高考数学解答高考应用题 5页

§3怎样答高考应用题　　一、内容概要　　数学应用题指能利用数学知识解决的非数学领域中的问题．　数学应用是数学最终价值的体现，数学应用题在数学教育中有其重要地位．数学应用题是高考中必考的题型．国家考试中心近年的评价报告都对应用题给予了充分的关注．1993年明确提出教学建议：加强理论联系实际的教学，重视培养学生用数学的意识.在教学中，要注意克服那种只重视纯理论而轻视联系实际的不良倾向，要充分揭示概念和规律形成过程中的实际背景，从学生所熟悉的实际出发，抽象出数学问题，也要加强对实际问题中数学关系的分析，将实际问题转化为数学问题，引导学生把数学知识运用到生活和生产实践中去，包括相关学科和商品经济的实际中去．　1996年的评价报告认为，与1995年相比，试题开始对考生建立数学模型的能力有所要求，并且把握适度，这是十分恰当的．因为，要体现数学的应用价值，要真正使数学服务于生产、生活实际，就必须具有建立数学模型的能力．数学教育目标也要求学生从实际问题中抽象出数学问题，并解决问题．　　从1993年至今，对高考应用题的考查已逐步走向成熟，大体上是3道左右的小题，一道大题．小题除了考查一些基本知识与能力外，近年的小题开始注意到问题及解题方法的新颖性，出现了非常规问题，对考生适应陌生情境的能力要求有所提高．大题的难度逐步趋向平稳，难点逐步前移，即体现在理解题意，建立数学模型上．　　从应用考题所涉及的社会信息来看，国家考试中心再三强调：“从学生所熟悉的实际出发”，体现公平竞争，但面对众多考生，这一点可能是命题者对考生所具有的社会知识的主观推测，所以考生有广博的知识总是有益无害的．　　二、基本方法讲解　　1重视阅读理解文字表述的题意　　应用题指数学知识在非数学领域运用的题型，文字表述是必不可少的，疏通文字、阅读理解题意就成为解题入门的一关，除了多接触社会，从各种媒体中吸收信息，扩大知识面，见多识广外，特别应多对应用题中的文字作理解性训练．　　例1　如图9－19，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）．图9－19\n　　Ａ．26　　Ｂ．24　　Ｃ．20　　Ｄ．19　　讲解：这是2001年全国高考题，是一道典型的非常规应用题，所用数学知识甚至小学程度就够了，但许多考生却选择了错误的答案，究其原因，主要是“文字理解”这一关过不了．这些考生按图中“通路”求信息量，求出了3＋5＋12＝20，4＋6＋12＝22，7＋6＋12＝25，6＋8＋12＝26，故选Ａ．这里就是将“连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量”中“通过”没有理解正确．对最上面一条“通路”来说，它最多只能通过“3、5、12”中的最小值3个信息！依次还有4、6、6个，因此从A出发的信息到B最多有3＋4＋6＋6＝19个．正确答案为Ｄ．　　疏通文字时，首先对应用问题中表述的工农业生产、科学技术或日常生活中的一些事理，即问题的背景信息要理解，其次对转换成数学问题的文字要吃透，从而建立相应的数学模型．　　2更新观念，挑战非常规问题　　随着对考查能力要求的不断提高，各种非常规的能力题开始出现，1998年出现下面的应用小题就是一例．　　例2　向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图9-20所示，那么水瓶的形状是（　　）．图9-20　　讲解：本题要求根据图9-20中函数关系的大致图象（粗略的），对图9-21中的四个形状容器可能相符的容器作出判断，这里没有数值的运算，甚至没有严格的形式推理，生活常识、图象的变化趋势（性质）是判断的依据．我们可以说：从图9-21可见，若水深H从0变化到（Ｈ／2）时变化状况与（Ｈ／2）变化到H变化状况相比，注水量在减少，符合这一性质的只有选择支Ｂ．图9-21　　当然我们还有许多其他说理方式，包括假定一些数值，找出容器的体积与高度的关系，提出图象的变化速率等一些概念，但在高考宝贵的2小时内，我们应当寻求最简捷的解题策略．如此，更新观念，认同非形式化的非常规解法是非常必要的．　　3解答数学模型时，注意问题的实际意义　　解答应用题的第一步是将实际问题转化为数学问题（建立数学模型），接着就是解决这个数学问题．在解决数学问题时，应充分注意到数学问题中元素的实际意义，这些元素可能受到实际问题的某种制约，因而在解题过程中应加以注意．　　例3　甲乙两地相距S公里，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度ｖ（千米／时）的平方成正比，并且系数为b，固定部分为a元．　　（1）将全程运输成本y表示成v的函数，并指出这个函数的定义域；　　（2）为了使全程运输成本最小，汽车以多大速度行驶?　　　　　（1997年全国高考试题）　　讲解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为（S／ｖ），全程运输成本为　　ｙ＝ａ·（S／ｖ）＋ｂｖ２\n·（S／ｖ）＝S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ），　　所以所求函数及其定义域为　　ｙ＝S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ），ｖ∈（0，ｃ］．　　（2）由题意知S，ａ，ｂ，ｖ都是正数，故有　　S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）≥2S．　　当且仅当（ａ／ｖ）＝ｂｖ，即ｖ＝时上式中等号成立．　　　　当ｖ＝≤ｃ，全程运输成本ｙ最小．　　当＞ｃ，ｖ∈（0，ｃ］时，有　　　S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）－S（（ａ／ｃ）＋ｂｃ）　　＝S［（（ａ／ｖ）－（ａ／ｃ））＋（ｂｖ－ｂｃ）］　　＝（S／ｖｃ）（ｃ－ｖ）（ａ－ｂｃｖ）．　　因为ｃ－ｖ≥0，且ａ＞ｂｃ2，故有　　ａ－ｂｃｖ≥ａ－ｂｃ2＞0．　　