[高考]高考数学--函数相关题目总结 39页

http://www.beti-size.com百析网高考数学新题型选编（共70个题）1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值;（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）定理:若均为正数,则有成立(其中．请你构造一个函数，证明：当均为正数时，．解：（Ⅰ）令得…2分当时，　　故在上递减．当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分（Ⅱ）由，有　即故　．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证：只要证：设…………………7分则令得…………………………………………………….8分当时，39\nhttp://www.beti-size.com百析网故上递减，类似地可证递增所以的最小值为………………10分而===由定理知:故故即:.…………………………..14分2、用类比推理的方法填表等差数列中等比数列中答案：3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于A．nB．n+1C．n-1D．答案：D39\nhttp://www.beti-size.com百析网4、若为的各位数字之和，如：，，则;记____答案：55、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。aaaaaaaaaa（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；（3）求点D到面SEC的距离。（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分SABCDEFGH证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD……………………5分（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，则GF//EA,GF=EA,AF//EG而由SA面ABCD得SACD，又ADCD，CD面SAD，又SA=AD,F是中点，面SCD,EG面SCD,面SCD所以二面角E-SC-D的大小为90…………10分39\nhttp://www.beti-size.com百析网(3)作DHSC于H，面SEC面SCD,DH面SEC,DH之长即为点D到面SEC的距离，12分在RtSCD中，答：点D到面SEC的距离为………………………14分6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。解（1）（2）先用累乖法得得39\nhttp://www.beti-size.com百析网7、在△ABC中，，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10：②△ABC面积为10：③△ABC中，∠A=90°：则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号、、填入）答案：8、已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.x123f（x）231x123g（x）132填写下列的表格,其三个数依次为x123g(f（x）)A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1答案：D9、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当时，；当时，。39\nhttp://www.beti-size.com百析网则函数的最大值等于（C）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A.B.1C.6D.1210、已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则_____________；使成立的x的取值范围是_____________答案：211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上”这个课题，我们可以分三步进行研究：（I）首先选取如下函数：，，求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：与其反函数的交点坐标为（－1，－1）与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1）与其反函数的交点坐标为（），（－1，0），（0，－1）（II）观察分析上述结果得到研究结论；（III）对得到的结论进行证明。现在，请你完成（II）和（III）。解：（II）原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线y＝x上2分（III）证明：设点（a，b）是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y＝x对称，则点（b，a）也是的图象与其反函数图象的交点，且有39\nhttp://www.beti-size.com百析网若a＝b时，交点显然在直线上若a2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W10)上变化，求x2+2y的最大值；（3）由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。解：（1）（4分）（2）根据得（5分）（7分）39\nhttp://www.beti-size.com百析网（10分）（2）不能（11分）如再加条件就可使之间建立函数关系（12分）解析式（14分）（不唯一，也可其它答案）32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是。33、已知，记，（其中），例如：。设，且满足，则有序数组是。34、（12′=9′+3′）（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；39\nhttp://www.beti-size.com百析网表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，又不等式对任意恒成立，∴，即，∴。（2）一个解集为的不等式可以是。（文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，又不等式对任意恒成立，∴，即，∴。（2）一个解集为的不等式可以是。35、（理）已知为正常数。（1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；39\nhttp://www.beti-size.com百析网（2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；（3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。（2）在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，即，又∵∴，即时，，又∵，∴。综上，得。易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。故猜测：时，单调递减；时，39\nhttp://www.beti-size.com百析网单调递增。（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。如对，，此时，即。（文）已知函数，，（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（Ⅰ）当时，，若，，则在上单调递减，不符题意。故，要使在上单调递增，必须满足，∴。（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。又取最小值时，，依题意，有，则39\nhttp://www.beti-size.com百析网，∵且，∴，得，此时或。