2020高考标准与高考热点：复数（数学） 13页

高考热点高考标准与高考标准1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义；2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算；3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想高考热点复数的概念及代数形式的运算.知识点梳理1.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．注意虚部是一个实数，即的系数，而不是虚数部分．【详释】虚数单位的理解：①　的平方等于，即；②　实数可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；③　与－1的关系：是－1的一个平方根，即是方程的一个根，方程的另一个根是；④的周期性：,,,2.复数的分类：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．当时，是实数当时，是虚数当时，是纯虚数当时，是非纯虚数复数①复数分类系统表：\n②复数集与其它数集之间的关系：．3.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果，，，，那么，．②积为即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，只需把运算的结果中的换成，并且把实部与虚部分别合并即可.两个复数的积仍然是一个复数.③商为（ⅰ）方程思想：设复数(、)，除以(，)，其商为（、)，即，∴∵∴由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有:（ⅱ）分母实数化：.∴(④运算律：加法运算满足交换律:加法运算满足结合律:乘法满足运算律：\n10.常用结论：①，；②，；③④设为1的立方虚根，即，则，，例1★题型1复数的概念(2020福建—理1)若复数是纯虚数，则实数a的值为（　　）A．1B．2C．1或2D．-1〖解析〗得或,且，得，选B．〖点评〗本题主要考查复数的概念，注意纯虚数一定要使实部为0且虚部不为0．〖练习〗①（全国Ⅰ—理2）设是实数，且是实数，则（　　）Ａ．Ｂ．　　Ｃ．Ｄ．②（课本）复数与的积是为实数的充要条件是（）Ａ．　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．③（课本）如果为纯虚数，那么实数的值为（　）A．1B．2C．D．1或★题型2复数相等例2（2020浙江—理2）已知其中是实数，\n是虚数单位，则()A．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-〖解析〗由已知，得，则，解得，故选C．〖点评〗在两个复数相等的条件中，注意前提条件是、、、，即当、、w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com\n特别地：．【警示】　　两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小．4.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数，即z＝a＋bi与＝a－bi互为共轭复数.5.复平面：点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.【警示】虚轴上的点不都表示纯虚数.复数与有序实数对是一一对应关系的.复数复平面内的点6．复数的模：①复数z＝a＋bi的模：｜z｜＝．②复数模的几何意义：，即点到原点的距离，一般地即为点到点的距离．7.复数的三种表示：①代数形式——；②几何形式——复数可用点表示，向量复数；③三角形式——，其中为复数的模；当时，叫做复数的复角．复数0的复角是任意的．8.数系的扩充：在复数集中，方程，当时的根为９.复数的运算：①设，(、、、)是任意两个复数，那么它们的和、差为\n、时，，，但忽略条件后，则不能成立．因此解决复数相等问题，先将复数变形为（）的形式，也就是把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．〖练习〗①（2020广东—理2）若，其中，为虚数单位，则()A．0B．2C．D．5②（2020湖北—理11）设为实数，且，则4★题型３开方运算例3的平方根是．〖解析〗设，其中，所以解得或，故的平方根是．〖练习〗的平方根是．★题型４复数中的方程思想例4（2020全国Ⅱ—理）设复数满足，则（）A　B　C　D　〖解析〗　，选C．〖点评〗视为未知数，解关于的方程——是好招．〖练习〗①(2020辽宁—理4)设复数z满足,则︱1+z︱=()A．0B．1C．D．2②（2020上海—理5）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝\n★题型5　复数方程例5(2020上海—文7)若是实系数方程的一个虚根，且，则．〖解析〗　设（），则方程的另一个根为,且若关于的实系数方程的根不是实数，则两个虚根互为共轭复数，根据这一特点可以简化运算。，由韦达定理，得：所以变式〖点评〗本题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等知识．（2020上海—理12）已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（　　）ＡＢＣＤ例6设关于的方程有实根，求锐角及这个实根．