[中考]初中数学总知识点 66页

一．总知识点（一）几何知识点1.等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等（简单叙述为：等边对等角）2.等腰三角形性质定理的推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（也称：三线合一）三角形3.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形，简单叙述为：等角对等边.4.等边三角形的判定定理:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.判定一个三角形是等边三角形的方法有三种：分别是证明三角形的三条边相等；证明三角形的三个内角相等;证明三角形是等腰三角形，其中有一个角是60°.6.直角三角形的定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角7.直角三角形勾股定理：直角三角形两条直角边﹙﹚的平方和等于斜边三角形c的平方.即a2+b2=c2.8.勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.9.线段垂直平分线的定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。10.中垂线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11.三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，此点为三角形的外心。12三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。13.三角形的重心：三条中线的交点。性质：⑴重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。⑵重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。⑶重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。⑷在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。⑸三角形内到三边距离之积最大的点14.角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。15.证明三角形全等的方法：（1）三边对应相等的两个三角形全等；（SSS）（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(SAS)（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；(ASA)66\n⑷两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。16.全等三角形的性质定理：全等三角形的对应边、对应角相等。线段：有两个端点17.射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线，有一个端点。直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，没有端点。18.基本定理：⑴两点之间的所有连线中，线段最短。⑵经过两点有且只有一条直线。⑶同角或等角的补角相等⑷同角或等角的余角相等。⑸过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。⑹直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。⑺三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边。⑻三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。⑼两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。19.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。20.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，21.平行定理1：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行定理2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。平行判定方法1：同位角相等，两直线平行。平行判定方法2：内错角相等，两直线平行。平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。22.平行线性质定理1：两直线平行，同位角相等。平行线性质定理2：两直线平行，内错角相等。平行线性质定理3：两直线平行，同旁内角互补。23.三角形的三边大小关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。24.平行四边形⑴定义：两组对边分别平行的四边形。⑵性质：①平行四边形的对边相等；②对角相等；③对角线互相平分。25.平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。66\n26.菱形⑴定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。⑵性质：①菱形的四条边都相等；②两条对角线互相垂直平分；③每一条对角线平分一组对角。④面积公式：即对角线乘积的一半。27.菱形的判定方法：（1）一组邻边相等的平行四边是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。28.矩形的定义及其性质：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。矩形的对角线相等，四个角都是直角。29.矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形。30.正方形定义及其性质：一组邻边相等的矩形是正方形。（1）正方形的四条边都相等；（2）正方形的四个内角都相等切都等于90度；（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分；（4）正方形的每一条对角线平分一组对角；（5）正方形的每组对边互相平行。（6）既是中心对称图形又是轴对称图形。31.正方形的判定方法：（1）对角线相等的菱形是正方形；先证明菱形（2）四边均相等，对角线相等的四边形是正方形；（3）有一个角为直角的菱形是正方形；（4）一组邻边相等的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直的矩形是正方形；先证明矩形（6）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方；（7）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方；（8）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。32.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。33.等腰梯形⑴定义两条腰相等的梯形是等腰梯形。⑵性质：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②对角线相等。34.等腰梯形的判定方法：⑴同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。⑵对角线相等的梯形是等腰梯形。35.直角梯形的定义：一条腰和底垂直的梯形是直角梯形。36．多边形的定义及其性质：①在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形称为多边形。②在平面内，内角和边都相等的多边形为正多边形。③外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。④n边形的内角和等于，外角和为360度。⑤n边形的对角线公式：66\n从n边形的一个顶点可以引出条对角线；n边形共有条对角线。37.圆⑴定义：在平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。⑵与圆相关的概念：①圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。②弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦称为直径。③弦心距：圆心到弦的距离。⑶与圆有关的角①圆心角：顶点在圆心的角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.②圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角.圆周角的性质：Ⅰ在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中相等圆周角所对的弧也相等.Ⅱ半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.Ⅲ一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半.③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角的性质:Ⅰ弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。Ⅱ两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。④圆心角与圆周角的关系：在同圆或等圆中，同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。⑷圆的切线①定义：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。②性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．③判定定理：Ⅰ经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。Ⅱ与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；Ⅲ若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；④切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。⑤相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）。66\nAPPDCPB推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。⑥切割弦定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：如图，PT切圆O于点T，PBA是圆O的割线，则有：推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。几何语言：PBAPDC是圆O的割线，则有：.