∴满足条件的实数对是。（Ⅲ）当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，，此时，，故。36、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义为数列{an}的“凯森和”，如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”=991。37、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知，，求证，证明：构造函数因为对一切xÎR，恒有≥0，所以≤0,从而得，（1）若，，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。解：（1）若，，求证：(4¢)39\nhttp://www.beti-size.com百析网（2）证明：构造函数(6¢)(9¢)(11¢)因为对一切xÎR，都有≥0，所以△=≤0,从而证得：.(14¢)38、已知两个向量，.（1）若t=1且，求实数x的值；（2）对tÎR写出函数具备的性质.解：（1）由已知得……2分……4分解得，或……6分（2）……8分具备的性质：①偶函数；②当即时，取得最小值（写出值域为也可）；③单调性：在上递减，上递增；由对称性，在上递增，在递减……14分说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（，）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分39、对于集合N={1,2,3,…,n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对39\nhttp://www.beti-size.com百析网n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=n.2n–1。(不必给出证明)40、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有=。41、已知（1）,求的最小值（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质由可抽象出由可抽象出(1)…………3’等号当x=2时成立，…………………………4’(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)………………………………………………5’由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)………………………………８’39\nhttp://www.beti-size.com百析网(3)h(x)=_______y=2x等_______,９’φ(x)=____y=lgx等__11’42、已知函数的最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，。（3）若函数中，，是（2）中较大的一组，试写出在区间[,n]上的最大值函数的表达式。答案：（1）∵，配方得，由得最大值。……………………………………………………………3分∴，。…………………………6分（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。则。…………………………………………………9分②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则…………………………………………………………………………12分（3）由（2）知…………………………13分………………………………………………18分39\nhttp://www.beti-size.com百析网1A1A2A3A4A5B1B2B3B4BnAnAn+1234nxOy…43、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b=,例如：1*2=1，3*2=2，则函数的值域为。44、已知点列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）顺次为一次函数图象上的点，点列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形。⑴求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由。解：（1）(nÎN),yn+1-yn=,∴{yn}为等差数列(4¢)（2）xn+1-xn=2为常数(6¢)∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6,,…，x2n都是公差为2的等差数列，∴x2n-1=x1+2(n-1)=2n-2+a，x2n=x2+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，∴xn=(10¢)（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则|AnAn+1|=2=2()Þxn+1-xn=2()当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).Þ2(1-a)=2()Þa=(n为奇数，0＜a＜1)(*)取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则(*)无解；(14¢)当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a.∴2a=2()Þa=(n为偶数，0＜a＜1)(*¢)，取n=2，得a=,39\nhttp://www.beti-size.com百析网若n≥4，则(*¢)无解.综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、.(18¢)45、⑴证明：当a＞1时，不等式成立。⑵要使上述不等式成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由。⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，且给予证明。解：（1）证：,∵a＞1，∴＞0，∴原不等式成立(6¢)（2）∵a-1与a5-1同号对任何a＞0且a¹1恒成立，∴上述不等式的条件可放宽为a＞0且a¹1(9¢)（3）根据（1）（2）的证明，可推知：若a＞0且a¹1，m＞n＞0，则有(12¢)证：左式-右式=(14¢)若a＞1，则由m＞n＞0Þam-n＞0,am+n＞0Þ不等式成立；若0＜a＜1，则由m＞n＞0Þ0＜am-n＜1,0＜am+n＜1Þ不等式成立.(16¢)46、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：加密密钥密码发送解密密钥密码明文密文密文明文，现在加密密钥为y=loga(x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密后得到明文为14。47、规定a△b=，a,b，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为(1,+¥)48、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语39\nhttp://www.beti-size.com百析网言描述为：若有限数列满足，则（结论用数学式子表示）.和49、已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？[解]（1）.……4分（2），……8分，当时，.……12分（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.……14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.……16分研究的结论可以是：由，依次类推可得39\nhttp://www.beti-size.com百析网当时，的取值范围为等.