所以S（（ａ／ｖ）＋ｂｖ）≥S（（ａ／ｃ）＋ｂｃ）．　　且仅当ｖ＝ｃ时，全程运输成本ｙ最小．　　综上所述，为使全程运输成本y最小，当ｖ＝≤ｃ时，行驶速度应为ｖ＝；当＞ｃ时，行驶速度应为ｖ＝ｃ．　　说明：根据生活常识，汽车速度不会是一个无穷大的量，本题题意中“速度不得超过c千米／时”是一个重要的条件，它不仅是在第（1）小题求定义域的依据，更是第（2）小题中分类讨论中分类的标准．故而注意这类实际意义中量所受的制约及在解题中的作用是非常重要的．　　4深入分析数学模型，巧解数学问题　　从现实问题中抽象出（建立）数学模型无疑是解决实际问题重要的第一步，这并不意味着建立相应的数学模型只是一个例行的步骤，甚至于将实际问题的数学模型建立与繁琐的过程划上等号，建立数学模型的过程中同样应注意巧思妙作，过程简捷．　　例4　如图9-22所示，开始时桶1中有a升水，t秒后剩余的水符合指数衰减曲线ｙ１＝ａｅ－ｎｔ，那么桶2中的水就是ｙ２＝ａ－ａｅ－ｎｔ.假定当5分钟后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多少分钟桶1中的水只有（ａ／4）．图9-22　　讲解：由题意得ａｅ－5ｎ＝ａ－ａｅ－5ｎ，即　　ｅ－5ｎ\n＝（1／2）．　　　　　　①　　设再过t分钟后桶1中的水只有（ａ／4），那么　　ａｅ－ｎ（ｔ＋5）＝（ａ／4），　　ｅ－ｎ（ｔ＋5）＝（1／4）．　　　　　　　　　　　　　　②　　将（1）式平方，得　ｅ－10ｎ＝（1／4）．　　　　　　　③　　比较②、③，得　　－ｎ（ｔ＋5）＝－10ｎ，即ｔ＝5．　　所以再过5分钟后桶1中的水只有（ａ／4）．　　说明：从①式中可以解出ｎ＝－（1／5）ｌｎ（1／2），但这只是题目的一个过渡量，并无一定解出的必要．一些同学解出后，不仅增加了解题步骤，而且有可能陷入繁琐运算使解题夭折．　　对常规型应用题，可使用下列“解题表”：　　（一）通读全题，初步估计本题属于哪种数学模型；　　（二）目标是什么?未知是什么?　　（三）清理题目中所有量：　　有哪些是已知量?哪些是未知量?　　哪些是常量?哪些是变量?　　是否需要设置新的量?　　（四）能否画个示意图?列个表?　　（五）条件中有哪些基本关系?是相等关系，还是不等关系？　　（六）涉及这些关系有哪些数学知识?能否将（三）中的量代入使之成为方程或不等式?　　（七）能否将上面的代数式化简?能否通过解方程或解不等式求出未知量?　　（八）完成并检验全题．　　三、专题训练　　1若干毫升水倒入底面半径为2ｃｍ的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm．若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（　　）．　　Ａ．6ｃｍ　　Ｂ．6ｃｍ　　Ｃ．2ｃｍ　　Ｄ．3ｃｍ　　2某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（　　）．　　A5种　　B6种　　C7种D8种　　3在一块并排10垄的田地中，选购2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有__________种．（用数字作答）　　4设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画图的上、下各留8ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白，则当λ＝__________时，宣传画所用纸张面积最小．　　5．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少（1／5）．本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加（1／4）．　　（1）设ｎ年内（本年度为第一年）总投入为ａｎ万元，旅游业总收入为ｂｎ万元，写出ａｎ、ｂｎ\n的表达式；　　（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?　　6如图9-23，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为ｂ米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．（A、B孔的面积忽略不计）图9-23　　7图9-24为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．图9-24　　（1）输入带钢的厚度为α，输出带钢厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过ｒ0．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?　　（一对轧辊减薄率＝（输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度／输入该对的带钢厚度））　　（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm.若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Ｌｋ.为了便于检修，请计算Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３并填入下表．（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）轧辊序号ｋ1234疵点间距Ｌｋ（单位：ｍｍ）　　　1600　　8一只船上有两根高度均为25英尺、相距50英尺的桅杆；有一条100英尺长的绳子，两端系在两根桅杆的顶上，并按图9-25所示的方式绷紧．图9-25　　假定这条绳子在系到桅杆上时并没减少长度，且处于两根桅杆所在的平面内，求绳子与甲板接触之点到前面一根桅杆的距离．（注：1英尺＝0．3048米，本题可用计算器）