⑸与圆有关性质①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等。②圆心角、弧、弦心距、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。⑹与圆有关的三种位置关系①点与圆的位置关系：点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的数量大小关系决定的,即：Ⅰ点在圆外d＞rⅡ点在圆上d=rⅢ点在圆内d＜r66\n②直线与圆的位置关系：相交直线和圆的位置关系相切相离判断直线和圆的位置关系的方法：方法1:从公共点的个数来判断当直线和圆有两个公共点时直线和圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，直线和圆相离.方法2:比较圆心到直线的距离d与半径r的大小当d＜r时，直线和圆相交；当d=r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离.③圆与圆的位置关系：方法1：比较两圆的半径与圆心距的大小设两圆的半径分别为R和r，两圆心之间的距离为dⅠ当d＞R＋r时，两圆外离；Ⅱ当d=R＋r时，两圆外切；Ⅲ当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；Ⅳ当d=R－r时（R＞r）两圆内切；Ⅴ当d＜R－r（R＞r）时，两圆内含。反之也成立。方法2：从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。Ⅰ外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的每一点都在另一个圆的外部；Ⅱ外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；Ⅲ相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；Ⅳ内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；Ⅴ内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部.⑺弧长与扇形的面积在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长公式：.66\n如果扇形的半径为R，圆心角为的扇形面积公式：.或是.（l是扇形的弧长，R是扇形的半径）⑻圆锥的侧面积：①圆锥的侧面展开图为扇形.②设圆锥的底面半径为r,母线长为l，侧面展开图中扇形的圆心角度数为n,那么圆锥的侧面积为：或.③圆锥的侧面展开图是扇形，其半径等于母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．设圆锥的底面半径为r，母线长为ι，则它的侧面积：S侧=πrι，S全=S侧＋S底=πr（ι＋r）．⑼确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆。38.相似图形⑴比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段。⑵比例的基本性质：如果，那么，即内项积等于外项积；⑶合比性质：，即前后项和比后项，比值不变叫合比。⑷等比性质：；⑸黄金分割：若线段AB上的一点P,把线段AB分成AP、BP两部分，并且使,则称线段AB被C黄金分割。⑹相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。相似多边形的性质：相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。66\n相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。相似多边形性质定理5：若相似比为1，则全等⑺相似三角形：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。①相似三角形的性质：Ⅰ相似三角形对应角相等，对应边成比例；Ⅱ相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。Ⅲ相似三角形周长的比等于相似比Ⅳ相似三角形面积的比等于相似比的平方。Ⅴ相似三角形内，外切圆直径比和周长比都和相似比相同，内，外切圆面积比是相似比的平方②相似三角形的判定方法：Ⅰ两角对应相等的两个三角形相似；Ⅱ三边对应成比例的两个三角形相似；Ⅲ两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。⑻平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。⑼基本定理：⑴如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。⑵平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例⑽基本点：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似⑾直角三角形相似判定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似39.视图与投影①常见的几何体的三视图的画法：66\n②投影：物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这是投影现象．Ⅰ平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影．Ⅱ中心投影：探照灯、手电简、台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影。Ⅲ视点：眼睛的位置称为视点．视线：由视点发出的线称为视线．盲区：眼睛看不到的地方称为盲区．称为中心投影。40.轴对称图形（1）轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。（3）轴对称图形的性质：①对称轴是一条直线。②在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。③在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。④如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。⑤关于某条直线对称的两个图形是全等形。（4）轴对称的判定方法：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。⑸常见的轴对称图形：66\n等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形、圆和正多边形、矩形、角、五角星41.中心对称图形⑴中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。⑵中心对称：在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转180°后重合的两个点叫做对应点。⑶中心对称图形的性质：①在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心且被对称中心平分。②成中心对称的两个图形全等。⑷中心对称的判定方法：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。⑸常见的中心对称图形：线段、矩形、菱形、正方形、平行四边形、圆、边数为偶数的正多边形。42.既是轴对称图形又是中心对称图形：正方形、圆、矩形、菱形、边数为偶数的正多边形。43.图形的平移（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。（2）性质：①平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移前后新旧两图形全等。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。44.图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心。（2）性质：①经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；③对应点到旋转中心的距离相等。（二）实数1.实数的分类正有理数：比0大的数。正实数正无理数：无限不循环的正的小数。实数零负有理数：在正数前面加“-”的数；比0小的数。负实数负无理数：无限不循环的负的小数。2.实数大小的比较66\n（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大，两个负数，绝对值大的较小。3.相反数相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数。设a与b互为相反数，则有a+b=04.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。①正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②任何数的绝对值为非负数，即5.实数的运算法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。（2）减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。（4）除法法则：①除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：0没有倒数）②两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。③0除以任何一个不等于0的数，都等于0。6.实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数7.有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂，a叫做底数，n叫做指数8.平方根：如果一个数x的平方等于a,即，那么这个数x叫做a的平方根。如果此x为正数，则x为a的算术平方根。一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根。9.开平方：求一个数a的平方根的运算。开平方和平方运算是互逆运算。=010.最简二次根式：⑴被开方数的因数是整数，因式是整式；⑵被开方数中不含有能开的尽的因式；⑶被开方数不含分母。分母有理化的方法：⑴如果分母是单项式，则分子分母同时乘以此分母；⑵如果分母是多项式，则采用平方差公式。66\n11.立方根：如果一个数的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。12.开立方：求一个数a的立方根的运算。开立方与立方运算是互逆运算。13.科学计数法和有效数字①科学计数法：将较大的正数写成的形式，其中，指数n为原数的整数位数减1；将小于1的正数表示为的形式，其中，指数n为第一位有效数字前零的个数的相反数。②有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。（三）代数式1.单项式：①数与字母的积称为单项式。单独的数或字母也是单项式。②所有字母的指数和叫做单项式的次数。③单项式中的数字因数称为单项式的系数2.多项式：几个单项式的和。次数最高项的次数为此多项式的次数。3.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。4.合并同类项：把同类项合并成一项为合并同类项。