……18分50、定义一种运算“*”，对于，满足以下运算性质：①；②。则的数值为_____3004_____。ABCDA1B1C1D151、已知命题：平面上一矩形的对角线与边和所成角分别为，则。若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题形式：_________________________________________________________________________。长方体中，对角线与棱所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角线与平面所成的角分别为，则，。或是：长方体中，对角面与平面所成的二面角分别为，则。52、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．(1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式；(2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3)设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．(1)解：由等方差数列的定义可知：………………5分(2)证法一：∵是等差数列，设公差为，则39\nhttp://www.beti-size.com百析网又是等方差数列，∴………………………………7分∴即，…………………………………10分∴，即是常数列．…………………………………………………11分证法二：∵是等差数列，设公差为，则……又是等方差数列，设公方差为，则………………7分代入得，……同理有，……两式相减得：即，…………………………………10分∴，即是常数列．………………………………………………11分证法三：（接证法二、）由、得出：若，则是常数列…………………8分若，则是常数,∴，矛盾…………10分∴是常数列．…………………11分(3)依题意，，，∴，或，……………………………13分即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种，故，这种密码共种．…………………………………………………16分53、已知函数，当点在的图像上移动时，39\nhttp://www.beti-size.com百析网点在函数的图像上移动．（1）若点P坐标为（），点Q也在的图像上，求的值；（2）求函数的解析式；（3）当时，试探求一个函数使得在限定定义域为时有最小值而没有最大值．解：（1）当点坐标为（），点的坐标为，…………2分∵点也在的图像上，∴，即．……5分（根据函数的单调性求得，请相应给分）（2）设在的图像上则，即……………………………………8分而在的图像上，∴代入得，为所求．…………………………………11分（3）；或等．…………………15分如：当时，∵在单调递减，∴故，即有最小值，但没有最大值．………………………18分（其他答案请相应给分）（参考思路）在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义（否则不能参加与的和运算）；②由于和都是以为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以39\nhttp://www.beti-size.com百析网为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了），考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点，故对称轴又应该是轴或在轴的右侧（否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数），即若抛物线与轴的另一个公共点是，则，且抛物线开口向下．54、如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。试求：（1）的表达式；（2）的表达式；（3）若Ⅰ、Ⅱ都输入正整数，则输出结果能否为2005？若能，求出相应的；若不能，则请说明理由。解：（1）（2）（3），∵，∴输出结果不可能为。55、对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。39\nhttp://www.beti-size.com百析网对自然数，规定为的阶差分数列，其中。（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。解：（1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。（2），即，即，∴∵，∴，，，猜想：证明：ⅰ）当时，；ⅱ）假设时，时，结论也成立∴由ⅰ）、ⅱ）可知，（3），即∵39\nhttp://www.beti-size.com百析网∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。56、对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意x∈[m，n]均有|f(x)–g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数f1(x)=loga(x–3a)与f2(x)=loga(a>0，a≠1)，给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？解：（1）要使f1(x)与f2(x)有意义，则有要使f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上有意义，等价于真数的最小值大于0即（2）f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是接近的|f1(x)–f2(x)|≤1≤1|loga[(x–3a)(x–a)]|≤1a≤(x–2a)2–a2≤对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立设h(x)=(x–2a)2–a2，x∈[a+2，a+3]≤≤≤≤≤≤≤≥≥≥≥≥≤且其对称轴x=2a<2在区间[a+2，a+3]的左边39\nhttp://www.beti-size.com百析网当时f1(x)与f2(x)在给定区间[a+2，a+3]上是接近的当0，由不等式≥2·=2，=≥=3,…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1(n∈N*)，则a=_________nn______．70、已知存在实数（其中）使得函数是奇函数，且在上是增函数。（1）试用观察法猜出两组与的值，并验证其符合题意；（2）求出所有符合题意的与的值。解：（1）猜想：或；--------------------------------4分由知，而为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------6分由知，而为奇函数且在上是增函数。-------------------------------------------------------------------------------------------8分（2）由为奇函数，有所以，又，解得。-----------------------------------------------------------------------------10分39\nhttp://www.beti-size.com百析网当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或，故。----------------------------------------------------------------------------12分当时，为奇函数，由于在上是增函数，所以，由，又在上是增函数，故有，且或2，故------------------------------------------------------------14分所以所有符合题意的与的值为：或--------------------------------------16分39