〖解析〗设实数根为，则　，即∵，，引入实根，进入方程，利用复数相等复数问题化实数问题求解。∴∴且，又∴变式〖点评〗　这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．已知关于的方程有实根，则实数满足（　　）\nＡ．　　　Ｂ．　　Ｃ．Ｄ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com★题型6复数的待定系数法例7（2020陕西—理2）已知z是纯虚数,是实数,那么z等于（）A．2iB．iC．-iD．-2i〖解析〗设（）,代入由于其为实数，b=-2,故选D..〖练习〗（2020广东14）已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=－2i.★题型7复数的几何意义例8(2020上海春)复数(,为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于（　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限〖解析〗，因为，所以不可能为正数，同时为负数，即不可能，同时，故对应的点不可能位于第一象限，选A．〖点评〗本题考查复数的几何意义及复数运算的知识，每一个复数在复平面内都有一个点与之对应．先将复数变形为（）的形式，再根据所在的位置求解．〖练习〗①（2020辽宁—理5）若，则复数在复平面内所对应的点在（）A　第一象限B　第二象限C　第三象限D　第四象限②（2020北京）在复平面内，复数对应的点位于()A第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限★题型8复数的运算利用复数的三角形式\n例9（2002新理）复数的值是()A．-i　　　　　　B．i　　　　C．-1　　　　　　D．1〖解析〗　．抓结构特征，巧妙求解例10(2020重庆)设复数，则z2-2z=()A．-3B．3C．-3iD．3i〖解析〗　∵，　∴，∴z2-2z=．〖练习〗　　①（2020广东）若复数满足方程，则（）A.B.C.D.②(1993全国)当时,的值等于()A．1　　B．-1　　　C．　　D．例11利用常用结论，巧妙求解(2020湖南)复数的值是()A.B.-C.4D.-4〖解析〗．〖练习〗①（湖南）复数等于()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．②(2020重庆)复数的值是()A．iB．-iC．22020D．-22020③(2020湖南)复数的值是()A．-1B．0C．1D．④（2020山东—理1）（）\nA．　B．　　C．D．⑤　（2020湖北—理3）=．　w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com★题型9与复数有关的小综合问题例12(2020湖北—理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（）A．B．C．D．.【解析】因为为实数，所以，故，则可以取1、26，共6种可能，所以.〖练习〗　①　复数z+i在映射f下的象为·i,则-1+2i的原象为()A．2B．2-i　　　C．-2+i　　D．-1+3i②　若函数的反函数为，则（）A．B．C．D．③　若，化简：④定义运算，若复数满足，则．1.（2020重庆—理2）已知复数的实部为，虚部为2，则=（）A．　B．C．D．2.（2020辽宁—理2）已知复数，那么=（）A．B．　　C．　　　　D．\n1.(2020海南、宁夏—理2)复数（）A．0B．2C．-2iD．2i2.（2020江西—理1）若复数为纯虚数，则实数的值为（）A．B．C．D．或\n8.（2020广东—理2）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（）A．８　　　　　　　Ｂ．６　　　　　　　　Ｃ．４　　　　　　　Ｄ．２1.（2020安徽—理1）i是虚数单位，若（a、b∈R），则乘积ab的值是（）A．-15B．-3C．3Ｄ．152.（2020天津—理1）i是虚数单位，=（）A．1+2iB．-1-2iC．1-2iD．-1+2i3.（2020四川—理3）复数的值是（）Ａ．－１　　Ｂ．１　　　　　　　Ｃ．－　　Ｄ．4.（2020北京—理1）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5.（2020陕西—理2）已知z是纯虚数,是实数,那么z等于（）A．2iB．iC．-iD．-2i6.（2020浙江—理3）设z=1+i（i是虚数单位），则（）A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i7.（2020山东—理2）复数等于（）A．　　B．　　　C．　　D．8.（2020全国Ⅱ—理1）（）A．B．C．D．9.（2020全国Ⅰ—理2）已知=2+i,则复数z=（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．-1+3iB．1-3iC．3+iD．3-i10.（2020福建—理11）若（i为虚数单位，）则___2______11.（2020江苏—理1）若复数，，其中是虚数单位，则复数的实部为-20.12.（2020上海—理1）若复数z满足z(1+i)=1-i(I是虚数单位)，则其共轭复数=_i_.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com\nw.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com