在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变（用于整式的加减运算）。5.代数式在运算时去括号的法则：①括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；②括号前是“—”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。6.同底数幂的乘除法法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加：②同底数幂相除，底数不变，指数相减：幂的乘方和积的乘方：①幂的乘方：底数不变，指数相乘②积的乘方：各因式分别乘方③分式乘方:分子分母分别乘方：7.幂函数和指数函数（1）幂函数：底数是变量，指数是常数；如：（2）指数函数：底数是常数，指数是变量。如：（3）负指数幂：底数是常数，指数是负整数。如：2注意：任何不为零的数的-n（n为正整数）次幂等于这个数n次幂的倒数即8.整式的乘法法则：①单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.66\n②单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.③多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式每一项,再把所的积相加.9．整式的除法法则：①单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.②多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加10.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。即11.完全平方公式：两数和或差平方，展开式它共三项。首平方与尾平方，首尾二倍中间放。即12.立方和公式：；立方差公式：13.分式的定义和性质：⑴整式A除以整式B，可以表示成形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式。⑵当分母的值等于零时，分式无意义；当分子为零，分母不为零时，分式的值为零。（3）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。14.（1）分式通分时最简公分母的确定方法：①算式中只有一项是分式，最简公分母就是这个分式的分母。②算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中任何一个分母③当算式中的几个分母都是单项式时，最简公分母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的乘积。④当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式分解，最简公分母则是每个因式的最高次幂的乘积。⑤当算式中分式的分子与分母都有公因式时，可以先把这个分式约分，再根据情况确定最简公分母。（2）分式约分时分子、分母公因式的判断方法：①当分子、分母都是单项式时，找出分子、分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，把系数的最大公约数和相同字母的最低次幂的积作为分子、分母的公因式。②当分子、分母含有多项式，找公因式时，首先将各多项式分解因式，然后找分子、分母系数的最大公约数和相同因式的最低次幂，把系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积作为分子、分母的公因式。15.分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。16.分式的乘除法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。66\n（四）函数1.直角坐标系中点的位置在直角坐标系中，点，则有：⑴；⑵；⑶；⑷。2..一次函数（1）定义：把形如，这样的函数称为y是x的一次函数。当b=0时，一次函数也叫做正比例函数。（2）性质：⑴必经过点，⑵在一次函数中，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小。（3）图像：⑴一次函数的图像是过两点的一条直线；⑵函数图像与k、b的符号关系①时，图像经过一三象限；②时，图像经过二四象限；③时，图像是经过y轴的上半轴；④时，图像是经过y轴的下半轴。66\n3.反比例函数（1）定义：把形如这样的函数称为y是关于x的反比例函数。反比例函数的另一种形式：。（2）性质：当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的随x值的增大而增大。（3）图像：反比例函数的图像是两条双曲线，当时，图像经过一、三象限；当时，图像经过二、四象限。反比例函数(k≠0)k的符号图象在坐标系中的位置xyO图象图象特征增减性k>0图像位置一、三象限xyO在每个象限内从左到右下降在每个象限内，y随x增大而减小k<0二、四象限在每个象限内从左到右上升在每个象限内y随x增大而增大（4）反比例函数中的几何意义：如果过反比例函数66\n图象上任意一点P分别作x轴和y轴的垂线，那么它们与两条坐标轴所围成的矩形的面积就是．（5）反比例函数与一次函数的比较：一次函数反比例函数解析式y=kx+b（k≠0）自变量取值范围全体实数x≠0的实数函数值取值范围全体实数y≠0的实数函数图象直线双曲线解析式的确定两个点的坐标一个点的坐标增减性k>0y随x增大而增大同一象限内y随x增大而减小K<0y随x增大而减小同一象限内y随x增大而增大图象分布情况k>0必过一、三象限分布在一、三象限K<0必过二、四象限分布在二、四象限4..二次函数（1）定义：形如的函数称为二次函数。（2）图像与性质：①二次函数的图像是对称轴平行于y轴（或与y轴重合）的一条抛物线：对称轴是x=,顶点坐标，与y轴的交点坐标。②当时，抛物线开口向上，当时，函数值能取到最小值为，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。当时，抛物线开口向下，当时，函数值能取到最大值为，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。③抛物线与x轴有两个交点，则一元二次方程有两个不等的实根；抛物线与x轴只有一个公共点，则一元二次方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点，则一元二次方程无实根66\n（3）二次函数的其他3种形式：①Ⅰ.二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点在原点，顶点坐标（0，0）．Ⅱ.抛物线的开口方向由a的符号决定，当a＞0时，开口向上，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上）并向下无限延伸。函数开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大(小)值a＞0向上(0,0)y轴x＞0时，y随x增大而增大x＜0时，y随x增大而减小当x=0时，y最大=0a＜0向下(0,0)y轴x＞0时，y随x增大而减小x＜0时，y随x增大而增大当x=0时y最大=0②二次函数的图象是由函数y=ax2的图象上、下平移得到的，当k＞0时，抛物线y=ax2向上平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象；当k＜0时，抛物丝y=ax2向下平移︱k︱个单位得到y=ax2＋k的图象.注意：抛物线y=ax2＋k与抛物丝y=ax2形状完全相同，开口方向相同，对称轴都是y轴，但顶点位置不同，y=ax2的顶点是（0，0），y=ax2＋k的顶点是（0，k），，顶点在y轴上.③二次函数y=a（x－h）2的图象可由抛物线y=ax2向左（或向右）平移而得到，当h＞0时，抛物线y=ax2向右平称︱h︱个单位，得到y=a（x－h）2的图象；当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移︱h︱个单位得到y=a（x－h）2的图象.注意：抛物线y=a（x－h）2与抛物线y=ax2的形状完全相同，开口相同只是在坐标系中的位置不同，抛物线y=a（x－h）2的对称轴是x=h，顶点是（h，0），顶点在x轴上.④Ⅰ.二次函数（a≠0）与二次函数y=ax2（a≠0）的图象都是抛物线，在a相等的情况下，形状相同，只是位置不同。抛物线y=a（x－h）2＋k可由抛物线y=ax2向上（k＞0）或向下（k<0）平移︱k︱个单位得到抛物线y=ax2＋k，再把抛物线y=ax266\n＋k向左（h＜0）或向右（h＞0）平移︱h︱个单位，就得到抛物线y=a（x－h）2＋k.Ⅱ.抛物线y=a（x－h）2＋k（a≠0）的特点:ⅰ.a＞0时开口向上，a＜0的开口向下；ⅱ.对称轴是直线x=h；ⅲ.顶点坐标是（h，k）.（五）方程（组）与不等式（组）1.一元一次方程（1）定义：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程为一元一次方程。（2）解一元一次方程的步骤：①去分母：方程两边的每一项都要乘以各分母的最小公倍数，注意事项：不要漏乘不含分母的项；去分母后，若分子是多项式，分数线有括号的作用，应该将分子添上括号；②去括号：如果括号外的因数是负数时，去括号后，原括号内各项的符号要改变符号；如果括号外的因数是正数时，去括号后，原括号内各项的符号不变号；乘数与括号内多项式相乘时，乘数应乘括号内的每一项，不要漏乘。③移项：把含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边。注意事项：移项时所要移的项要变号，不移的项不变号；不要漏项④合并同类项：同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。⑤系数化为1：方程的两边都除以未知数系数。2.二元一次方程（组）（1）二元一次方程①定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程为二元一次方程。②二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。注意：一般地，二元一次方程的解有无数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值；二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解；（2）二元一次方程组①定义：由两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。其实，只要两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程也可称为二元一次方程。②二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。（3）二元一次方程组的解法66\n①代入消元法：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.代入法解二元一次方程组的步骤：　　Ⅰ选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；　　Ⅱ将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.）