《走向高考》高考总复习·数学_10833 51页

\n●基础知识一、直线和平面的位置关系一条直线a和平面α的位置关系有且只有三种：1．直线在平面内——有个公共点，记作；2．直线和平面相交——有公共点，记作；3．直线和平面平行——没有公共点，记作.无数a⊂α且只有一个a∩α＝Aa∥α\n二、直线与平面平行的判定和性质1．直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定，除用定义外，主要是用判定定理，此外还用到其它特殊位置关系的性质定理．①(定义)如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行．②(判定定理)如果一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号语言表示，即.平面外a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α\n③如果平面外的两条平行直线中有一条和这个平面平行，那么另一条也和这个平面平行．④如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面．⑤一个平面和不在这个平面内的一条直线都垂直于另一个平面，那么这条直线平行于这个平面．\n2．直线和平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面，那么这条直线和平行．用符号语言表示为：.a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b相交交线\n三、直线与平面垂直的判定和性质1．直线和平面垂直的判定①(定义)如果一条直线和平面内垂直，那么这条直线和这个平面垂直．②(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示为：.③(判定定理2)如果两条平行直线中的一条一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示为：.所有直线都两条相交直线都a⊂α，b⊂α，a∩b＝O，l⊥a，l⊥b，则l⊥α垂直于a∥b，a⊥α，则b⊥α\n④(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号语言表示为：.⑤(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．用符号语言表示为：.⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．用符号语言表示为：.α⊥β，α∩β＝b，α⊂β，a⊥b，则a⊥αα∥β，a⊥β，则a⊥αβ⊥α，γ⊥α，β∩γ＝a，则a⊥α\n⑦如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．用符号语言表示为：.则a⊥αa⊥c，b⊥c，a、b、c交于一点A，b⊂α，c⊂α，a⊥b，\n2．直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．用符号语言表示为：.3．斜线在平面内的射影①过一点向平面引垂线，叫做这点在这个平面内的射影．从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过的直线叫做斜线在这个平面内的射影．②射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：a⊥α，b⊥α，则a∥b垂足垂足和斜足\n(1)射影相等的两条斜线段，射影较长的斜线段；(2)相等的斜线段的射影，较长的斜线段的射影；(3)垂线段比都短．相等也较长相等也较长任何一条斜线段\n4．三垂线定理①三垂线定理：在平面内的一条直线，如果，那么它也和这条斜线垂直．②三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果，那么它也和这条斜线的射影垂直．和这个平面的一条斜线的射影垂直和这个平面的一条斜线垂直\n5．“三余弦”定理如图所示，AB和平面M所成的角是α，AC在平面M内，AC和AB在平面M内的射影AB1所成的角是β，设∠BAC＝θ，则α、β、θ满足关系为cosθ＝cosαcosβ.这就叫做“三余弦”定理(别名：爪子定理)．注意定理中的条件是“从一定点出发的三条射线组成的三个面中有两个面相互垂直”．\n●易错知识一、性质理解错误1．如果α、β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是()A．α、β都平行于直线l、mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β\n解题思路：对于A，l和m应相交；对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l和m应相交．故选D.失分警示：对于A，实际上是面面平行的判定定理，但直线必须相交；对于B，只考虑三点在同侧而没有考虑异侧；对于C易丢l和m相交这一条件．答案：D\n二、对线面垂直的定义、定理或性质理解不透2．一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这个平面内的无数条直线的位置关系是________．答案：平行或相交三、三垂线定理应用错误3．斜线上任意一点在平面上的射影，一定在________．答案：斜线的射影上4．已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，则AD与BC的关系是________．答案：垂直\n●回归教材1．若直线a在平面外，则有()A．a∩α＝∅B．a与α有且仅有一个交点C．a与α平行D．a与α的交点至多有一个解析：直线在平面外包括两种情况：①直线与平面平行，②直线与平面相交，因此可排除A、B、C，选D.答案：D\n2．(教材改编题)两条直线a、b满足a∥b，b⊂α，则a与平面α的关系是()A．a∥αB．a与α相交C．a∥α或a⊂αD．a⊂α解析：a∥b，b⊂α，则a与α的关系有两种：①a∥α，②a⊂α，故C正确．答案：C\n3．(2009·北京丰台一模)已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件\n解析：若“直线c⊥平面α”，则直线c垂直于平面α内的所有直线，而m⊂平面α，直线n⊂平面α，所以“直线c⊥m，直线c⊥n”必要性成立．若直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”当m∥n时，直线c与平面α不一定垂直，充分性不成立．答案：B\n4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若α⊥β，a∥α，则a⊥βC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β解析：易知A、B、C不正确，D正确．答案：D\n5．在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(填上你认为正确的一个条件即可)．解析：要使A1C⊥B1D1，只要B1D1垂直于A1C在面A1B1C1D1上的射影A1C1即可．答案：AC⊥BD(答案不唯一)\n【例1】(2009·天津)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD.\n[命题意图]本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．[解析](1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.\n(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.