AF与CE所成的角.故异面直线AF与CE所成的角为arccos.Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n1．对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确地表述．2．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n3．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线平行、相交不可能或证明两线共面不可能，从而可得两线异面．Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.\n请同学们认真完成课后强化作业Evaluationonly.CreatedwithAspose.Slidesfor.NET3.5ClientProfile5.2.0.0.Copyright2004-2011AsposePtyLtd.