；　　Ⅲ解这个一元一次方程，求出未知数的值；　　Ⅳ将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；　　Ⅴ用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；　　Ⅵ最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.②加减消元法：当方程组中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.加减法解二元一次方程组的步骤：　　Ⅰ利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式（就是先找各个系数的最小公倍数，一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边）；　　Ⅱ再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；　Ⅲ解这个一元一次方程，求出未知数的值；　　Ⅳ将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；　Ⅴ用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；　　Ⅵ最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边＝右边）.3.一元二次方程（1）定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：（2）一元二次方程的解法：①直接开平方法：形如：②配方法解的步骤：ⅰ先将常数项c移到方程的两边,即66\n；ⅱ将二次项系数化为1即；ⅲ方程两边分别加上一次项系数的一半的平方即ⅳ方程左边成为一个完全平方式即③公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后判断的值，当时，就可以用④因式分解法：把方程变形为一边是零，另一边的二次三项式可以采用十字相乘法（或完全平方式）分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。（3）根与系数的关系（韦达定理）：一元二次方程，设是方程的两根，则有，⑷一元二次方程根的情况△=b2-4ac当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根4.分式方程(1)定义：分母中含有未知数的方程为分式方程。⑵解分式方程的步骤①去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。②按解整式方程的步骤：Ⅰ.去分母；Ⅱ.去括号；Ⅲ.移项；Ⅳ.合并同类项；Ⅴ.系数化为1③验根：求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.　66\n验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。⑶解分式方程的方法：1.一般法：去分母，将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程。如2.换元法：3.分组结合法：4.因式分解法：5.配方法：先把分式方程中的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解5.不等式（组）⑴不等式①定义：用不等号连接的式子叫做不等式。不等号有：“，<,>”②基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。③不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。⑵一元一次不等式①定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式。②一元一次不等式的解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。⑶一元一次不等式组①定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。②一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集。不等式组解集的确定方法：若，则有：解集是，即“小小取小”解集是，即“大大取大”66\n解集是，即“大小小大取中间”解集是空集，即“大大小小无解”（六）统计与概率1.总体、个体、样本和样本数据总体是指考察对象的全体，总体中的每一个对象称为个体，样本是指从总体中抽取一部分个体，样本的数量称为样本容量。2.中位数、众数、平均数、极差、方差⑴中位数：把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数.求一组数据的中位数必须把这组数据按大小顺序进行排列，若数据有奇数个，中位数为中间的那个数据，若数据有偶数个，则是中间两个数据的平均数.⑵众数：一组数据中出现次数最多的那个数据为众数。一组数据的众数的个数可能不止一个.⑶平均数①算术平均数：一般地对于n个数x1，…把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.②加权平均数：一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，这样的平均数叫做加权平均数。若一组数据的权分别是，则加权平均数③平均数的另一种计算方法—新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。⑷极差：一组数据中最大数据与最小数据的差。⑸方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数。即，或是，也可写成此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。66\n标准差就是方差的算术平方根。⑹平均数、众数、中位数、方差的特征平均数：常用来反映数据的总体趋势；众数：常用来反映数据的集中趋势；中位数：用来反映数据的中间值；方差：用来反映数据的波动大小，方差大，波动大；方差小，波动小。3.频数：在数据统计中，每个对象出现的次数，频率：每个对象出现的频数与总次数的比值为频率。4.绘制频数直方图的步骤Ⅰ找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差；Ⅱ决定组距和组数；Ⅲ确定分点；Ⅳ列出频数分布表；Ⅴ画频数分布直方图。5.三种统计图扇形图：显示部分在总体中所占百分比；折线图：显示数据的变化趋势；直方图：显示数据的分布情况。6.确定事件和随机事件⑴确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。⑵随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。7.概率的意义与表示方法⑴概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。⑵事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P8.求概率的方法⑴列表法求概率①列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。66\n②列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。⑵树状图法求概率①树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。②运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。⑶利用频率估计概率利用频率估计概率：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。二．初中几何常见辅助线作法歌诀汇编图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。66\n假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。三．初中数学知识点归纳口诀1.有理数的加法运算同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。2.有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正3.有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零。4.合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。5.去、添括号法则去括号、添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。6.解方程已知未知闹分离，分离要靠移完成。移加变减减变加，移乘变除除变乘。7.平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差。积化和差变两项，完全平方不是它。8.完全平方公式二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。9.解一元一次方程先去分母再括号，移项变号要记牢。同类各项去合并，系数化“1”还没好。求得未知须检验，回代值等才算了。10.二次三项式的因式分解先想完全平方式，十字相乘是其次。两种方法行不通，求根分解去尝试。11.比和比例两数相除也叫比，两比相等叫比例。前后项和比后项，比值不变叫合比。前后项差比后项，组成比例是分比。两项和比两项差，比值相等合分比。前项和比后项和，比值不变叫等比。12.解比例外项积等内项积，列出方程并解之。66\n13.正比例与反比例变化过程商一定，两个变量成正比。变化过程积一定，两个变量成反比。14.求定义域求定义域有讲究，四项原则须留意。负数不能开平方，分母为零无意义。指是分数底正数，数零没有零次幂。15.解一元一次不等式先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。16.解一元一次不等式同小较小；同大取较大大小小大就是它小小大大哪有哇17.解一元二次不等式首先化成一般式，构造函数第二站。判别式值若非负，曲线横轴有交点。a正开口它向上，大于零则取两边。代数式若小于零，解集交点数之间。方程若无实数根，口上大零解为全。小于零将没有解，开口向下正相反。18.用公式法解一元二次方程要用公式解方程，首先化成一般式。调整系数随其后，使其成为最简比。确定参数abc，计算方程判别式。判别式值与零比，有无实根便得知。有实根可套公式，没有实根要告之。19.用常规配方法解一元二次方程左未右已先分离，二系化“1”是其次。一系折半再平方，两边同加没问题。左边分解右合并，直接开方去解题。该种解法叫配方，解方程时多练习。20.用间接配方法解一元二次方程已知未知先分离，因式分解是其次。调整系数等互反，和差积套恒等式。完全平方等常数，间接配方显优势21.解一元二次方程方程没有一次项，直接开方最理想。如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c相等都为零，等根是零不要忘。b、c同时不为零，因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异择良方。四．