\n如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.(1)求证OD∥平面PAB；(2)求直线OD与平面PBC所成角的大小．[命题意图]本题主要考查空间线面关系与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．\n[解析](1)∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA.又PA⊂平面PAB，∴OD∥平面PAB.\n(2)∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，又∵OP⊥平面ABC，∴PA＝PB＝PC.取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE.从而平面PBC⊥平面POE.作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．\n在Rt△ODF中，\n【例2】Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC.求证：BD⊥平面SAC.\n[解析]证线面垂直的方法有：①利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线．②利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最常用思路．③利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直平面，则另一条线必垂直于该平面．④利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在一个面内垂直交线的直线垂直于另一平面．\n⑤用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面．⑥用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．\n[证明](1)取AB中点E，连结SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE.而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.\n(2)若AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，∴SD⊥BD.∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.\n如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面ABB1A1；(2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理由．\n解析：(1)证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1.又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A，又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1，D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，又A1A∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1.\n(2)作DE⊥AB1于E，廷长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.\n【例3】已知：正方体ABCD－A1B1C1D1(如图)．(1)求证：B1D⊥BC1；(2)求证：B1D⊥面ACD1；(3)若B1D与面ACD1交于O，求证：DOOB1＝1：2.\n[证明](1)∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴DC⊥面BCC1B1，B1D在面BCC1B1内的射影为B1C.∵BCC1B1为正方形，∴BC1⊥B1C.∴BC1⊥B1D，即B1D⊥BC1.(三垂线定理)(2)(1)中证明了体对角线B1D与面对角线BC1垂直，同理可证：B1D⊥AD1，B1D⊥AC.∴B1D⊥平面ACD1.\n(3)设AC与BD的交点为O′，则平面BB1D1D与平面ACD1的交线为O′D1，则O′D1∩B1D＝O，∵BD∥B1D1，∴△OO′D∽△OD1B1，∴DOOB1＝1：2.\n[反思归纳]三垂线定理及其逆定理要注意：一定平面；二定垂线；三找斜线，射影即现．主要用来证明线线垂直．\n如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADC；(2)若H为△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影；(3)若M，N分别是△ABD与△BCD的重心，求证：MN∥面ADC.\n[思路点拨](1)“射影”与“垂直”相连，“证线面垂直，先找线线垂直”；(2)“垂心”是“高”的交点，线线垂直，由此根据三垂线定理去找；(3)“重心”有个性质，把中线分为21，“平行”当然由平行截割定理而得到．\n[解答](1)∵AD＝BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD≌△ACD，AB＝AC.又∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD，∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，BD⊥CD.又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.\n(2)如图所示，设D在△ABC内的射影为H′，连结CH′延长并交AB于E，∵CD⊥AD，且CD⊥DB，∴CD⊥面ADB，∴CD⊥AB，由三垂线定理得CE⊥AB.同理，连结BH′并延长交AC于F，BF⊥AC∴H′为△ABC的垂心，即D在平面ABC内射影为△ABC的垂心，∴H′与H重合，H是D在平面ABC内的射影．\n(3)连结BM，延长BM交AD于M′，连结BN并延长交CD于N′.连结M′N′，在△BM′N′中，M，N分别为△ABD与△BDC的重心，∴MN∥M′N′，M′N′⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD.\n[拓展提升]三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直；二是平面内一条直线与斜线的射影(或斜线)垂直；三是这条直线与斜线(或射影)垂直，构成定理的五个元素是“一面四线”．运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面→作出垂线→找到斜线→连成射影→找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线．\n1．证明线面平行的方法(1)定义法(反证法)；(2)判定定理法；(3)面面平行的性质(面面平行⇒线面平行)．\n2．证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理(垂直于同一个平面的两条直线平行)．\n3．证明线面垂直的方法(1)定义法；(2)判定定理法；(3)面面垂直的性质定理；(4)a⊥α，a∥b⇒b⊥α；(5)α∥β，a⊥β⇒a⊥α.\n4．证明线线垂直的方法(1)利用平面几何知识；(2)利用线面垂直的定义；(3)利用三垂线定理及其逆定理．\n请同学们认真完成课后强化作业