数学应用题66\n应用题〖知识点〗列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核心、应用问题的主要类型〖大纲要求〗列出方程(组)解应用题的一般步骤是：1审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数;2找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;3设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数4列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程5解方程(或方程组)，求出未知数的值;6检验：针对结果进行必要的检验；7作答：包括单位名称在内进行完整的答语。（一）行程问题行程问题要点解析基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。基本公式：路程＝速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度关键问题：确定行程过程中的位置；相遇问题：速度和×相遇时间＝相遇路程；或是一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离；追击问题：追击时间＝路程差÷速度差；或是追击者的行程-被追击者的行程=相距的行程；流水问题：顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间；逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间         顺水速度＝船速＋水速；              逆水速度＝船速－水速；船在静水中的速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；       水 速＝（顺水速度－逆水速度）÷2；基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、时间（相遇时间、追击时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求出第三个量。1.甲步行上午6时从A地出发于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙在什么时间追上甲的？2.A、B两地相距60千米，甲、乙两人骑自行车分别从A,B两地相向而行；若甲比乙先出发30分钟，甲每小时比乙少行2千米，那么它们相遇时所行的路程正好相等。若设甲骑车速度是每小时x千米，则得方程3.A、B两地相距30千米，甲比乙每小时多走1千米，从A到B所需时间甲比乙少1小时，甲、乙两人每小时各走多少千米？66\n4.某校师生到离学校28千米的地方游览，开始一段路步行，速度是4千米／小时，余下路程乘汽车，速度为36千米／小时，全程共用了1小时，求步行所用时间？5.两列火车分别行驶在两平行的轨道上，其中快车车长100米，慢车车长150米，当两车相向而行时，快车驶过慢车的某个窗口(快车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点)所用时间为5秒.(1)求两车的速度之和及两车相向而行时慢车驶过快车某个窗口（慢车车头到达窗口某一点至车尾离开这一点）所用的时间；(2)如果两车同向而行，慢车的速度不小于8米／秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需时间至少为多少秒？（二）利润问题（销售问题）基本量：成本（进价）、售价（实售价）、利润（亏损额）、利润率（亏损率）基本关系：每件商品的利润=售价-进价；毛利润=销售额-费用；利润率=（售价--进价）/进价*100%1.如果某商品降价x%后的售价为a元，那么该商品的原价为元2.甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为元和元3.某种商品的进货价每件为x元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10％（相对于进价），则x＝元4.某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？5.某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对于进价）则该商品的进货价是（三）计算利息的基本公式储蓄存款利息计算的基本公式为：利息＝本金×存期×利率利率的换算：年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：年利率＝月利率×12＝日利率×360月利率＝年利率÷12＝日利率×30日利率＝年利率÷360＝月利率÷30使用利率要注意与存期相一致。利润与折扣问题的公式利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%66\n涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)1.永盛电子有限公司向工商银行申请了甲乙两种款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元，甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款的数额是多少？2.小明将勤工俭学挣得的100元钱按一年期存入少儿银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年期存入。若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。3.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元和应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元，若设这种存款方式的年利率为x，则得方程 （四）浓度问题溶液的质量=溶质的质量＋溶剂的质量浓度=溶质的质量÷溶液的质量×100%溶质的质量=溶液的质量×浓度溶液的质量=溶质的质量÷浓度1.a克的水中加入b克盐，搅拌成盐水，则盐水中含盐的百分比为2.现有含盐15％的盐水内400克，张老师要求将盐水质量分数变为12％。某同学由于计算失误，加进了110克的水，请你通过列方程计算说明这位同学加多了，并指出多加了多少的水？3.在农业生产上，需要用含盐16％的盐水来选种，现有含盐24％的盐水200千克，需要加水多少千克？解：设需要加水x千克根据题意，列方程为，解这个方程，得答：.（五）增长率问题若平均增长（下降）数的百分率为x，增长（或下降）前的是a,增长（或下降）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为：，或是1.某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇万美元2.某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为66\n3.某电视机厂1994年向国家上缴利税400万元，1996年增加到484万元，则该厂两年上缴的利税平均每年增长的百分率4.我省1995年初中毕业会考（中考）六科成绩合格的人数为8万人，1997年上升到9万人，求则两年平均增长的百分率（取=1.41）5.中华中学为迎接香港回归，从1994年到1997年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树棵数的年增长率相同，那么该校1997年植树多少棵？（六）工程问题一般公式：工效工时=工作总量；工作总量工时=工效；工作总量工效=工时1.求工作效率题目只告诉工作时间，求工作效率。可以将工作总量看作单位“1”，公式：工作效率=，例题：修建一项工程，用4天完成，平均每天完毕这项工程的几之几？⑴一份文件，甲单独打要6小时完成，乙单独打要8小时完成，甲每小时完成这份文件的几分之几?乙每小时完成这份文件的几分之几?两人合打每小时完成这份文件的几分之几?⑵货车从甲地到乙地要行10小时，货车每小时行全程的几分之几?⑶一项工程，甲做5天可完成工程，甲每天可完成这项工程的几分之几?2.求共同完成的时间题目告诉单独完成的时间，要求共同完成的时间。共同完成时间＝1÷（合效率）例题：一段公路，甲队单独修要用20天，乙队单独修要30天，如果两队合修几天可以完成?⑴加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成，甲、乙合做几小时完成?⑵一项工程，由甲队单独做需要24天，由乙队单独做需要l6天完成，若两队合做需要几天完成?⑶车站有一批货物．用甲汽车6小时可以运完，用乙汽车9小时可以运完，用两辆汽车同时去运多少小时可以运完?3.求共同完成部分工作所需的时间共同完成部分工作所需的时间＝部分的工作÷合效率例题：一堆货物，A车单独运4小时可以运完，B车单独运6小时可以运完，现由A，B两车合运这堆货物的，需要多少小时?⑴一项工程，甲队单独做15天可以完成，乙队单独做12天完成，甲、乙两队合做全工程的66\n，需要几天?⑵一份书稿．小芳单独打需6小时打完，小红单独打需8小时打完，两人合打几小时完成这份书稿的？⑶开凿隧道，由甲工程队单独挖要10天完成，由乙工程队单独挖要15天完成，现由甲、乙两工程队合挖几天可挖通隧道的?4.求剩余工作完成的时间先求剩余的工作，再求剩余工作完成的时间剩余工作完成的时间＝剩余的工作÷剩余工作完成者的效率例题：修一条公路，甲队单独修要15天，乙队单独修要l2天，甲队先修6天后，剩下的由甲、乙两队合修，甲、乙两队合修还要几天?⑴一件工程，甲队独做9天可以完成，乙队独做l2天可以完成，两队合做3天后．剩下的由乙队独做还要几天才能完成?⑵挖一座楼房地基，甲工程队单独挖要12天，乙工程队单独挖要l0天，乙队先挖2天，然后由甲、乙两队合挖，还要几天才能挖完?⑶公路工程队要在公路上建一座桥，单独去修建甲队需要6个月完成，乙队需要10个月完成，先由甲队修了2个月后，乙队也参加修建，还要几个月才能竣工?五.进水、排水也可以看成工程问题进排水时间＝工作量（可能是1或）÷进排水的速度例题：一个水池有两个进水管，一个出水管。开放甲管l2小时可把空池注满，开放乙管l5小时可把满池水放完，开放丙管20小时可把空池注满，三管同时开放，多少小时可把空池注满水?⑴一个水池，如果单开甲进水管，24分钟空池注满，单开乙进水管，30分钟空池注满，单开丙出水管，36分钟将满池水放完，现在三管齐开，多少分钟可注满水池的?⑵有一水池，装有甲、乙两个注水管，下面装有丙管排水，空池时，单开甲管5分钟可注满，单开乙管l0分钟可注满，水池注满水后，单开丙管，l5分钟可将水放完，如果在空池时，将甲、乙、丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要几分钟可注满水池?⑶有一水池，装有甲、乙两个注水管，丙一个排水管，空池时，单开甲管6分钟可注满，单开乙管12分钟可注满，如果在空池时，将甲、乙、丙三管齐开，8分钟可注满水池，问单开丙管，几分可将满池水放完?6.求总时间66\n分清各自完成的工作量，求各个部分工作量的工作时间和。例题：一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要30小时完成。两个人合做期间，乙休息了5小时，完成这件工作前后共用多长时间?⑴一项工程，甲队单独做要4天完成，乙队单独做要6天完成．现在由甲队独做了2天之后，乙队也参加工作，完成任务时甲队工作了多少天?⑵一件工程，单独做，甲需要10天完成，乙需要30天完成，两人合做期间甲休息2天，乙休息8天(不在同一天休息)。从开始到完工共用了多少天?⑶一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天完成，丙独做15天完成．现在三人合做，中途因工作需要，甲、丙被抽调3天，这项工程完成总共用了多长时间?7.关于工程问题的达标和提高题：达标题⑴一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做2天可以完成这项工程的，如果甲、乙两人合做，多少天可以完成这项工程?⑵快、慢两车同时从东西两地相对出发，快车行完全程要6小时，慢车行完全程要l0小时，两车相遇时各行了全程的几分之几?⑶一份文件，由甲单独抄写需要l5分钟，乙的工作效率是甲的，如果甲、乙两人合抄，多长时间可完成这份文件?⑷一项工程，由甲队独做12天完成，乙队独做4天可完成这项工程的，如果两人合做，多少天可完成这项工程的?⑸甲、乙两车从A，B两城相对开出，甲车行完全程要l0小时，乙车的速度是甲车1倍，如果两车同时出发，几小时能相遇?⑹一件工作，单独做甲要12天完成，乙要l5天完成，甲先做3天后，再由甲、乙合做，还要几天能完成？⑺小张从县城到乡村要5小时，小李从乡村到县城要6小时，小李先出发2小时后，小张才从县城出发，小张出发几小时后与小李相遇?提高题⑴加工一批零件，师徒两人一起加工要10天完成，由师傅一个人单独加工要15天完成，若由徒弟单独加工几天完成?⑵单独加工一批零件，技术员要8小时完成，师傅要10小时完成，徒弟要l5小时完成，现由技术员和师傅先加工2小时后，再让师徒俩继续加工完成，师傅共加工了多少小时?66\n⑶一列快车从甲地开往乙地要6小时，一列慢车从乙地开往甲地要8小时，慢车开出2小时后，快车才出发，两车相遇时慢车共行驶了几小时?⑷师徒两人共同加工一批零件要l2天完成，由徒弟单独加工要30天完成，师徒合做若干天后，师傅因公出差，余下的任务由徒弟继续加工17.5天完成，师傅加工几天后离开?⑸客车从A地舞往B地要12小时，货车从8地开往A地要15小时，两车同时相向而行，客车因沿途停靠休息一段时间，从出发经过7小时两车相遇，问客车中途休息多少时间?⑹从李庄到刘庄，甲要走小时，比乙要多小时，如果两人分别从两个村庄相向而行．多少时间后可以相遇?⑺有一项工程，甲、乙合做6天完成，乙、丙合做10天完成，甲、丙合作12天完成，问三人合做几天完成?⑻一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需20天完成，两队合做了若干天后，中间将乙队调出，所以整个工程经过18天才完成，问乙队调出多少天?蓄水池装有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要注满一池水．单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现知池内有丢池水，如果按甲、乙、丙、丁……的顺序各开1小时，问多长时间后，水开始溢出水池?（七）函数问题⑴汽车由广州驶往相距300公里的湖南，它的平均速度是80公里／小时，则汽车距湖南的路程s（公里）与行驶时间t（小时）的函数关系式是⑵某工厂每月计划用煤Q吨，每天平均耗煤a吨，如果每天节约用煤x吨，那么Q吨煤可以多用y天，写出y与x的函数关系式为⑶如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的两数x之间的函数关系式是（＊）⑷某水果批发市场规定：批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元。小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金y元，试写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。⑸A市与B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支缓给C市10台和D市8台，已知从A市调运到C市、D市的运费分别为每台400元和800元，从B市调运到C市、D市每台300元和500元。①设B市运往C市机器x台，求运费W关于x的函数关系式；②若总运费不超过9千元，问有几种调运方案？③求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元66\n⑹某商人开始将进货单价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售100件。现在他想采用提高售出价格的方法来增加利润，已知这种商品每件提价1元，每天销售就要减少10件。①写出售出价格x元与每元所得的毛利润y元之间的函数关系式；②问每天售出价为多少时，才能使每天获得利润最大？⑺某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克,乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需甲种原料4千克,乙种原料10千克，可获利润120元。①按要求安排A,B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；②设生产两种产品获总利润为y元，其中一种产品件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案总利润最大？最大利润是多少？五．各知识点的例题知识点1：一元二次方程的基本概念1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2.2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2.3．一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7.4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.知识点2：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0.3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限.4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限.5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限.知识点3：已知自变量的值求函数值1．当x=2时,函数y=的值为1.2．当x=3时,函数y=的值为1.3．当x=-1时,函数y=的值为1.知识点4：基本函数的概念及性质1．函数y=-8x是一次函数.2．函数y=4x+1是正比例函数.3．函数是反比例函数.4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下.5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.6．抛物线的顶点坐标是(1,2).7．反比例函数的图象在第一、三象限.知识点5：数据的平均数中位数与众数66\n1．数据13,10,12,8,7的平均数是10.2．数据3,4,2,4,4的众数是4.3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.知识点6：特殊三角函数值1．cos30°=.2．sin260°+cos260°=1.3．2sin30°+tan45°=2.4．tan45°=1.5．cos60°+sin30°=1.知识点7：圆的基本性质1．半圆或直径所对的圆周角是直角.2．任意一个三角形一定有一个外接圆.3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.6．同圆或等圆的半径相等.7．过三个点一定可以作一个圆.8．长度相等的两条弧是等弧.9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。知识点8：直线与圆的位置关系1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.5．垂直于半径的直线必为圆的切线.6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.7．垂直于半径的直线是圆的切线.8．圆的切线垂直于过切点的半径.知识点9：圆与圆的位置关系1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.5．相切两圆的连心线必过切点.知识点10：正多边形基本性质1．正六边形的中心角为60°.2．矩形是正多边形.3．正多边形都是轴对称图形.4．正多边形都是中心对称图形.知识点11：一元二次方程的解1．方程的根为.A．x=2B．x=-2C．x1=2,x2=-2D．x=466\n2．方程x2-1=0的两根为.A．x=1B．x=-1C．x1=1,x2=-1D．x=23．方程（x-3）（x+4）=0的两根为.A.x1=-3,x2=4B.x1=-3,x2=-4C.x1=3,x2=4D.x1=3,x2=-44．方程x(x-2)=0的两根为.A．x1=0,x2=2B．x1=1,x2=2C．x1=0,x2=-2D．x1=1,x2=-25．方程x2-9=0的两根为.A．x=3B．x=-3C．x1=3,x2=-3D．x1=+,x2=-知识点12：方程解的情况及换元法1．一元二次方程的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根8.不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9.用换元法解方程时,令=y,于是原方程变为.A.y-5y+4=0B.y-5y-4=0C.y-4y-5=0D.y+4y-5=010.用换元法解方程时,令=y,于是原方程变为.A.5y-4y+1=0B.5y-4y-1=0C.-5y-4y-1=0D.-5y-4y-1=066\n11.用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是.A.y2+5y+6=0B.y2-5y+6=0C.y2+5y-6=0D.y2-5y-6=0知识点13：自变量的取值范围1．函数中，自变量x的取值范围是.A.x≠2B.x≤-2C.x≥-2D.x≠-22．函数y=的自变量的取值范围是.A.x>3B.x≥3C.x≠3D.x为任意实数3．函数y=的自变量的取值范围是.A.x≥-1B.x>-1C.x≠1D.x≠-14．函数y=的自变量的取值范围是.A.x≥1B.x≤1C.x≠1D.x为任意实数5．函数y=的自变量的取值范围是.A.x>5B.x≥5C.x≠5D.x为任意实数知识点14：基本函数的概念1．下列函数中,正比例函数是.A.y=-8xB.y=-8x+1C.y=8x2+1D.y=2．下列函数中,反比例函数是.A.y=8x2B.y=8x+1C.y=-8xD.y=-3．下列函数：①y=8x2；②y=8x+1；③y=-8x；④y=-.其中,一次函数有个.A.1个B.2个C.3个D.4个知识点15：圆的基本性质1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A的度数是.A.50°B.80°C.90°D.100°2．已知：如图，⊙O中,圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°66\n3．已知：如图，⊙O中,圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°4．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，则下列结论中正确的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=905．半径为5cm的圆中,有一条长为6cm的弦,则圆心到此弦的距离为.A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.507．已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.A.100°B.130°C.200°D.508.已知：如图，⊙O中,圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是.A.100°B.130°C.80°D.50°9.在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,则⊙O的半径为cm.A.3B.4C.5D.1066\n10.已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是.A.100°B.130°C.200°D.50°12．在半径为5cm的圆中,有一条弦长为6cm,则圆心到此弦的距离为.A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm知识点16：点、直线和圆的位置关系1．已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为.A.相离B.相切C.相交D.相交或相离2．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D.相离或相交3．已知圆O的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P和这个圆的位置关系是A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定4．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是.A.0个B.1个C.2个D.不能确定5．一个圆的周长为acm,面积为acm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D.不能确定6．已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D.不能确定7.已知圆的半径为6.5cm,直线l和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是.A.相切B.相离C.相交D.相离或相交8.已知⊙O的半径为7cm,PO=14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是.A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定知识点17：圆与圆的位置关系1．⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，若O1O2=10cm，则这两圆的位置关系是.A.外离B.外切C.相交D.内切2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的位置关系是.A.内切B.外切C.相交D.外离3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和5cm,若O1O2=1cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C.内切D.内含4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2==7cm,则这两个圆的位置关系是.A.外离B.外切C.相交D.内切5．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm，两圆的一条外公切线长4，则两圆的位置关系是.66\nA.外切B.内切C.内含D.相交6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和6cm,若O1O2=6cm,则这两个圆的位置关系是.A.外切B.相交C.内切D.内含知识点18：公切线问题1．如果两圆外离，则公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为.A.1条B.2条C.3条D.4条5.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=9cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B.2条C.3条D.4条6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm和4cm,若O1O2=7cm,则这两个圆的公切线有条.A.1条B.2条C.3条D.4条知识点19：正多边形和圆1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为.A.5cmB.cmC.10cmD.5πcm2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为.A.2B.C.1D.3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为.A.2B.1C.D.4．扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为=.A.30°B.60°C.90°D.120°5．已知,正六边形的半径为R,那么这个正六边形的边长为.A.RB.RC.RD.6．圆的周长为C,那么这个圆的面积S=.A.B.C.D.7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为.A.1:2B.1:C.:2D.1:8.圆的周长为C,那么这个圆的半径R=.A.2B.C.D.9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的半径为.A.2B.4C.2D.266\n10．已知,正三角形的半径为3,那么这个正三角形的边长为.A.3B.C.3D.3知识点20：函数图像问题1．已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标是.A.(2，-3)B.(2，1)C.(2，3)D.(3，2)2．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是.A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)3．一次函数y=x+1的图象在.A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限4．函数y=2x+1的图象不经过.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．反比例函数y=的图象在.A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限6．反比例函数y=-的图象不经过.A第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限7．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是.A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)8．一次函数y=-x+1的图象在.A．第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限9．一次函数y=-2x+1的图象经过.A．第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0且a、b、c为常数）的对称轴为x=1，且函数图象上有三点A(-1,y1)、B(,y2)、C(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是.A.y30，化简二次根式的正确结果为.A.B.C.-D.-2.化简二次根式的结果是.A.B.-C.D.3.若aa，化简二次根式a2的结果是.A.B.C.D.10．化简二次根式的结果是.A.B.-C.D.11．若ab<0，化简二次根式的结果是.A.bB.-bC.bD.-b知识点23：方程的根1．当m=时，分式方程会产生增根.A.1B.2C.-1D.266\n2．分式方程的解为.A.x=-2或x=0B.x=-2C.x=0D.方程无实数根3．用换元法解方程，设=y，则原方程化为关于y的方程.A.y+2y-5=0B.y+2y-7=0C.y+2y-3=0D.y+2y-9=04．已知方程(a-1)x2+2ax+a2+5=0有一个根是x=-3，则a的值为.A.-4B.1C.-4或1D.4或-15．关于x的方程有增根,则实数a为.A.a=1B.a=-1C.a=±1D.a=26．二次项系数为1的一元二次方程的两个根分别为--、-，则这个方程是.A.x+2x-1=0B.x+2x+1=0C.x-2x-1=0D.x-2x+1=07．已知关于x的一元二次方程(k-3)x2-2kx+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.A.k>-B.k>-且k≠3C.k<-D.k>且k≠3知识点24：求点的坐标1．已知点P的坐标为(2,2)，PQ‖x轴，且PQ=2，则Q点的坐标是.A.(4,2)B.(0,2)或(4,2)C.(0,2)D.(2,0)或(2,4)2．如果点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,且点P在第四象限内,则P点的坐标为.A.(3,-4)B.(-3,4)C.4,-3)D.(-4,3)3．过点P(1,-2)作x轴的平行线l1,过点Q(-4,3)作y轴的平行线l2,l1、l2相交于点A，则点A的坐标是.A.(1,3)B.(-4,-2)C.(3,1)D.(-2,-4)知识点25：基本函数图像与性质1．若点A(-1,y1)、B(-,y2)、C(,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则下列各式中不正确的是.A.y32B.m<2C.m<0D.m>03．已知:如图,过原点O的直线交反比例函数y=的图象于A、B两点,AC⊥x轴,AD⊥66\ny轴,△ABC的面积为S,则.A.S=2B.244．已知点(x1,y1)、(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,下列的说法中:①图象在第二、四象限;②y随x的增大而增大;③当01B.k<1C.00;②2a+b<0;③a>;④c<1.其中正确的结论是.A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④2.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc>0；②;③a>;④b>1.其中正确的结论是.A.①②B.②③C.③④D.②④3.已知：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，则下列结论正确的个数是.①abc>0②a+b+c>0③c>a④2c>bA.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且10.其中正确结论的个数为.A1个B2个C3个D4个5.已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，且过点(1,-2),则下列结论正确的个数是.①abc>0②>-1③b<-1④5a-2b<0A.①②③④B.①③④C.①②④D.①②③66\n6.已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a<-1;②-1b>cB.a>c>bC.a>b=cD.a、b、c的大小关系不能确定8.如图，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则下列结论中:①2a+b<0;②a<-1;③a+b+c>0;④0-1③02a+;④3a+c<0.其中正确的个数是.A.1个B.2个C.3个D.4个知识点35：多项选择问题66\n1．已知：如图,△ABC中，∠A=60º，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E,连结DE、OE.下列结论:①BC＝2DE；②D点到OE的距离不变；③BD+CE＝2DE；④OE为△ADE外接圆的切线.其中正确的结论是.A.①②B.③④C.①②③D.①②④2.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC,CE⊥AB,D、E分别为垂足，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊥BC，M为垂足，BO延长交⊙O于F点，下列结论：其中正确的有.①∠BAO=∠CAH；②DN=DH;③四边形AHCF为平行四边形；④CH•EH=OM•HN.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④3.已知:如图,P为⊙O外一点,PA、PB切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于点C,连结BO交延长分别交⊙O及切线PA于D、E两点,连结AD、BC.下列结论：①AD∥PO；②ΔADE∽ΔPCB;③tan∠EAD=；④BD2=2AD•OP.其中正确的有.A.①②④B.③④C.①③④D.①④4.已知:如图,PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点，直线PO交⊙O于C、D两点，交AB于E，AF为⊙O的直径，连结EF、PF，下列结论：①∠ABP=∠AOP；②BC弧=DF弧;③PC•PD=PE•PO;④∠OFE=∠OPF.其中正确的有.A.①②③④B.①②③C.①③④D.①②④66\n5.已知:如图,∠ACB=90º,以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，连OE交DC于P，则下列结论:其中正确的有.①BC=2DE；②OE∥AB;③DE=PD；④AC•DF=DE•CD.A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④6.已知：如图，M为⊙O上的一点,⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连结PE、PF、BC，下列结论：其中正确的有.①PE=PF；②PE2=PA·PC;③EA·EB=EC·ED；④（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）.A.①②③B.①②④C.②④D.①②③④7.已知：如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，PA切⊙O1于A，交⊙O2于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E为⊙O1上一点，AE=AC，EB延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、PD,下列结论：①PA=PD；②∠CAE=∠APD;③DF∥AP；④AF2=PB•EF.其中正确的有.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④8.已知:如图,⊙O1、⊙O2内切于点A，P为两圆外公切线上的一点,⊙O2的割线PBC切⊙O1于D点,AD延长交⊙O2于E点,连结AB、AC、O1D、O2E,下列结论：①PA=PD；②BE弧=CE弧;③PD2=PB•PC;④O1D‖O2E.其中正确的有.A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③④66\n9.已知:如图,P为⊙O外一点，割线PBC过圆心O,交⊙O于B、C两点，PA切⊙O于A点，CD⊥PA，D为垂足，CD交⊙O于F，AE⊥BC于E，连结PF交⊙O于M，CM延长交PA于N，下列结论：①AB=AF；②FD弧=BE弧;③DF•DC=OE•PE；④PN=AN.其中正确的有.A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④10.已知：如图，⊙O1、⊙O2内切于点P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C点,PC的延长线交⊙O1于D点,PA、PB分别交⊙O2于E、F两点,下列结论：其中正确的有.①CE=CF；②△APC∽△CPF;③PC•PD=PA•PB；④DE为⊙O2的切线.A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④知识点36：因式分解1.分解因式：x2-x-4y2+2y=.2.分解因式：x3-xy2+2xy-x=.3.分解因式：x2-bx-a2+ab=.4.分解因式：x2-4y2-3x+6y=.5.分解因式：-x3-2x2-x+4xy2=.6.分解因式：9a2-4b2-6a+1=.7.分解因式：x2-ax-y2+ay=.8.分解因式：x3-y3-x2y+xy2=.9.分解因式：4a2-b2-4a+1=.知识点37：找规律问题1.阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……（这就是著名的斐波拉契数列）.请你仔细观察这列数的规律后回答：上10级台阶共有种上法.2.把若干个棱长为a的立方体摆成如图形状：从上向下数,摆一层有1个立方体,摆二层共有4个立方体,摆三层共有10个立方体，那么摆五层共有个立方体.66\n3.下面由“*”拼出的一列形如正方形的图案，每条边上（包括两个顶点）有n（n>1）个“*”,每个图形“*”的总数是S：n=2,S=4n=3,S=8n=4,S=12n=5,S=16通过观察规律可以推断出：当n=8时，S=.4.下面由火柴杆拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：……n=1n=2n=3n=4……通过观察发现：第n个图形中，火柴杆有根.5.已知P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，B1、C1分别为AB、AC的中点，则△PB1C1的面积为，B2、C2分别为BB1、CC1的中点，则△PB2C2的面积为，B3、C3分别为B1B2、C1C2的中点，则△PB3C3的面积为，按此规律……可知：△PB5C5的面积为.6.如图,用火柴棒按平行四边形、等腰梯形间隔方式搭图形.按照这样的规律搭下去……若图形中平行四边形、等腰梯形共11个，需要根火柴棒.(平行四边形每边为一根火柴棒,等腰梯形上底,两腰为一根火柴棒,下底为两根火柴棒)7.如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形.根据图中的数构成的规律可得：图中a所表示的数是.8.在同一平面内：两条直线相交有个交点，三条直线两两相交最多有66\n个交点，四条直线两两相交最多有个交点，……那么8条直线两两相交最多有个交点.9.观察下列等式：13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102……；根据前面各式规律可得：13+23+33+43+53+63+73+83=.知识点38：已知结论寻求条件问题1.如图,AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE=AF，则PF应满足的条件是.（只需填一个条件）2.已知:如图,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的一点,PC切⊙O于C,要使得AC=PC,则图中的线段应满足的条件是.3.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，若它的边满足条件,则有ΔABP∽ΔCDA.4.已知:ΔABC中，D为BC上的一点，过A点的⊙O切BC于D点,交AB、AC于E、F两点，要使BC‖EF，则AD必满足条件.5.已知:如图，AB为⊙O的直径，D为弧AC上一点，DE⊥AB于E，DE、DB分别交弦AC于F、G两点，要使得DE=DG，则图中的弧必满足的条件是.66\n6.已知：如图，Rt△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于D点，E为AC上一点，要使得AE=CE，请补充条件(填入一个即可).7.已知:如图,圆内接四边形ABCD,对角线ACBD相交于E点，要使得BC2=CE•CA，则四边形ABCD的边应满足的条件是.8.已知,ΔABC内接于⊙O,要使∠BAC的外角平分线与⊙O相切，则ΔABC的边必满足的条件是.9.已知:如图，ΔABC内接于⊙O，D为劣弧AB上一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，为使ΔADB∽ΔACE，应补充的一个条件是，或.10.已知：如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC，E为垂足，要使得DE为⊙O的切线，则△ABC的边必满足的条件是.66\n知识点39：阴影部分面积问题1.如图,梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为直径的⊙O切CD于E点，交BC于F，若AB=4cm，AD=1cm，则图中阴影部分的面积是cm2.（不用近似值）2.已知：如图，平行四边形ABCD，AB⊥AC，AE⊥BC，以AE为直径作⊙O,以A为圆心，AE为半径作弧交AB于F点，交AD于G点，若BE=2，CE=6，则图中阴影部分的面积为.3.已知:如图,⊙O1与⊙O2内含，直线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于A、B和C、D点，⊙O1的弦BE切⊙O2于F点，若AC=1cm，CD=6cm，DB=3cm，则弧CF、AE与线段AC弧、EF弧围成的阴影部分的面积是cm2.4.已知:如图,AB为⊙O的直径,以AO、BO为直径作⊙O1、⊙O2，⊙O的弦MN与⊙O1、⊙O2相切于C、D两点，AB=4，则图中阴影部分的面积是.66\n5.已知：如图，等边△ABC内接于⊙O1，以AB为直径作⊙O2，AB=2，则图中阴影部分的面积为.6.已知：如图，边长为12的等边三角形，形内有4个等圆，则图中阴影部分的面积为.7.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，BC=4，∠A=90°，以A为圆心，AB为半径作扇形ABD，以BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为.8.已知：如图，ABCD，AB⊥AC，AE⊥BC，以AE为直径作⊙O,以A为圆心，AE为半径作弧交AB于F点，交AD于G点，若BE=6，CE=2，则图中阴影部分的面积为.66\n9.已知:如图,⊙O的半径为1cm,AO交⊙O于C,AO=2cm,AB与⊙O相切于B点，弦CD‖AB,则图中阴影部分的面积是.10.已知：如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，O1B⊥OA交⊙O于B，OB交⊙O1于C，OA=4，则图中阴影部分的面积为.66